--上海中学立体几何专题练习01-空间的角.docx

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空间的角

1.

（1）在正四面体ABCD中，（如图1所示）E、F分别是AB、CD的中点求EF和BC所成的角；

（2）在正四面体ABCD中，（如图2所示），线段MN是棱AC的中点和△BCD的连线，而线段是△ABD的高，求MN和DE所成角的余弦值。

2.如图所示，四面体ABCD中，SA、SB、SC两两垂直，∠SBA=45°，∠SBC=60°，M为AB的中点，求：

（1）BC与平面SAB所成的角；

（2）SC与平面ABC所成的角的正切值。

3.如图所示，在圆锥PO中，已知PO=，⊙O的直径AB=2，点C在弧AB上，且∠CAB=30°，D为AC的中点。

（1）证明：

AC⊥平面POD；

（2）求直线OC和平面PAC所成角的正弦值。

4.如图所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，BB1=，E为BB1上使B1E=1的点，平面AEC1交DD1于A，交A1D的延长线于G，求：

（1）异面直线AD与C1G所成的角的大小；

（2）二面角A-C1G-A1的正弦值。

5.如图所示，三棱锥P-ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA=PB=PC=3

（1）求证：

AB⊥BC；

（2）AB=BC=，求AC与侧面PBC所成角的大小。

6.如图所示，ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱。

（1）求证：

BD⊥平面ACC1A1

（2）二面角C1-BD-C的大小为60°，求异面直线BC1与AC所成角的大小。

7.如图所示，在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE：

EB=CF：

FA=CP：

PB=1：

2，将△AEF沿EF折起到△AEF的位置，使二面角A1-EF-B成直二面角，连结A1B、A1P（如图b）

（1）求证：

A1E⊥平面BEP；

（2）求直线与A1E平面A1BP所成角的大小；

（3）求二面角B-A1P-F的大小（用反三角函数值表示）。

8.如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD

（1）证明：

PA⊥BD；

（2）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。

参考答案

1、

（1）；

（2）

2、

（1）；

（2）

3、【解析】

（1）在中，，点为的中点，；

又底面，底面，；

于点，

（2）由题意可得：

，则：

；

，

设点到平面的距离为，由得：

又

解得：

；

设直线与平面所成的角为，则；

即：

直线与平面所成的角的正弦值为.

4、

（1）；

（2）2

5、

（1）证明略；

（2）

6、

（1）证明略；

（2）

7、

（1）证明略；

（2）；（3）

8、

（1）证明略；

（2）

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