东北三省三校高三一模数学理版含答案最新整理Word文件下载.docx

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5.

+=

与椭圆C:

yx1共焦点且过点（1,3）的双曲线的标准方程为

1612

2y2

22y2x2

y22

A.x-=13

B.

y

-2x=1

C．-=122

D．-x=13

6.将4名实习教师分配到高一年级的3个班实习，若每班至少1名教师，则不同的分配方案种数为

A．12B．36C．72D．108

7.按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M的值是

A．5B．6C．7

D．88．若（-

1）n的展开式中第四项为常数项，则n=

A．4B．5

C．6D．7

9.

已知y=Asin（x+）+k函数的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线x=

23

是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为

A.

y=4sin（4x+）

6

y=2sin（2x+

）+2

3

C.y=2sin（4x+

D.

y=2sin（4x+

10.点A、B、C、D在同一个球的球面上，AB=BC=，AC=2，若四面体ABCD体积的

最大值为，则这个球的表面积为

125

A．

B．8C．

25

4

D．

16

11.若点P在抛物线上，则点P到点的距离与点P到抛物线焦点的距离之差

A.有最小值，但无最大值B．有最大值，但无最小值

C．既无最小值，又无最大值D．既有最小值，又有最大值

12.

已知f（x）=

lnx

lnx，f（x）在xx

处取得最大值，以下各式正确的序号为

1+x0

①f（x0）<

x0

②f（x0）=x0

③f（x0）>

④f（x0）<

2

⑤f（x0）>

A．①④B．②④C．②⑤D．③⑤

第II卷（非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题要求考生必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

⎧3x-y-6≤0

⎪x-y+2≥0

13.

⎨x≥0

设x，y满足约束条件⎪

⎪

⎪⎩y≥0

，则目标函数z=2x+y的最大值为。

1

14.已知Ω={（x,y）||x|≤1,|y|≤1}，A是曲线y=x2与y=x2围成的区域，若在区域Ω上

随机投一点P，则点P落入区域A的概率为。

15.已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆直径为2，则该几何体的体积为

。

16.在ΔABC中，2sin2A=

3sinA，sin（B-C）=2cosBsinC，则。

AB

AC

三、解答题（本大题共70分。

解答应写出文字说明）

17．（本小题满分12分）

nnn

已知数列{a}的前n项和Sn满足S=2a+（-1）n（n∈N*）

（1）求数列{an}的前三项a1，a2，a3；

（2）求证：

数列{a+2（-1）n}为等比数列，并求出{a}的通项公式。

n3n

18．（本小题满分12分）

PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，根据现行国家标准GB3095–2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；

在35微克/立方米~75毫克/立方米之间空气质量为二级；

在75微克/立方米以上空气质量为超标。

PM2.5日均值

（微克/立方米）

[25,35]

（35,45]

（45,55]

（55,65]

（65,75]

（75,85]

频数

从某自然保护区2012年全年每天的PM2.5监测值数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：

（1）从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽取3天，求恰有1天空气质量达到一级的概率；

（2）从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ

的分布列；

（3）以这10天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量状况，则一年（按366天算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级。

（精确到整数）

19．（本小题满分12分）

如图，三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱AA2⊥底面ABC，∠ACB=90°

，E是棱CC1上动点，F是AB中点，AC=1，BC=2，AA1=4。

（1）当E是棱CC1中点时，求证：

CF∥平面AEB1；

（2）在棱CC1上是否存在点E，使得二面角A—EB1—B的

余弦值是，若存在，求CE的长，若不存在，请说明理

17

由。

20．（本小题满分12分）

已知点E（m,0）为抛物线内的一个定点，过E作斜率分别为k1、k2的两条直线交抛物线于点A、B、C、D，且M、N分别是AB、CD的中点

（1）若m=1，k1k2=-1，求三角形

EMN面积的最小值；

（2）若k1+k2=1，求证：

直线MN

过定点。

21．（本小题满分12分）

已知函数f（x）=axsinx+cosx，且f（x）在x=

处的切线斜率为。

48

（1）求a的值，并讨论f（x）在[-,]上的单调性；

（2）设函数g（x）=ln（mx+1）+1-x，x≥0，其中m>

0，若对任意的x∈[0,+∞）总存

在xj∈[0,2]，使得g（xi）≥

1+xi

f（xj）成立，求m的取值范围

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

做题时请写清题号。

22．（本小题满分10分）

选修4-1：

几何证明选讲

如图，圆O的半径OC垂直于直径AB，弦CD交半径OA于E，过D的切线与BA的延长线交于M。

（1）求证：

MD=ME；

（2）设圆O的半径为1，MD=，求MA及CE的长。

23．（本小题满分10分）

选修4-4：

坐标系与参数方程

⎧x=2+2cos

⎩

在直角坐标系xOy中，圆C1和C2的参数方程分别是⎨y=2sin

（φ为参数）和

⎧x=cos

⎨y=1+sin

（φ为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。

（1）求圆C1和C2的极坐标方程；

（2）射线OM:

θ=α与圆C1的交点为O、P，与圆C2的交点为O、Q，求|OP|·

|OQ|的最大值

24．（本小题满分10分）选修4-5：

不等式选讲

设函数f（x）=|x-a|+2x，其中a>

0。

（1）当a=2时，求不等式f（x）≥2x+1的解集；

（2）若x∈（-2,+∞）时，恒有f（x）>

0，求a的取值范围。

2013年三省三校第一次联合模拟考试数学答案

一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

CCBACBBBDCDB

二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13

13.1414.15.

12

24-

16.

三.解答题（本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本题满分12分）

解：

（Ⅰ）在Sn=2an+（-1）n,n≥1中分别令n=1,2,3得：

⎧a1=1

错误！

不能通过编辑域代码创建对象。

解得：

⎪a=0……

⎩3=2

3分

n1

（Ⅱ）由Sn=2an+（-1）n,n≥1得：

S-

=2an-1

+（-1）n-1,n≥2

nn-1

两式相减得：

a=2a-2（-1）n,n≥2

……6分

a=2a-4（-1）n-2（-1）n=2a+4（-1）n-1-2（-1）n

nn-133n-133

a+2（-1）n=2（a

n3

n-1

+2（-1）n-1）（n≥2）3

……9分

故数列⎧a+2（-1）n⎫是以a

-=为首项，公比为2的等比数列．所以

⎨n3⎬

133

a+2（-1）n=1⨯2n-1a=1⨯2n-1-2⨯（-1）n

……12分

n33n33

18.（本题满分12分）

（Ⅰ）记“从10天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A，……1分

C1⋅C2

P（A）=37=

10

21

.……4分

40

（Ⅱ）依据条件，服从超几何分布：

其中N=10,M=3,n=3，的可能值为0,1,2,3，

CkC3-k

其分布列为：

……8分

（Ⅲ）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为P=

一年中空气质量达到一级或二级的天数为，则~B（366,0.7）

7

，

……10分

∴E=366⨯0.7=256.2≈256，

∴一年中平均有256天的空气质量达到一级或二级.…12分

19.（本题满分12分）

（1）证明：

取AB1的中点G，联结EG，FG

F、G分别是棱AB、AB1中点，

∴FG//BB,FG=1BB

121

又FG∥EC，EC=2CC1，FG＝EC

∴四边形FGEC是平行四边形，

∴CF//EG

CF⊄平面AEB1，EG⊂平面AEB1

……4分

∴CF//平面AEB.……6分

（2）解：

以C为坐标原点，射线CA，CB，CC1为x,y,z轴正半轴，

建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.

则C（0，0，0），A（1，0，0），B1（0，2，4）

设E（0,0,m）（0≤m≤4），平面AEB1的法向量n1=（x,y,z）.

则AB1=（-1,2,4）,AE=（-1,0,m）

由AB1⊥n1，AE⊥n1

⎧-x+2y+4z=0

得⎨-x+mz=0

n1=（2m,m-4,2）

∴CA⊥平面C1CBB1

∴

CA是平面EBB1的法向量,则平面EBB1的法向量n2=CA=（1,0,0）

二面角A—EB1—B的平面角余弦值为

217

则cosn,n

>

==

1712

解得m=1（0≤m≤4）

∴在棱CC1上存在点E，符合题意，此时CE=1

20.（本题满分12分）

（Ⅰ）当m=1时，E为抛物线y2=4x的焦点，

∵k1k2=-1，∴AB⊥CD

设AB方程为y=k1（x-1），A（x1,y1）,B（x2,y2）

⎧y=k1（x-1）

由⎨y2=4x

，得k1y

4y4k10，y1y2

y1y2=-4

AB中点M（x1+x2,y1+y2），∴M（2+2，同理，点N（2k2+1,-2k）……2分

22k2

1,）

k11

∴S∆EMN

11

=1|EM|⋅|EN|=⋅

=2……4分

≥2=4

当且仅当k2=

2，即k1=±

1时，△EMN的面积取最小值4．……6分

（Ⅱ）证明：

设AB方程为y=k1（x-m），A（x1,y1）,B（x2,y2）

⎧y=k1（x-m）

4y4k1m0，y1y2

y1y2=-4m

AB中点M（x1+x2,y1+y2），∴M（2+



22

，同理，点N（

+m,）……8分

m,）

k

k2k

∴k=yM-yN=

k1k2

=kk

MNx-xk+k12

MN12

∴MN：

y-

=k1k2[x-（k2+m）]，即y=k1k2（x-m）+2

∴直线MN恒过定点（m,2）．……12分

21.（本题满分12分）

（Ⅰ）f'

（x）=asinx+axcosx-sinx=（a-1）sinx+axcosx

'

……2分

f（）=（a-1）⋅+⋅a⋅=

42428

∴a=1

∴f'

（x）=xcosx

（x）>

0⇒-<

-或0<

（x）<

⇒-<

x<

0,或<

则f（x）在（-,-

）,（0,）上单调递增；

f（x）在（-22

0）,（,）上单调递减；

（Ⅱ）当x∈[0,2]时，f（x）单调递增，∴f（x）min=

则依题g（x）≥1在x∈[0,+∞）上恒成立

m（x2+m-2）

g'

（x）=m,（x≥0,m>

0）（mx+1）（x+1）2

f（0）=1

①当m≥2时，m-2≥0，∴g'

（x）≥0在[0,+∞）上恒成立，即g（x）在[0,+∞）上单调递

m

增，又

g（0）=1，所以

g（x）≥1在

x∈[0,+∞）上恒成立，即

m≥2时成

立……10分

②当0<

m<

2时，当

x∈（0,

2-m）时，

0，此时

g（x）单调递减，

∴g（x）<

g（0）=1，故0<

2时不成立，综上m≥2

22.（本题满分10分）选修4－1：

（Ⅰ）证明：

连接OD，则OD⊥MD

∠CEO+∠ECO=900,∠MDE+∠EDO=900,又∠EDO=∠ECO

∴∠CEO=∠MDE=∠MED,∴MD=ME

……5分

（Ⅱ）解：

由（Ⅰ）MD2=MA⋅MB∴3=MA⋅（MA+2）∴MA=1

在Rt∆MDO中，MO=2,MD=

∴∠MOD=60,∴∠COD=150∴∠ECO=15

CE=

OC

cos∠ECO

=1=-

cos150

23.（本题满分10分）选修4-4：

（Ⅰ）圆C1和C2的的普通方程分别是（x-2）+y=4和x+（y-1）=1，

2222

所以圆C1和C2的的极坐标方程分别是=4cos和=2sin.……5分

（Ⅱ）依题意得，点P,Q的极坐标分别为P（4cos,）和Q（2sin,）

所以|OP|=|4cos|，|OQ|=|2sin|.从而|OP|⋅|OQ|=|4sin2|≤4.

当且仅当sin2=±

1时，上式取“=”即，|OP|⋅|OQ|的最大值是4.……10分

24.（本题满分10分）选修4-5：

（Ⅰ）a=2时，x-2+2x≥2x+1∴x-2≥1,∴x≥3或x≤1，

∴解集为（-∞,1][3,+∞）

⎧3x-a，x≥a

（Ⅱ）f（x）=⎨x+a,x<

a

∴a≥2

a>

0∴当x>

-2时f（x）≥x+a>

-2+a，只需-2+a≥0即可，

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