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三、问题分析…………………………………………………………………………（4）
四、模型的建立和求解………………………………………………………………（5）
1问题一…………………………………………………………………………（4）
2问题二………………………………………………………………………（10）
3问题三…………………………………………………………………………（12）
4问题四…………………………………………………………………………（16）
5问题五…………………………………………………………………………（20）
五、模型的评价和推广………………………………………………………………（21）
六、参考文献…………………………………………………………………………（21）
七、附录………………………………………………………………………………（22）
一、问题重述
我们考虑某医院眼科病床的合理安排的数学建模问题。
该医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床79张。
该医院眼科手术主要分四大类：
白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。
白内障手术较简单，而且没有急症。
目前该院是每、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需1、2天。
做两只眼的病人比做一只眼的要多一些，大约占到60%。
如果要做双眼是先做一只，再做另一只。
外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。
其他眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，但大致住院以后2-3天内就可以接受手术，主要是术后的观察时间较长。
这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在、。
由于急症数量较少，建模时这些眼科疾病可不考虑急症。
该医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制，但考虑到手术医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。
当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS（Firstcome,Firstserve）规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长，医院方面希望你们能通过数学建模来帮助解决该住院部的病床合理安排问题，以提高对医院资源的有效利用。
试分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优劣。
试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。
并对你们的模型利用问题一中的指标体系作出评价。
作为病人，自然希望尽早知道自己大约何时能住院。
能否根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。
若该住院部周六、周日不安排手术，请你们重新回答问题二，医院的手术时间安排是否应作出相应调整?
有人从便于管理的角度提出建议，在一般情形下，医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，试就此方案，建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。
二、模型假设和符号说明
模型假设
（1）假设病人到医院的规律服从泊松分布；
（2）由于医院是一个超拥挤系统，假设所有病床的利用率为100%；
（3）假设除外伤外，其余眼科疾病不考虑急症；
（4）假设附录中给的样本数据有代表性，能够反映医院眼科门诊每天接收各类病人
数量的分布以及各类病人术后的观察时间的分布。
（5）不考虑病床已满后前来医院的急症病人；
（6）非外伤病人按照FCFS规则住院；
符号说明
三、问题分析
对于问题一，需要确定合理的评价指标体系，就必须从所给信息中抽象出一些具
有代表性的指标，比如病床周转率、平均住院日、等待时间，然后根据已知数据计算分析这些指标的关系，最后得到一个总的评价指标，评价指标越低，说明病床安排越合理。
对于问题二，在FSFC规则下，有可能由于病人的术前等待时间过长而使病人满意度降低，同时使队列中等待人数增加。
此时就必须对模型做出改进。
在一个星期的每一天对各种病人的住院顺序确定一个优先级（外伤的优先级始终是最高），然后根据优先级顺序得到权值矩阵，再根据权值矩阵重新安排病人住院，然后计算各项指标，利用问题一中建立的评价体系计算出总指标，并进行比较分析。
对于问题三，根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。
同时，根据已有的样本可以统计出不同病情病人的入院等待时间，计算置信区间，同模拟得到结果对比。
对于问题四，如果周六、周日不安排手术，那么根据提议，对白内障（双眼）有三种方案：
周一和周三，周二和周四，周三和周五。
同样利用问题二中的方法对病人住院进行中心安排，最后根据评价指标判断它们的优劣。
对于问题五，需要固定各类病床数目，使得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短，利用排队论方法，当达到服务强度平衡时，病床的分配即为最优比例。
四、模型的建立和求解
问题一
模型建立
首先从所给数据中选取一些灵敏度高，代表性强，有一定区分度而又相互独立的指标，具体可分为医院方指标和病人方指标。
具体分析如下。
对于医院来说，考虑的是病床周转率、病床利用率、队列中等待人数和平均病床工作日。
由于这是一个超拥挤的系统，队列始终不是空的，因此可认为实际的病床利用率达到100%。
由于同样的原因，平均病床工作日这个指标也就没有了意义。
对于病人来说，考虑的是入院等待时间、术前等待时间和平均住院日。
平均住院日包括病人的术前等待时间和术后康复时间，二对于某一特定类型的病人来说，术后康复时间基本上是确定的，无法进行再优化，只能通过合理的安排来缩短平均等待时间，所以平均住院日可以不考虑。
其次，由于分配病床是直接针对病人进行的，因此病人的平均等待时间可以说是决定了队列中的等待人数。
因此每个病人分配的是否合理即平均等待时间是否最短，决定了队列中等待人数是否最少，所以队列中等待人数这个指标可以不予考虑。
综上所述，病床周转率、入院等待时间、术前等待时间符合指标的选取条件，所以我们选择这三项指标作为评价指标。
病床周转率
病床周转率是指一定时期内每张病床对应的平均病人转换次数，即
k天内的病床周转率为
。
病床周转率代表病床的有效工作率。
病床周转率越高，表明单位时间内单位病床接纳的病人数越多，医院效率越高，所以病床周转率为高优指标。
入院等待时间
病人在门诊后并不能够马上入院，必须依据排队的原则具体安排入院时间。
故在病人门诊后和入院之间有一定时间间隔，间隔的长短，则可视作医院处理病人的效率的评价。
由于外伤病人一般是立即住院，存在着绝对优先性，因此入院等待时间一般不超过一天，而非急症病人按照FCFS原则入院，等待时间可能会很长。
所以在考虑这项指标时，为了利于数据的分析处理，决定将外伤病人单独进行处理。
平均入院等待时间的计算公式为：
对于病人来说，入院等待时间越短，越早接受治疗，病床安排越合理，医院效率越高，病人满意度也就越高，因此入院等待时间是低优指标。
术前等待时间
对于不同病情，考虑到手术的准备时间，以及白内障病人手术时间的特殊性从入院到进行手术需要一定的等待时间。
同样由于外伤病人的绝对优先性，将其单独进行处理。
对于病人来说，术前等待时间越少，所花的住院费相对就越少，在恢复时间基本不变的条件下，出院时间也就越早，这样不仅能够提高病人满意度，还可以提高医院效率，因此也属于低优指标。
一般来说，等待时间越长，病人的满意度越低，最后趋于平缓，但单位间隔的等待时间对满意度的影响因子是有差异的，从实际情况考虑，应与反“S”型曲线相吻合。
所以选取两组反“S”型曲线作为等待时间的隶属函数，函数值为对病人满意度的影响因子。
由表格中数据分析，除了外伤病人，其它病人的隶属函数差异不大，因此可以将这四类病人的数据进行一起拟合。
得到两组隶属函数后，分别计算出每个病人的两种满意度因子，加权平均得到每个病人的满意度因子，再对所有病人进行均值处理得到总的满意度因子。
反“S”型曲线可以用logistics函数拟合，表达式为为
，我们需要利用表格中数据进行曲线拟合，从而求得三个参数值。
模型求解
我们对模型进行求解，得到评价模型中的各个参数、权重以及函数，同时用我们建立的评价体系对医院目前的床位安排作出评价
（1）病人满意度隶属函数的选择和确定
鉴于外伤的绝对优先性，它的等待时间不受其它因素的影响，所以将其剔除。
以入院等待时间为例，由数据知最大值为16天，最小值为10天，为了使模型更具一般性，令
，代入表达式解得
于是隶属函数表达式为
图像如下:
图1病人满意度随入院等待时间变化规律曲线
运用相同的方法，得到术前等待时间对病人满意度满意度影响函数
由数据知术前等待时间最大值为7天，最小值为1天，为了使模型更具一般性，扩大区间，令
，得到隶属函数为
图像为
图2病人满意度随术前等待时间变化规律曲线
考虑到外伤病人的特殊性，利用一个单值函数来描述其满意度：
将各种病人的两种满意度分别求加权平均和，设病人满意度因子为η，则结果统计如下：
，考虑到病人在住院后每天到要缴纳住院费，因此单位术前等待时间对总满意度的影响要比单位入院等待时间要大，依据经验，设二者权重分别为0.4和0.6，由此得到总满意度因子为
（2）病床周转率的计算
由计算公式知，k天内N张病床周转率为
，由表格中数据求得
（3）总评价指标的计算
本着以人为本的原则，考虑实际情况中病人的满意度对整个系统评价体系的影响要比医院效率高，因此权重分配为0.7和0.3。
由于病人的满意度为低优指标，医院的效率为高优指标，由此计算得FCFS体系下病床安排模型的总评价指标为：
η越小，说明病床安排模型越合理。
模型的稳定性分析
由于在上述模型求解过程中，两次人为进行了权重的分配：
入院等待时间和术前等待时间对病人满意度的影响，病人满意度和医院效率对总评价指标的影响。
因此，模型存在着较大的主观性。
为了比较不同的人对权重分配的差异对总评价指标的影响，以下进行模型的稳定性分析。
设入院等待时间和术前等待时间权重分别为w1和w2，病人满意度和医院效率的权重分别为w3和w4，则w1、w2、w3、w4满足
则总的评价指标为
其中
均已知。
消去
，并将已知值代入，得到：
由于非线性模型利用lingo进行灵敏度分析和观察影子价格没有什么意义，所以这里简单的将w1和w3分别取一些合理的值，计算的总评价指标如下：
表1模型的稳定性分析结果
w1
w3
η
0.2
0.6
0.397672
0.3
0.377248
0.4
0.356824
0.7
0.477334
0.453506
0.429678
0.8
0.556996
0.529764
0.502532
由表中数据知选择不同的权重对总评价指标会有不同程度的影响。
问题二
现有的医院病床安排模型是“FCFS”原则，为考虑它的缺点，存在较多的空置床位，如果病人入院后的手术准备时间已经足够了，可是这是还不能进行手术，那么多出来的这段时间就是“浪费床日数”。
这样，既在医院里浪费了患者的时间，造成住院费开销的增大，又浪费了医院的床位资源，导致其他病人无法入院。
我们是在第一天根据第二天的拟出院人数来确定第二天应该安排哪些人住院。
改进方法如下：
1.考虑通过合理安排每天入住的病人种类（对应不同的星期挂号的不同种类的病人进行加权）初略优先级评判+具体权值分配；
2.考虑合理调整不同种类的病人的治疗时间。
确定权值矩阵
矩阵中最大值为1，最小值为0，权值越大，代表在改天分配此种病人的概率越大
1.外伤病人（准备时间1天）：
考虑到外伤病人的随机性以及针对于外伤的严重性，认为有外伤病人挂号就需要在第二天为其安排手术，因此其对应的权值都为1，
2.白内障（单眼）病人（准备时间1天）：
白内障病人单眼只能在周一或周三进行手术，二期准备时间为1天，因此其周日、周二入院第二天便可进行手术，因此其入院权值为：
表2白内障病人每天入院权值表
周一
周二
周三
周四
周五
周六
周日
0.9
3.白内障（双眼）病人（准备时间1天）：
白内障病人双眼只能在周一进行手术，因此其入院权值为：
表3白内障（双眼）病人每天入院权值表
0.1
0.5
4.青光眼（准备时间2～3天）、视网膜疾病（准备时间2～3天），这两类疾病的处理及特殊性均大致相同，不能在周一和周三进行手术，准备时间约为2～3天，但其对应的术后观察时间较长，青光眼约为8天，视网膜约为10天，周一进行手术的青光眼患者，对应在周四出院，考虑到白内障患者只能在周一或者周三进行手术，而若留院时间中占据了周日周二的时间（白内障最好的入住时间），则对应的相应的权值将有所减小，
青光眼权值=（后天为周三或周一围0.9，其余为1）-（回复的几天内多包括了几个周二或周日）-（手术准备期间包括了几个周二或周日）。
表4青光眼病人每天入院权值表
0.8-0-0.1
0.9-0-0.1
0.9-0
0.9-0.2
0.8-0.3
0.9-0.1
表5视网膜病人每天入院权值表
0.8-0.1
0.9-0.3
于是得到总的权值矩阵为：
列分别代表：
白内障（单眼），白内障（双眼），青光眼，视网膜，外伤
进一步，我们将上述权值矩阵中的青光眼与视网膜疾病部一起考虑，得到以下的优先级列表
表6各种病人住院优先级表
病种
白内障（单眼）
高
低
中
白内障（双眼）
青光眼/视网膜
外伤
最高
同时，对于相同种类的疾病患者之间，采用FCFS的原则进行服务
综上，我们提出以下的排队模型
1.将整体的服务分为4个部分，以此为白内障（单眼）、白内障（双眼）、青光眼与视网膜、外伤，4个不同的部分之内满足FCFS的服务原则，而4个部分又分别对于总病床的分配根据星期的不同产生不同的影响，具体表现为上面的优先级矩阵。
2.每一天医院安排入住的情况由上一天离开医院的人留下的空位数决定，对于优先级最高的外伤，采取有位置就给予分配的原则。
对于其余病状，依照优先级由高到低依次分配
基于以上的原则，我们对8月8日以后的病人安排进行相应的重配置，首先确定8月8日时的病床利用情况，以及队列情况。
对于8月8日当天的病床安排情况为在8月8日以前住院而在8月8日以后出院的人的，得到如表所示的病床情况，共79人。
考虑8月8日时的队列情况，选取8月8日以前门诊而在8月8日以后入院的病人
我们先定义两个集合分别为病床集合C代表某天正在住院的病人集合，对于任意一天，其中的元素共有79个
队列集合L表示已经进过门诊但还为入院的病人，L中元素没有上限，L中又具体分为4个子集合（队列）：
L1白内障（单眼）、L2白内障（双眼）、L3青光眼/视网膜疾病、L4外伤，四个不同的疾病种类有分别按照上述的分配方案补充C中由于出院而减少的人数。
现以8月8日为例说明病人的分配情况
8月8日（周五）有1个外伤病人（230233）此时根据权值表青光眼与白内障（双眼）具有相同的优先级，因此在队列中取两种病相对应的队列L2、L3将里面的病人按照FCFS的原则进行分配，具体如下：
表78月8日安排入院名单
序号
类型
门诊时间
原入院时间
230
2008-8-7
2008-8-8
233
114
视网膜疾病
2008-7-24
116
2008-7-25
117
118
119
120
青光眼
2008-7-26
123
125
2008-7-27
127
129
2008-8-9
131
132
133
2008-7-28
按照上述的方法，将8月8日之后的第114组至第349组数据通过计算机模拟的方法来安排入院，得到相应的安排表（见附录1）
将附录1中的数据利用问题1中的评价体系加以评价，得到改进之后的满意度为0.3704。
可见模型比原模型有了一定程度的改进。
问题三
对于问题3中的门诊至入院时间，主要受到两个部分的影响：
1．病人的到达人数。
即每天达到的门诊人数，若门诊人数越少，则相应的病人所需等待的时间就越少。
通过数据拟合，我们认为，在一段时间内达到的门诊病人数服从参数为
的泊松分布。
2．住院病人留院观察时间的。
该方面与病人的种类有关，同时，对于同种眼病的病人之间，由于身体条件、病情严重程度的不同，其对应的术后观察（恢复）时间也不同，我们考虑不同种的病人的术后恢复时间分布，发现其没有确定的分布规律。
病人的到达分布，对于医院中的病人到来，我们近似其为一马尔可夫链，单位时间内病人的到来人数服从泊松分布，通过统计表中所列出的所有种类的病人人数，得到一下的数据：
白内障100；
白内障双133；
青光眼63；
视网膜疾病170；
外伤64
图3病人种类比例图
对此，我们考虑采用蒙特卡罗方法进行计算机模拟，以外伤病人为例，其分布图为：
图4外伤病人术后恢复时间分布
对应于总人数（55人），依照每个时间对应的人数将[0,1]区间分为8个段：
[0.0000,0.0364]对应术后时间为3天
（0.0364,0.2545]对应术后时间为4天
（0.2545,0.4364]对应术后时间为5天
（0.4364,0.6000]对应术后时间为6天
（0.6000,0.8000]对应术后时间为7天
（0.8000,0.8909]对应术后时间为8天
（0.8909,0.9455]对应术后时间为9天
（0.9455,1.0000]对应术后时间为10天
其他种类的病人参照如上方法，在通过matlab产生[0,1]之间的随机数，来确定不同病种类的病人其对应的术后留院时间。
基于以上的分析，认为术前等待时间与一下两方面有关：
病人门诊时的队列长度，病人的患病种类。
可以认为两者之间是相互独立的，特别的，对于青光眼和视网膜疾病患者而言，由于两种疾病在术后恢复时间上的差异，导致两者在术前等待时间上也存在着差异。
通过计算机模拟对相应的病床分配以及队列进行模拟仿真，我们得到以下的结论
1.外伤病人：
外伤病人由于其分配时的特殊性，其对应的术前等待时间统一为1天
2.白内障（单眼）
白内障（单眼）基本安排在周日、周一、周二进行手术，而其术后回复时间为[2，4]天，模拟得到其术前等待时间为：
图5白内障（单眼）病人术后恢复时间分布
等待住院病人队列长度
入住等待时间
10-25人
1-4天
25-80人
5-9天
3.白内障（双眼）
根据问题二的分配方法，白内障（双眼）基本安排在周五周六周日进行手术，在周六周日将对此类病人进行集中的分配入院，术后回复时间约为2～3天（主要为3天），模拟得到
图6白内障（双眼）病人术后恢复时间分布
0-40人
0-4天
40-80人
5-8天
4.青光眼
青光眼患者主要在周二至周五分配住院，，其术后回复时间主要集中在4～6天的时间段内，由于术后回复时间较长，当队伍长度较大时，需要等待的时间将会较大增长，而当队伍较短时，由于安排时间较多（一星期内有4天），其等待时间很短，模拟得到
图7青光眼病人术后恢复时间分布
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