-上海市青浦高级中学TI数理实验班选拔数学试卷.doc

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2006年上海市青浦高级中学TI数理实验班选拔数学试卷

一、填空题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分）

1、某商品的标价为2200元，打七折出售，仍可获利10%，则此商品的进价是元．

2、将一条线段黄金分割后，得其中一段长为4cm，则另一段长为cm．

3、按一定规律排列的100个数：

2，2，6，22，10，…，200，其中最大的有理数是，它是这一列数中的第个数．

4、若x，y为正整数，且x2+y2+4y-96=0，则xy=或．

5、若x/（x2+x+1）=a，（a≠0），则x3/（x6+x3+1）的值为．

6、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，EF是中位线，对角线BD、AC分别与EF相交于G、H，若GH：

BC=1：

3，则AD：

BC的值是．

7、抛物线y=-x2+2（m-1）x+m+1与x轴交于A、B两点，且点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上，则m的取值范围是．

8、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于O，S△AOD=3，S△BOC=8，则S△AOB+S△COD=．

9、将一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕．（图中虚线），继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得7条折痕，那么对折四次可以得到条折痕，如果对折n次，可以得到条折痕．

10、如图，一个面积为1的正三角形被分成四个全等的正三角形，挖去中间一个，将剩下的三个正三角形再分别一分为四，同样各自挖去中间的一个正三角形，如此进行了三次，那么剩余部分的面积为．

11、设x，y为任意实数，定义运算：

x*y=（x+1）（y+1）-1，得到下列五个命题：

①x*y=y*x；②x*（y+z）=x*y+x*z；③（x+1）*（x-1）=（x*x）-1；④x*0=0；⑤（x+1）*（x+1）=x*x+2*x+1；

其中正确的命题的序号是．

12、如图是居民小区道路图，小明每天由家（A点）到学校（B点），他只沿道路向上或向右行走，那么他最多有天走不同的线路．

13、如果△ABC的三个外角的度数之比是3：

4：

5，那么这个三角形是（　　）

A、钝角三角形B、锐角三角形C、直角三角形D、等腰三角形

14、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=1，D点在AB上且BD=14AB，那么CD的长是（　　）

A、52B、62C、72D、2

15、某篮球队有10名队员，包括：

中锋2人，右边锋2人，左边锋2人，右后卫1人，其余3人都可以担当左、右后卫，从中选5个人上场，那么上场阵容有（　　）

A、96种B、48种C、56种D、72种

16、如图所示，正比例函数y=x和y=ax（a＞0且a≠1）的图象与反比例函数y=kx（k＞0）的图象分别相交于点A和C，若Rt△AOB和Rt△COD面积分别记作S1与S2，则S1与S2的大小关系是（　　）

A、S1＞S2B、S1=S2C、S1＜S2D、S1≠S2

17、在Rt△ABC中，∠C=90°，若周长为27+4，斜边上中线为2．

（1）求这个直角三角形的面积；

（2）求这个直角三角形内切园的面积；

（3）若这个直角三角形两个锐角的正切tgA和tgB是一个一元二次方程的两个根，求这个一元二次方程？

18、已知抛物线y=x2-（2m+4）x+m2-10与x轴交于A、B两点，C是抛物线的顶点．

（1）用配方法求顶点C的坐标（用含m的代数式表示）；

（2）若AB的长为22，求抛物线的解析式；

（3）怎样平移

（2）中的这条抛物线，使它在x轴上截得的线段长为4？

19、手机的月收费两种方案如表所示（通话计费以分钟为计时单位；若通话费用不超过基本话费，则按基本话费缴费）

方案每月固定费用通话费用计算方法

月租费基本话费在基本话费内超出基本话费部分

A50元78元0.4元/分钟0.2元/分钟

B无39.6元0.6元/分钟0.4元/分钟

（1）写出方案A中每月的总费用y（元）关于通话时间x（分钟）的函数关系式；

（2）若某人在一个月内的通话时间总计为a分钟，应选择哪种方案总费用较低？

20、如图，点C是直径为4的半圆O上的一个动点（与A、B两点不重合），CD⊥AB于D，点P是线段AC的中点，设BD=x，DP=y．

（1）求y与x的函数关系式，并写出定义域；

（2）如果∠B=12∠A，求BD的长；

（3）是否存在这样的x，使tgB=12，如果存在，请求出x的值？

如果不存在，请说明理由．

2007年上海市青浦高级中学TI数理实验班选拔数学试卷

一、选择题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分）（每题列出的四个答案中，只有一个是正确的，把正确答案的代号填入括号内）

1．小明根据邻居家的故事写了一首小诗：

“儿子学成今日返，老父早早到车站，儿子到后细端详，父子高兴把家还．”如果用纵轴y表示父亲与儿子行进中离家的距离，用横轴x表示父亲离家的时间，那么下面的图象与上述诗的含义大致吻合的是（　　）

A．

B．

C．

D．

2．关于x的一元二次方程x2-ax+a-2=0的两个根中，只有一个正根，则（　　）

A．a≥2

B．a≤2

C．a≥-2

D．a≤-2

3．若函数y=kx（k＞0）与函数y=

1

x

的图象相交于A，C两点，AB垂直x轴于B，则△ABC的面积为（　　）

A．1

B．2

C．k

D．k2

4．设△ABC的面积为1，D是边AB上一点，且

AD

AB

=

1

3

，若在边AC上取一点E，使四边形DECB的面积为

3

4

，则

CE

EA

的值为（　　）

A．

1

2

B．

1

3

C．

1

4

D．

1

5

二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分）

5．因式分解：

3x2-xy-y2=

（

13

+1

2

x+y）（

13

-1

2

x-y）

．

6．已知：

5x2-4xy+y2-2x+1=0，求（x-y）2007的值

-1

．

7．某商品连续两次降价10%以后的售价为a元，则该商品的原价为

100

81

a

元．

8．矩形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE=

5.8

cm．

9．公民的月收入超过800元时，超过部分须依法缴纳个人所得税．当超过部分在500元以内（含500元）时，税率为5%；当超过部分在500～2000元之内时，税率为10%．某人1月份应缴纳税款80元，则他当月工资是

1850

元．

10．观察下列各式：

2

2

3

=

2+

2

3

，3

3

8

=

3+

3

8

，4

4

15

=

4+

4

15

，针对上述各式反映的规律，写出用n（n为自然数，且n≥2）表示的等式

n

n

n2-1

=

n+

n

n2-1

．

11．抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．若△ABC是直角三角形，则ac=

-1

．

12．如图，把直角三角形ABC的斜边AB放在定直线l上，按顺时针方向在l上转动两次，使它转到△A″B″C″的位置，设BC=1，AC=

3

，则顶点A运动到点A″的位置时，点A经过的路线与直线l所围成的面积是

25π

12

+

3

2

．（计算结果保留π）

13．“这家商店中所有展出的商品都是出售的”，如果这是一句错话，那么下列说法中哪些必定正确的序号是

②④

①在这家商店中展出的所有商品不是供出售的．

②在这家商店中展出的商品中有一些是不出售的．

③在这家商店中没有一件展出的商品是出售的．

④在这家商店中不是所有展出的商品都是出售的．

14．两圆相交，公共弦长为16cm，若两圆中有一圆的半径为10，另一个圆的半径为17cm，则两圆的圆心距为

9或21

．

15．在期中考试中，同学甲、乙、丙、丁分别获班级第一、第二、第三、第四名．在期末考试中，他们又是班级的前四名．如果他们的排名都与期中考试的排名不同，那么排名情况可能有

8或9

种．

16．若三个数a、b、c满足

b

a

=

c

b

，则称a、b、c为等比数列，现有一个正数，其小数部分，整数部分，和其自身依次成等比数列，则该正数是

1+

5

2

．

三、解答题（本大题共4小题，满分40分）

17．△ABC中，M、N分别是AC、BC上的点，BM与AN交于点O，若S△OMA=3，S△OAB=2，S△OBN=1，求S△CMN？

18．如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴只有一个公共点P，与y轴的交点为Q．过点Q的直线y=2x+m与x轴交于点A，与这个二次函数的图象交于另一点B，若S△BPQ=3S△APQ，求这个二次函数的解析式．

19．某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品．已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支（不含进价）总计120万元．在销售过程中发现，年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间存在着如图所示的一次函数关系．

（1）求y关于x的函数关系式；

（2）试写出该公司销售该种产品的年获利z（万元）关于销售单价x（元）的函数关系式（年获利=年销售额一年销售产品总进价一年总开支）．当销售单价x为何值时，年获利最大并求这个最大值；

（3）若公司希望该种产品一年的销售获利不低于40万元，借助

（2）中函数的图象，请你帮助该公司确定销售单价的范围．在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？

20．已知正方形ABCD的边长为6，以D为圆心，DA为半径在正方形内作弧AC，E是AB边上动点（与点A、B不重合），过点E作弧AC的切线，交BC于点F，G为切点，⊙O是△EBF的内切圆，分别切EB、BF、FE于点P、J、H

（1）求证：

△ADE∽△PEO；

（2）设AE=x，⊙O的半径为y，求y关于x的解析式，并写出定义域；

（3）当⊙O的半径为1时，求CF的长；

（4）当点E在移动时，图中哪些线段与线段EP始终保持相等，请说明理由．

2008年青浦高级中学TI数理实验班选拔测试

数学试卷

（满分100分考试时间90分钟）

一、填空题（本大题共11小题，每小题4分，满分44分）

1、若不等式组有解，那么必须满足

2、在实数范围内分解因式：

=

3、，，且，则代数式的值为

4、函数，当x=时，y有最小值，最小值等于．

5、某百货商店的一种商品营业额，即商品的售价乘以该商品的销售量，商品在促销月定的售价比上个月下降10%，该月销售量较上月增长60%，则促销月的营业额比上月的营业额上升%

（图1）

6、一个正方体的表面展开图如图1所示，每一个面上都写有一个整数，并且相对两个面上所写的两个整数之和都相等，那么

=，=

A

B

C

D

（