第十三章轴对称教案Word下载.docx

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（2）对于其他的对应点，如点B，B′；

C，C′也有类似的情况吗？

（3）那么MN与线段AA′，BB′，CC′的连线有什么关系呢？

2、垂直平分线的定义：

经过线段并且这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.

3、轴对称的性质：

如果两个图形关于某条直线对称，那么是任何一对对应点所连线段的。

4、类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的。

三、交流展示

1.组内交流，并展示讨论的结果；

2.我们小组还有什么问题吗？

请提出来！

四、当堂自测

1、你能举出三个是轴对称图形的汉字吗？

2、观察规律并填空：

3、参照下图说明轴对称图形与两个图形成轴对称有什么区别与联系？

4、如图，若沿虚线对折，左边部分与右边部分重合，请找出图中A、B、C的对称点，并说出图中有哪些角相等?

哪些线段相等?

五、学后反思

13.1.2线段的垂直平分线的性质

（1）

1．通过动手试验掌握线段垂直平分线的性质；

2.运用线段垂直平分线性质解决问题。

3.探索并理解线段垂直平分线的判定

线段垂直平分线的性质和判定

运用线段垂直平分线性质解决问题。

1、作出线段AB，过AB中点作AB的垂直平分线

，在

上取

P1、P2、P3…，连结AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2…

2、作好图后，用直尺量出AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2…，你会

发现什么样的规律．

线段垂直平分线的性质：

3、你能利用判定两个三角形全等的方法证明这个性质吗？

如图，直线

，垂足是

，AC=BC,点

在

上。

求证：

二、合作探究

1、作线段AB,取其中点P,过P作

上取点P1、P2，连结AP1、AP2、BP1、BP2．会有哪些可能?

要使

与AB垂直，AP1、AP2、BP1、BP2应满足什么条件？

由此你得到什么结论？

结论：

与一条线段两个端点距离_______的点，在这条线段的________上。

2、你能证明吗？

3、下列说法错误的是（）

A.D、E是线段AB的垂直平分线上的两点，则AD=BD，AE=BE

B．若AD=BD，AE=BE，则直线DE是线段AB的垂直平分线

C．若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上

D.若PA=PB,则过点P的直线是线段AB的垂直平分线

1、点P是△ABC中边AB的垂直平分线上的点，则一定有（）

A．PB=PCB.PA=PC

C.PA=PBD.点P到∠ABC的两边距离相等

2.

如图，在△ABC中，DE是AB的垂直平分线，AE＝3cm，△BCD的周长为13cm，求△ABC的周长。

3.如右图所示，直线MN和DE分别是线段AB、BC的垂直平分线，它们交于P点，请问PA和PC相等吗?

3.已知：

E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D．

（1）∠ECD=∠EDC；

（2）OE是CD的垂直平分线．

13.1.2线段的垂直平分线的性质

（2）

1．掌握“连结对称点的线段被对称轴垂直平分”的性质

2.熟练掌握作出轴对称图形的对称轴的方法，即线段中垂线的尺规作图。

画轴对称图形的对称轴

一、自主学习

1、下面的图形是轴对称图形吗？

如果是，请说出它的对称轴。

2、与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的上。

3、如图：

不通过折叠的方法，你能验证出这两个四边形是

否关于直线MN对称吗？

4、设A、E两点关于直线MN对称，则_____垂直平分______．

5、轴对称图形的对称轴与对应点所连线段的垂直平分线有什么关系？

6、作轴对称图形的对称轴就是做作出一对对应点所连线段的___________

1.如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗?

请同学们按照以下作法完成作图。

2、思考：

（1）在上述作法中，为什么要以“大于

AB的长”为半径作弧？

（2）在上面作法的基础上，连接AB，直线CD是线段AB的垂直平分线吗？

并说明理由．

3.在五角星上作出它的一条对称轴。

四．当堂自测

1、画出以下图形的对称轴　　

2、下面是我们学过的一些几何图形，说出下面图形是不是轴对称图形，并完成下表。

图

形

长方形

正方形

三角形

等腰三

角形

等边三

平行四边形

任意

梯形

等腰

圆

对称轴的条数

13.2画轴对称图形

（1）

1、进一步认识轴对称图形并了解它的基本性质；

2、能够按要求作出简单平面图形的轴对称图形;

利用对称轴作轴对称图形

1、什么是轴对称图形?

2、如图：

你能作出它关于虚线的对称图形吗？

（1）找到点A的对称点A′

（2）AA′与对称轴有什么关系？

（3）在图中另找一对对称点，连接对称点的线段与对称轴还有上述关系吗？

2、连接任意一对对称点的线段被对称轴____________

1、如图，已知点A和直线l，试画出点A关于直线l的对称点A′。

请说说你的画法

　　　　　　　　　　　　　　　l

A·

2.作△ABC关于直线l的对称的图形△A′B′C′

1.已知△ABC，及点A的对称点A′，请作出对称轴直线l，并画出△ABC关于直线l的对称图形。

A.A′

B

C

2．如图，请画出三角形关于直线l对称的图形。

3.身高1.80米的人站在平面镜前2米处，它在镜子中的像高______米，人与像之间距离为_______米；

如果他向前走0.2米，人与像之间距离为_________米．

4.要在燃气管道

上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？

5．为了美化环境，在一块正方形空地上分别种植四种不同的花草.现将这块空地按下列要求分成四块：

⑴分割后的整个图形必须是轴对称图形；

⑵四块图形形状相同；

⑶四块图形面积相等.现已有两种不同的分法：

⑴分别作两条对角线（如图中的图1）；

⑵过一条边的四等分点作这边的垂线段（图2）（图2中两个图形的分割看作同一方法）．请你按照上述三个要求，分别在下面两个正方形中给出另外两种不同的分割方法．（不写画法）

13.2画轴对称图形

（2）

1、掌握在平面直角坐标系中，关于x轴和y轴对称点的坐标特点。

2、能在平面直角坐标系中画出一些简单的关于x轴和y轴的对称图形。

3、能运用坐标中的轴对称特点解决简单的问题。

在平面直角坐标系中画出一些简单的关于x轴和y轴的对称图形。

能运用坐标中的轴对称特点解决简单的问题。

1、自主学习

1、如图，在平面直角坐标系中，

1）分别写出点A、B、C的坐标。

2）在坐标系中标出点A、B、C关于x轴的对称点A1、B1、C1、。

3）写出A1、B1、C1、的坐标。

4）观察每对对称点的坐标，你发现了什么规律？

5）再找几个点，分别作出它们关于x轴的对称点，检验一下你发现的规律。

由此可以得到：

在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点横坐标_____,,纵坐标_________________。

点（x，y）关于x轴的对称点的坐标为__________.

2、完成下表.

已知点

（2,-3）

（-1,2）

（-6,-5）

（0,-1.6）

（4,0）

关于x轴的对称点

关于y轴的对称点

如图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（－5，1），B（－2，

1），C（－2，5），D（－5，4），分别作出四边形ABCD关于

轴和

轴对称的图形。

1、快速口答

点（３，６）、（－７，９）关于x轴的对称点分别是什么？

点（－３，－５）、（０，１０）关于y轴的对称点分别是什么？

2.已知点P（2a+b,-3a）与点P’（8,b+2）.

若点p与点p’关于x轴对称，则a=_____b=_______.

若点p与点p’关于y轴对称，则a=_____b=_______.

4.平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（0,4），B（2,4），C（3，－1）.

（1）试在平面直角坐标系中，标出A、B、C三点；

（2）求△ABC的面积.

（3）若

与△ABC关于x轴对称，写出

、

的坐标.

13.3.1等腰三角形

（1）

1、了解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的性质；

2、会运用等腰三角形的概念及性质解决相关问题。

掌握等腰三角形的性质

等腰三角形性质的熟练运用

一．自主学习

1、下列图形不一定是轴对称图形的是（）

A、圆B、长方形C、线段D、三角形

2、怎样的三角形是轴对称图形？

答：

3、有两边相等的三角形叫，相等的两边叫，另一边叫两腰的夹角叫，腰和底边的夹角叫

4、操作、实践：

取一等腰三角形纸片，照图折叠，找出其中重合的线段和角，填入下表：

重合的线段

重合的角

【问题1】根据上表你能得出哪些结论？

并将你的结论与同学交流。

性质1：

等腰三角形的两个底角＿＿＿＿＿，简写成＿＿＿＿＿＿＿

性质2：

等腰三角形的顶角平分线＿＿＿＿、＿＿＿＿＿相互重合。

【问题2】你能利用三角形全等的知识证明以上结论吗？

如图

（1）所示，根据等腰三角形性质定理在△ABC中，AB=AC时，

①∵AD⊥BC，∴∠_____=∠_____，____=____.

②∵AD是中线，∴____⊥____，∠_____=∠_____.

③∵AD是角平分线，∴____⊥____，_____=_____.

（2）等腰三角形一个底角为70°

它的顶角为______.

（3）等腰三角形一个角为70°

它的另外两个角为

4．当堂自测

1.如图

（2）所示，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数．

2.如图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数。

3.在△MNP中，MN=MO=OP,∠NMO=26度.求∠N和∠P的度数。

13.3.1等腰三角形

（2）

1、掌握等腰三角形的判定方法；

2、利用等腰三角形的判定方法证明相关问题并辅助以尺规作图手段作等腰三角形

掌握等腰三角形的判定方法

尺规作图作等腰三角形

一、自主学习

（一）温故知新

1、等腰三角形的两边长分别为6，8，则周长为

2、等腰三角形的一个角为70°

，则另外两个角的度数是

3、等腰三角形的一个角为120°

则另外两个角的度数是

（二）在一般的三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？

已知：

在△ABO中，∠A=∠B

AO=AO

证明：

【归纳】等腰三角形的判定方法：

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的也相等（简写成）

1、求证：

如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．

已知：

如图，是△ABC的外角，∠1=，AD∥

分析：

要证明AB=AC，可先证明∠B=，所以可设法找出

∠B、∠C与∠1、∠2的关系．

2、请同学们完整的写出解题过程

3、已知等腰三角形底边长为a,底边上的高为h,求作这个等腰三角形（尺规作图）

1、把一张等腰三角形的纸片沿与底边平行的虚线裁剪后（如图（4）

所示），你得到的三角形还是等腰三角形吗？

为什么？

2、如图（5），∠A=36°

，∠DBC=36°

，∠C=72°

，分别计算∠1、

∠2的度数，并说明图中有哪些等腰三角形．

3、如图（6），把一张矩形的纸沿对角线折叠．重合部分是一个等腰三角形吗？

13.3.2等边三角形

（1）

1、了解等边三角形的定义

2、掌握等边三角形的性质和判定

掌握等边三角形的性质和判定

一．自主学习

1、在△ABC中，AB=AC，

（1）如果∠A＝70°

，则∠C＝_________，∠B＝___________；

（2）如果∠A＝90°

，则∠B＝_________，∠C＝___________；

（3）如果∠A＝60°

，则∠B＝_________，∠C＝___________。

2、在△ABC中，如果AB=AC=BC，则∠A＝________，∠B＝________，∠C＝_________。

3、_______的三角形是等边三角形，等边三角形是一种特殊的______三角形。

【问题】

1、把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？

2、一个三角形满足什么条件就是等边三角形？

3、你认为有一个角等于60°

的等腰三角形是等边三角形吗？

如果是请说明理由。

1.展示内容

（1）一个三角形一边的中线和高线重合，那么这个三角形是＿＿

（2）等腰三角形顶角的外角平分线与底边的位置关系是＿＿＿＿

（3）一个等腰三角形有三条对称轴，那么它就是＿＿＿三角形。

（4）在△ABC中，AB＝AC，且∠A＝60°

，则△ABC是＿＿＿三角形。

1、选择题：

下列叙述正确的是（　　）

A、等腰三角形是等边三角形　　

B、所有的等边三角形形状都相同，所以全等　　　

C、三个角之比为1：

2：

3的三角形是等腰三角形

D、等边三角形的三条中线是它的三条对称轴

2、选择题：

如图在等边△ABC中，O为三条高线的交点，连结OB、OC那么

∠BOC=（）

A、100°

　　B、90°

C、150°

　D、120°

3、O是等边三角形ABC内一点，∠OCB＝∠ABO，求∠BOC的度数

4、已知：

如图（5），△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD．求证：

DB=DE．

13.3.2等边三角形

（2）

1、掌握含30°

的直角三角形的对边与斜边的关系。

2.能利用含30°

锐角的直角三角形的性质解决简单的实际问题。

掌握含30°

探究并证明这个关系

1、等边三角形三边，三个角都等于，

2、等边三角形是轴对称图形,它有条对称轴，它的对称轴。

（二）动手操作

1、如图

（1），将两个含有30°

角的三角形放在一起，你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？

2、你能用所学的知识验证以上结论吗？

方法1：

如图

（2），△ABC是等边三角形，AD⊥BC于D，∠BAD=°

BD=BC=AB。

方法2:

如图（3），△ABC中,延长BC到D使BD=AB，连接AD，则△ABD是三角形,BC=

=

。

直角三角形中，30°

所对的直角边等于斜边的一半。

如图（5），要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户去种植,如果∠C＝90°

，∠A＝30°

要使这三家农户所得土地的大小和形状都相同,请你试着分一分,在图上画出来.

1、RT△ABC中，∠C＝90°

，∠B＝2∠A，则∠A＝＿，∠B=___,AB=___BC

2、三角形的三个内角度数之比为1：

3，最大边是8，则最小边为＿＿

3.已知等腰三角形周长为40，以一腰为边作等边三角形，其周长为45，那么等腰三角形底边边长是（　　　　）

A、5　　　　B、10　　　C、15　　　D、20

4.等腰△ABC中，∠A＝40度，则∠B＝度。

5.已知等腰三角形两边长为7和3，则它的周长为（　　　）

A、17　　　B、16　　　C、17或13　　　　D、13

6.△ABC为等边三角形，且DE⊥BC，垂足为D，EF⊥AC，垂足为E，FD⊥AB，垂足为F，则△DEF是等边三角形吗？

这什么？

13.4　课题学习　最短路径问题

【教学目标】

教学知识点

能利用轴对称解决简单的最短路径问题,体会图形的变化在解决最值问题中的作用;

感悟转化思想.

能力训练要求

在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想.

情感与价值观要求

通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.在解决实际问题的过程中,体验数学学习的实用性,体现人人都学有所用的数学.

【教学重难点】

重点:

利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间,线段最短”问题.

难点:

如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题.

突破难点的方法:

利用轴对称性质,作任意已知点的对称点,连接对称点和已知点,得到一条线段,利用两点之间线段最短来解决.

【教学过程】

一、创设情景引入课题

1、前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中,线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短”等的问题,我们称它们为最短路径问题.现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题,本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”.

2、学生思考教师展示问题,并观察图片,获得感性认识.（板书课题）

二、自主探究合作交流建构新知

追问1:

观察思考,抽象为数学问题

这是一个实际问题,你打算首先做什么?

活动1:

思考画图、得出数学问题

将A,B两地抽象为两个点,将河l抽象为一条直线.

追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思,并把它抽象为数学问题吗?

师生活动:

学生尝试回答,并互相补充,最后达成共识:

（1）从A地出发,到河边l饮马,然后到B地;

（2）在河边饮马的地点有无穷多处,把这些地点与A,B连接起来的两条线段的长度之和,就是从A地到饮马地点,再回到B地

的路程之和;

（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点.设C为直线上的一个动点,上面的问题就转化为:

当点C在l的什么位置时,AC与CB的和最小（如图）.

强调:

将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”

三、巩固训练

综合训练

茅坪民族中学八

（2）班举行文艺晚会,桌子摆成如图a所示两直排（图中的AO,BO）,AO桌面上摆满了橘子,OB桌面上摆满了糖果,站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果,然后到D处座位上,请你帮助他设计一条行走路线,使其所走的总路程最短?

图a　　

图b

四、反思小结

（1）本节课研究问题的基本过程是什么?

（2）轴对称在所研究问题中起什么作用?

解决问题中,我们应用了哪些数学思想方法?

你还有哪些收获?

五、作业布置

课本93页第15题.

教后反思：

第十三章轴对称复习课

本章的教学重点：

轴对称、轴对称变换、线段垂直平分线的性质和判定、等腰三角形的性质和判定.

本章的教学难点：

等腰三角形的性质和判定.掌握等腰三角形的性质和判定，并