高考第二轮复习理数专题十 不等式Word文档下载推荐.docx
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0，>
，故A项错误；
B项，由a<
0，得b（a－b）>
b2，故B项错误；
C项，由a<
0，得a（a－b）>
0，a2>
ab，即－ab>
－a2，故C项错误；
D项，由a<
0，得a－b<
0，故－－＝<
0，－<
－成立．故D项正确．
方法二（特殊值法）：
令a＝－2，b＝－1，则＝－>
－1＝，ab＝2>
1＝b2，－ab＝－2>
－4＝－a2，－＝<
1＝－.故A，B，C项错误，D项正确．
5．（2011·
上海，15，易）若a，b∈R，且ab>
0，则下列不等式中，恒成立的是（ ）
A．a2＋b2>
2abB．a＋b≥2
C.＋>
D.＋≥2
5．D A项，当a＝b＝1时，满足ab>
0，但a2＋b2＝2ab，所以A错误；
B，C项，当a＝b＝－1时，满足ab>
0，但a＋b<
0，＋<
0，而2>
0，显然B，C错误；
D项，当ab>
0时，由基本不等式得＋≥2＝2，所以D正确．
6．（2011·
浙江，7，易）若a，b为实数，则“0<
ab<
1”是“a<
或b>
”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
6．A 当0<
1时，若b>
0，则有a<
；
若b<
0，则a<
0，从而有b>
，故“0<
或b>
”的充分条件．反之，取b＝1，a＝－2，则有a<
，但ab<
0，故选A.
不等式的性质及应用是不等式的一个基础内容，高考中主要以客观题形式呈现，难度不大，分值5分，复习时注意不等式的等价变形，特别是不等式两边同乘以或同除以一个数时，不等式的方向变化．
（1）（2016·
北京平谷区质检，6）已知a，b，c，d均为实数，有下列命题：
①若ab＞0，bc－ad＞0，则－＞0；
②若ab＞0，－＞0，则bc－ad＞0；
③若bc－ad＞0，－＞0，则ab＞0.
其中正确命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
（2）（2014·
课标Ⅰ，9）不等式组的解集记为D.有下面四个命题：
p1：
∀（x，y）∈D，x＋2y≥－2，
p2：
∃（x，y）∈D，x＋2y≥2，
p3：
∀（x，y）∈D，x＋2y≤3，
p4：
∃（x，y）∈D，x＋2y≤－1.
其中的真命题是（ ）
A．p2，p3B．p1，p2C．p1，p4D．p1，p3
【解析】
（1）对于①，∵ab＞0，bc－ad＞0，∴－＝＞0，∴①正确；
对于②，∵ab＞0，又－＞0，即＞0，∴bc－ad＞0，∴②正确；
对于③，∵bc－ad＞0，又－＞0，即＞0，∴ab＞0，∴③正确．
（2）设x＋2y＝m（x＋y）＋n（x－2y），
则解得
∵∴（x＋y）≥，－（x－2y）≥－，
∴x＋2y＝（x＋y）－（x－2y）≥0.
故命题p1，p2正确，p3，p4错误．
【答案】
（1）D
（2）B
题
（1）实质为ab＞0，bc－ad＞0，－＞0三个结论之间的轮换，知二推一，利用不等式的性质判断．
（2）利用不等式组求x＋2y的范围，注意性质应用的条件，以免扩大取值范围．
判断关于不等式的命题真假的三种方法
（1）直接运用不等式的性质：
把要判断的命题和不等式的性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，然后进行推理判断．
（2）利用函数的单调性：
当直接利用不等式性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性等进行判断．
（3）特殊值验证法：
给要判断的几个式子中涉及的变量取一些特殊值，然后进行比较、判断．
利用不等式的性质求取值范围的方法
由a＜f（x，y）＜b，c＜g（x，y）＜d求F（x，y）的取值范围，可利用待定系数法解决，即设F（x，y）＝mf（x，y）＋ng（x，y），用恒等变形求得m，n，再利用不等式的性质求得F（x，y）的取值范围．
1.（2014·
四川·
4）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（ ）
A.＞B.＜
C.＞D.＜
1．D 方法一：
c<
d<
0⇒cd>
0⇒<
<
0⇒⇒>
⇒<
.
方法二：
依题意取a＝2，b＝1时，c＝－2，d＝－1，代入验证得A，B，C均错，只有D正确．
2．（2016·
江苏镇江模拟，14）设x，y为实数，满足3≤xy2≤8，4≤≤9，则的最大值是________．
2．【解析】 方法一：
由题意知，实数x，y均为正数，则条件可化为lg3≤lgx＋2lgy≤lg8，lg4≤2lgx－lgy≤lg9.
令lgx＝a，lgy＝b，
则有设t＝，则lgt＝3lgx－4lgy＝3a－4b.令3a－4b＝m（a＋2b）＋n（2a－b），解得m＝－1，n＝2，故lgt＝－（a＋2b）＋2（2a－b）≤－lg3＋4lg3＝lg27.所以的最大值为27.
将4≤≤9两边平方，得
16≤≤81.①
由3≤xy2≤8，得≤≤.②
由①②，得2≤≤27，即的最大值是27.
【答案】 27,
河北衡水一模，5）设a，b为实数，命题甲：
ab＞b2，命题乙：
＜＜0，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
1．B 命题甲：
ab＞b2，不能推出命题乙：
＜＜0，比如取a＝2，b＝1，虽然满足甲，但推不出乙；
若命题乙：
＜＜0成立，则可得a，b均为负值，且a＜b，由不等式的性质两边同乘b可得ab＞b2，即甲成立，故甲是乙的必要不充分条件，故选B.
湖北荆门模拟，8）已知a＜0，－1＜b＜0，那么下列不等式成立的是（ ）
A．a＞ab＞ab2B．ab2＞ab＞a
C．ab＞a＞ab2D．ab＞ab2＞a
2．D 由－1＜b＜0，得b＜b2＜1.又∵a＜0，∴ab＞ab2＞a.
3．（2015·
河北衡水二模，5）已知0<
a<
1，则（ ）
A.>
B.<
C．（lga）2<
（lgb）2D.>
3．D 因为0<
1，
所以－＝<
0.
可得<
，>
，（lga）2>
（lgb）2，lga<
lgb<
由lga<
0得>
，因此只有D项正确．
利用不等式的性质和指数函数、对数函数的单调性求解．
4．（2016·
安徽合肥质检，6）已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足b＋c≤3a，则的取值范围为（ ）
A．（1，＋∞）B．（0，2）C．（1，3）D．（0，3）
4．B 由已知及三角形三边关系得∴
∴两式相加得，
0＜2×
＜4，
∴的取值范围为（0，2），故选B.
5．（2016·
浙江宁波模拟，5）对于0＜a＜1，给出下列四个不等式：
①loga（1＋a）＜loga；
②loga（1＋a）＞loga；
③a1＋a＜a1＋；
④a1＋a＞a1＋.
其中成立的是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
5．D 因为0＜a＜1，所以（1＋a）－＝＜0，则1＋a＜1＋，可知②④成立．
6．（2016·
广东汕头一模，10）已知实数x，y满足则4x＋2y的取值范围是________．
6．【解析】 方法一：
∵1≤x＋y≤3，①
－1≤x－y≤1，②
由①＋②，得0≤2x≤4，③
③×
2得0≤4x≤8，④
由①－②，得2≤2y≤2，⑤
由④＋⑤得2≤4x＋2y≤10.
令4x＋2y＝m（x＋y）＋n（x－y），
即4x＋2y＝3（x＋y）＋（x－y），
∵1≤x＋y≤3，
∴3≤3（x＋y）≤9，
又∵－1≤x－y≤1，
∴2≤3（x＋y）＋（x－y）≤10.
∴2≤4x＋2y≤10.
【答案】 [2，10]
课标Ⅰ，1，易）设集合A＝{x|x2－4x＋3<
0}，B＝{x|2x－3>
0}，则A∩B＝（ ）
A.B.
C.D.
1．D [考向1]本题考查集合的运算以及不等式的解法．A＝{x|1<
x<
3}，B＝.所以A∩B＝.
课标Ⅲ，1，易）设集合S＝{x|（x－2）（x－3）≥0}，T＝{x|x>
0}，则S∩T＝（ ）
A．[2，3]B．（－∞，2]∪[3，＋∞）
C．[3，＋∞）D．（0，2]∪[3，＋∞）
2．D [考向1]S＝{x|x≤2或x≥3}，T＝{x|x>
0}，∴S∩T＝（0，2]∪[3，＋∞）．
天津，4，易）设x∈R，则“|x－2|＜1”是“x2＋x－2＞0”的（ ）
3．A [考向1]由|x－2|＜1⇔－1＜x－2＜1⇔1＜x＜3.
由x2＋x－2＞0⇔x＜－2或x＞1.
而（1，3）（－∞，－2）∪（1，＋∞），
所以“|x－2|＜1”是“x2＋x－2＞0”的充分而不必要条件，故选A.
安徽，6，中）已知一元二次不等式f（x）<
0的解集为，则f（10x）>
0的解集为（ ）
A.
B.
C.
D.
4．D [考向1]∵f（x）<
0的解集为
，
∴f（x）>
0的解集为.
∴由f（10x）>
0得，－1<
10x<
，解得x<
－lg2.
5．（2013·
陕西，9，中）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x（单位：
m）的取值范围是（ ）
A．[15，20]B．[12，25]
C．[10，30]D．[20，30]
5．C [考向1]设矩形另一边长为y，则由相似三角形得，＝，且40＞x＞0，40＞y＞0，故其邻边长y＝（40－x）m，故矩形面积S＝x（40－x）＝－x2＋40x，由S≥300得－x2＋40x≥300，解得10≤x≤30.
6．（2013·
天津，8，难）已知函数f（x）＝x（1＋a|x|），设关于x的不等式f（x＋a）<
f（x）的解集为A.若⊆A，则实数a的取值范围是（ ）
C.∪
6．A [考向2]由题意可得0∈A，即f（a）<
f（0）＝0，所以a（1＋a|a|）<
0，当a>
0时无解，所以a<
0，此时1－a2>
0，所以－1<
0.抛物线的对称轴x＝，x＝－之间的距离大于1，而[x＋a，x]的区间长度小于1，所以不等式f（x＋a）<
f（x）的解集是，所以
⊆，
所以
即
解得<
，又－1<
0，
所以实数a的取值范围是.
7．（2012·
浙江，17，难）设a∈R，若x＞0，均有[（a－1）x－1]·
（x2－ax－1）≥0，则a＝________.
7．[考向3]【解析】
（1）当a＝1时，不等式可化为对∀x，x>
0时均有x2－x－1≤0，由二次函数的图象知，显然不成立，
∴a≠1.
（2）当a<
1时，∵x>
0，∴（a－1）x－1<
0，则不等式可化为x>
0时均有x2－ax－1≤0.
∵二次函数y＝x2－ax－1的图象开口向上，∴不等式x2－ax－1≤0在x∈（0，＋∞）上不能恒成立，∴a<
1不成立．
（3）当a>
1时，令f（x）＝（a－1）x－1，g（x）＝x2－ax－1，两函数的图象均过定点（0，－1）．∵a>
1，∴f（x）在x∈（0，＋∞）上单调递增，且与x轴交点为，即当x∈时，f（x）<
0，当x∈时，f（x）>
又∵二次函数g（x）＝x2－ax－1的对称轴为x＝>
0，则只需g（x）＝x2－ax－1与x轴的右交点与点重合，
如图所示，
则命题成立，即在g（x）图象上，所以有－－1＝0，整理得2a2－3a＝0，解得a＝，a＝0（舍去）．
综上可知a＝.
【答案】
解一元二次不等式及分式不等式一般为容易题，主要以选择题、填空题出现．常与集合的交、并、补结合，难度不大．
在平时复习中应熟练掌握图象法解一元二次不等式的方法，注重分式不等式、绝对值不等式转化为一元二次不等式（组）的等价过程，书写时注意解集写成集合或区间的形式．
1
（1）（2012·
重庆，2）不等式≤0的解集为（ ）
C.∪[1，＋∞）
D.∪[1，＋∞）
（2）（2015·
广东文，11）不等式－x2－3x＋4＞0的解集为________．（用区间表示）
（3）（2013·
江苏，11）已知f（x）是定义在R上的奇函数．当x＞0时，f（x）＝x2－4x，则不等式f（x）＞x的解集用区间表示为________．
【解析】
（1）不等式≤0⇔
解得－＜x≤1，
∴不等式的解集为.
（2）由－x2－3x＋4＞0得x2＋3x－4＜0，
即（x＋4）（x－1）＜0，解得－4＜x＜1.
（3）当x＞0时，f（x）＝x2－4x，
令x＜0，则－x＞0，
∴f（－x）＝x2＋4x.
∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（－x）＝－f（x），
∴－f（x）＝x2＋4x，即x＜0时，f（x）＝－x2－4x.
f（x）＞x，即或或
解得－5＜x＜0或x＞5，
∴不等式f（x）＞x的解集为（－5，0）∪（5，＋∞）．
【答案】
（1）A
（2）（－4，1） （3）（－5，0）∪（5，＋∞）,
解一元二次不等式的步骤
（1）对不等式变形，使不等号一端二次项系数大于0，另一端为0，即化为ax2＋bx＋c>
0（a>
0）或ax2＋bx＋c<
0）的形式；
（2）计算相应的判别式；
（3）当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根；
（4）根据对应的二次函数的图象，写出不等式的解集．
分式不等式的解法
（1）＞0（<
0）
⇔f（x）·
g（x）＞0（<
0）；
（2）≥0（≤0）
⇔
注意：
求解分式不等式，关键是对原不等式进行恒等变形，转化为整式不等式（组）求解．解题时要注意含有等号的分式不等式在变形为整式不等式后，及时去掉分母等于0的情形．
含参数的一元二次不等式问题是高考的热点，主要出现在综合题中，常与函数、导数联系在一起，难度较大，复习时要加强此知识点的强化训练．
2
（1）（2013·
重庆，7）关于x的不等式x2－2ax－8a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），且x2－x1＝15，则a＝（ ）
A. B.C. D.
（2）（2016·
河南中原名校联考，5）已知函数f（x）＝2x2＋bx＋c（b，c∈R）的值域为[0，＋∞），若关于x的不等式f（x）＜m的解集为（n，n＋10），则实数m的值为（ ）
A．25B．－25C．50D．－50
【解析】
（1）方法一：
由条件知，x1和x2是方程x2－2ax－8a2＝0的两根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2，所以（x2－x1）2＝（x2＋x1）2－4x1x2＝4a2＋32a2＝36a2＝152.又a＞0，所以a＝.
由x2－2ax－8a2＜0，得（x＋2a）（x－4a）＜0.
因为a＞0，所以不等式的解集为（－2a，4a）．又不等式的解集为（x1，x2），所以x1＝－2a，x2＝4a，从而x2－x1＝6a＝15，解得a＝.
（2）由函数f（x）＝2x2＋bx＋c（b，c∈R）的值域为[0，＋∞）知，Δ＝b2－8c＝0，所以c＝.不等式f（x）＜m即2x2＋bx＋＜m，即2x2＋bx＋－m＜0的解集为（n，n＋10）．设方程2x2＋bx＋－m＝0的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－，x1x2＝－，所以|x1－x2|＝＝＝.
由题意知|x1－x2|＝|n＋10－n|＝10，所以m＝50.
【答案】
（1）A
（2）C,
（1）方法一利用不等式的解集以及根与系数的关系得到两根关系式，然后与已知条件化简求解a的值；
方法二注意因式分解的恰当应用会给解题带来意想不到的效果．
（2）二次函数f（x）＝2x2＋bx＋c（b，c∈R）的值域为[0，＋∞）等价于Δ＝0；
f（x）＜m的解集为（n，n＋10）转化为两交点间的距离|x1－x2|＝10.
解含参数的一元二次不等式的步骤
（1）二次项系数若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．
（2）判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．
（3）确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．
一元二次不等式恒成立问题也是高考的一个考点，主要考查根据一元二次不等式的恒成立求参数的范围、求最值等，一般以选择题或填空题的形式出现，试题难度不大．
3
（1）（2014·
江苏，10）已知函数f（x）＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是________．
山东，15）已知函数y＝f（x）（x∈R）．对函数y＝g（x）（x∈I），定义g（x）关于f（x）的“对称函数”为函数y＝h（x）（x∈I），y＝h（x）满足：
对任意x∈I，两个点（x，h（x）），（x，g（x））关于点（x，f（x））对称．若h（x）是g（x）＝关于f（x）＝3x＋b的“对称函数”，且h（x）>
g（x）恒成立，则实数b的取值范围为________．
【解析】
（1）要满足f（x）＝x2＋mx－1<
0对于任意x∈[m，m＋1]恒成立，
只需即
解得－<
m<
（2）由已知得＝3x＋b，
所以h（x）＝6x＋2b－.
因为h（x）>
g（x）恒成立，所以6x＋2b－>
即3x＋b>
恒成立．
在同一坐标系中画出y＝3x＋b及半圆y＝的图象，如图所示．
当直线3x－y＋b＝0与半圆相切时，d＝＝2，此时，b＝2.
结合图象可知，b的取值范围为（2，＋∞）．
【答案】
（1）
（2）（2，＋∞）
（1）结合二次函数的图象及性质只需满足f（m）＜0且f（m＋1）＜0即可；
（2）先根据“对称函数”的定义，求出h（x），然后在同一坐标系下，画出整理后的两个函数的图象，利用数形结合的思想求解．
一元二次不等式恒成立问题的解题方法
（1）图象法：
对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方；
恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．
（2）更换主元法：
如果不等式中含有多个变量，这时选准“主元”往往是解题的关键，即需要确定合适的变量或参数，能使函数关系更加清晰明朗．一般思路为：
将已知范围的量视为变量，而待求范围的量看作是参数，然后借助函数的单调性或其他方法进行求解．
（3）分离参数法：
如果欲求范围的参数能够分离到不等式的一边，那么这时可以通过求出不等式另一边式子的最值（或范围）来得到不等式恒成立时参数的取值范围．一般地，a≥f（x）恒成立时，应有a≥f（x）max，a≤f（x）恒成立时，应有a≤f（x）min.
（2015·
河北石家庄一模，13）对任意的k∈[－1，1]，函数f（x）＝x2＋（k－4）x＋4－2k的值恒大于零，则x的取值范围是________．
【解析】 因为对任意k∈[－1，1]，函数f（x）＝x2＋（k－4）x＋4－2k>
0恒成立，
所以一次函数g（k）＝k（x－2）＋x2－4x＋4>
0在[－1，1]上恒成立，
解得x<
1或x>
3，
所以x的取值范围为（－∞，1）∪（3，＋∞）．
【答案】 （－∞，1）∪（3，＋∞）,
河北张家口质检，3）对于任意实数x，不等式（a－2）x2－2（a－2）x－4＜0恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．（－∞，2）B．（－∞，2]
C．（－2，2）D．（－2，2]
1．D [考向3]当a－2＝0，即a＝2时，－4＜0，恒成立；
当a－2≠0时，则
解得－2＜a＜2，
∴－2＜a≤2.
故选D.
天津河东一模，7）在R上定义运算⊗：
x⊗y＝x（1－y），若对任意x＞2，不等式（x－a）⊗x≤a＋2都成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．[－1，7]B．（－∞，3]
C．（－∞，7]D．（－∞，－1]∪[7，＋∞）
2．C [考向3]由题意可知，不等式（x－a）⊗x≤a＋2可化为（x－a）（1－x）≤a＋2，即x－x2－a＋ax≤a＋2，则a≤对x＞2都成立，即a≤（x∈（2，＋∞）），
由于＝（x－2）＋＋3
≥2＋3＝7（x＞2），
当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立，
∴a≤7，故选C.
3．（2016·
安徽合肥模拟，6）“已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为（1，2），解关于x的不等式cx2＋bx＋a＞0.”给出如下的一种解法：
解：
由ax2＋bx＋c＞0的解集为（1，2），得a＋b＋c＞0的解集为，即关于x的不等式cx2＋bx＋a＞0的解集为.
参考上述解法：
若关于x的不等式＋＜0的解集为∪，则关于x的不等式－＞0的解集为（ ）
A．（－1，1）
B.∪
D.∪
3．B [考向1]根据题意，
由＋＜0的解集为
∪，
得＋＜0的解集为
即－＞0的解集为
∪.
故选B.
江苏苏州一模，11）已知函数f（x）＝则满足不等式f（1－x2）＞f（2x）的x的取值范围是________．
4．[考向1]【解析】 当x＝－1时，无解．
当－1＜x＜0时，1－x2＞0，f（1－x2）＞f（2x）化为（1－x2）2＋1＞1，恒成立．
当0≤x≤1时，1－x2≥0，2x≥0，f（1－x2）＞f（2x）化为（1－x2）2＋1＞（2x）2＋1，即1－x2＞2x，（x＋1）2＜2，∴0≤x＜－1.
当1－x2＜0时，无解．
综
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