摇板式造波机所造二维波的完全非线性解Word下载.docx
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（或者说起步时不是横向问题）.
（2）摇板式造渡机所造二维规则波的频域解（包括一阶和二阶解）以及时域线性解有解析表达
式][,通过时域非线性解与它们的比较,可对数值方法作出考核.
（3）作为数值波浪试验水池的基本问题,有其实用意义.因为时域解给出二维非线性渡的瞬态
形式,带有波前,可为在时域中求解绕射或浮体响应问题提供一个无初始条件困难的非线性入射波
模型.'
2时域中的步进法概述
图1是水池剖面及坐标系取法.摇板以（O,一^）为轴摇荡引起水面的波动.摇板的角位移
本文于1994年l1月25日收到.国家自然科学基金资助项目.
弓
水动力学研究与世雕
O（t）和角速度（）为已知量.采用混合欧拉拉格朗日型自由表面条件,速度势..f）应满足
的定解条件为:
图1水池剖面及坐标系
一0
D?
一
Dt一——一一gY
瓦
Dr
=
:
干蛐）
棚
詈一.
在流域中
在瞬时自由表面s上
在S,上
在摇板瞬时位置s上
在固壁s上
【远方辐射条件
其中是自由面上流体质点的位置向量.对每一瞬时,用欧拉观点计算流场,通过Green公式将
Laplace方程的边值问题转化为积分方程
～
c+f唧s一=o
这里
=,一,一
警
[一置）+（一Y）]"
.
（0）是流场周界S上的定点,是该点的速度势,e是该点处周界上两条半切线之间的夹角在
域内部分,是外法向.s包括snsnsnS,但已扣除了定点（玉,Y,）的邻域.s为动边界,总取
在波动传播到达之前,故认为对积分贡献为零.s上q已知,未知;
S上已知,q未知,s上
q=0,未知
积分方程
（2）可离散成代数方程组求解得到自由表面的q以后,由
（1）式中的自由面条件以拉
格朗日观点求出下一时刻自由面的新位置及值,逐次步进求出波形的传播过程.板面上的压力
公式也可采用Lagrange形式
P一一P（+gY一）（3）
进而解出板面所受水动力矩.
贺五洲等摇板式造波机所造二维波的完全非线性解37
3边界积分方程的离散方法
在流场的边界土取一系列节点,为更好地描述波面形状,在S上两相邻节点之间还可取若干
几何点,如图2相邻两几何点（每个节点也认为是一个几何点）之问的边界用连接它们的直线元素
取代,其上的和g用分段三次插值多项式表达,插值点为邻近的节点,即以边界弧长为变数的
三次多项式系数中含有邻近四个节点的或g值.例如编号为一1和k两个节点间的边界上
积分
节点
几何点
图2边界上的节点和几何点
积分方程离散过程中,一个基本的工作就是求连接相邻两几何点P-和P的线元AS上的相应
（s）警和∽1n
S
'
一p
图3边界上的线元和场点
其中r是线元上动点到场点P的距离,S的零点在P-.这两个积分就是线元上强度为多项式分布
P（）的源和偶极在场点P的诱导速度势.lnr~1__9lnr事甥改鸯成以s为变数的解析式,因而积分
结果是可以解析给出的,详见文献[8].一
程
方
数
代
的
知琳
话蒜
一刀
吱
就
分
积
点
场
怍
青
个
每
为把
38水动力学研究与进展1996年第1期
4时间域上的差分离散
在某时间步求解积分方程
（2）之后,便得到了自由面上所有节点处的q值,'
由插值多项式可知
所有几何点上的口值.即的法向导数.沿自由面切向的导数可由的插值函数求导得到,这样
就解出该时刻自由面上每个几何点的速度,进而从
（1）式中上的两个条件求出下一时间步几何
点的位置向量r和值.
般时域计算都要进行若干个周期.目此对每个几何点来说步进的过程是关于时间r的一阶
常微分方程的大型初值问题.为保证计算的稳定性,宜采取Adams预报校正格式.在第时间步计
算完成后可预报第+1时间步自由面上某流体质点的位置及该点的势:
.At
r1一+（55v一59v4-37v一2—9v3）（5）
+55（—一一59（一…
+37（一一:
（6）
是时间步长.预报要用到前三步的相应值,根据预报再求解一次积分方程,得到自由面上各流体
质点的v4,o+,用下列两式:
;
一;
+（9V…+t9V~o一5v~'
o+V）（7j
4-[9（一gj）4-19（一g）
一5（一g）+（上里二一g）一]（8）
进行校正后,才算完成一次时间步进,也就是说一次步进需求解两次积分方程.
利用（3）式计算板面上压力时,若对式中采用向后差分.则每一时间步的压力需在下一时上,
刻解出流场后才能确定.同时对（3）式有关的量如v,,等都要进行记忆储存.
数值经验表明,时间步长的选取与自由面上节点平均间隔有一个最佳匹配关系,以一个周期所
取时间步长数为自由面上一个波长所取节点数之2～2.5倍为宜.
5自由面条件与物面条件的相容性
设Ⅳ为自由面和摇板交点作为节点的编号,它是流场边界法向不连续的点,可看作一个二重
节点.作为板面上的一点有相应的（占）和¨
（占）.作为自由面上的点有相应的,（F）和
¨
（F）.的连续性决定了（占）一（F）,而¨
（占）和（F）在求解积分方程前是已知量,所以
从形式上看积分方程在节点Ⅳ处的未知量是（F）,实际上¨
（F）并非真正的未知量,因为给定
口（占）和自由面形状及,也就是给定占据Ⅳ点的流体质点在自由面切向,板面法向两个方向上
的速度分量,只要这两个方向不一致,Ⅳ点流体质点的速度就唯一确定了,¨
（F）作为它在自由面
法向上的分量也随之确定.求解积分方程时可把¨
（F）作为未知量,只要解法准确,解得的¨
（F）
贺五洲等:
摇板式造波机所遣二维波的完全非线性解39
与Ⅳ点处其它已知量将是协调的.但有一个特殊情
况需引起充分注意,就是当板面法向与自由面切向
致时,如果¨
（B）和一不相等,则q（F）
将成为无穷大.
自由面条件和物面条件在交点Ⅳ处的相容性
是指由两个条所决定的该点处流体质点速度要反映
流动真实情况.中不论在哪个方向上的方向导数都
应是同一流体质点速度矢量在该方向上的分量.非
线性自由面条件和瞬时物面条件是能够保证这种相
容性的,其基础是前一时间步自由面形状及其上的
速度势的正确性.由此可知,自由面形状及其速度势图4二重节点处的流体质点速度
初值的给法是问题的关键所在,这一点往往被忽视,而实际上前违奇异情况恰恰容易在初始时刻发
生.初值的不合理给法会延续在步进过程中,甚至造成步进失败.
关于初值的取法,本文采用下面的方法,取得良好的效果.假设初始时刻水面静止,板面角速度
初值为,所以自由面波形的初始值取为零,但其上的中不能再选零,而选以为底的指数衰减函
中,O,O）一Ce一】'
其中为Ⅳ点初始水平位置,是频域线性解诸衰减波中衰减最慢的一项所对应的衰减系数,即
是方程
?
tgkH=一
的第一个正根.
刍&
lt;
^&
另
选择合适的常数c,使詈f（沿自由面切向速度）等于沿物面法向速度在自由面上的投影,即流体
在初始时刻有一个衰减波接纳板面的起动.用衰减波来模拟摇板起动时刻的流场的理论依据是分
析时域线性解的解析结果后得出的.该结果表明,衰减波是以瞬态形式出现的,而进行波的形成
则需要长时间的积累过程
6时域计算中的辐射条件问题
前面已提到了运动边界问题,将动边界前移速度取为群速度,以保证它总在波前到达的前方,
但波前到达并不是一个严格的概念.事实上板面扰动在起步时就即刻传递到整个流场,因此波前并
不是突然消失在静水面的,而有一个漫长的衰减过程,时域线性解的结果已清楚地说明了这一
点.所以尽管我们将动边界取在按波能传递速度推算的渡前位置之前,在动边界上还是有中和
q的值,若将它们视为零,而不计对积分方程的贡献,就会造成附近波面和中的计算的误差.
虽然在一段短时间内不易看出它对板面附近区域计算的影响,但随着步进过程的延续,误差会在
附近积聚起来形成一个可观的波高,严重影响计算结果,最终造成步进失败.因此在不计的
贡献之同时,要对由此得到的附近的波面和中值进行修正办法是在附近约四分之一波长的
区域进行.滤波"
认为波面和值按的指数函数沿z方向衰减.
40水动力学研究与进展1996年第1期
7数值计算实例及讨论
按照前文所述的数值处理方法,时域步进过程能够稳定地持续若干个周期为了验证数值方法
的有效性,首先计算了一个弱非线性情况,具体参数是:
水深H=3.43m,摇板在静水面以下部分
高度h一1.79m,摇板作初速为零的简谐摇荡一os耐,造二维规则波,摇荡周期为丁一2,圆
02'
681012
（era）
图5波形传播过程（一o.1rad,T=2S）
_
l（毫）
圈6播板所受水动力矩（=0.1rad,T=2S）
（一时域非线性解,-?
-颤域二价解一时域线性解）
颡率一,摇幅=0.1rad.图5是四个周期内波形传播过程,图6是摇板所受水动力矩的历时曲
线.图7是=0.5^（是渡长）处的定点波形历时曲线.直立摇板的频域二阶解和时域线性解均有
相应的解析表达式"
所以在图6和图7中还同时画出了摇板所受水动力矩和定点波形相应的
频域二阶解和时域线性解.可以看出,颡域二阶解和时域线性解基本上体现了弱非线性情况下非线
摇板式造波机所造二维波的完全非线性解41
图7z=0.5处的定点波形（0—0-lrad?
T一2S）
（一时域非线性解,一?
一额域二阶解一一时域线性解）
0246B1012
2（cm）
=4T
（s）
图8波形传播过程（口=0.15rad,T=2S）
性时域解的非线性性质和瞬态特性.这也从比较严格的意义上验证了非线性时域解法的可靠性.
图8和图9给出一0.15rad时相应的波形传播过程和摇板所受水动力矩时域解,这时非线性
性质比起一0,lrad时严重,若用频域二阶解或时域线性解都不能真实地反映解的强非线性性质.
从上面结果还可以看出板面受力在摇荡经过将近半个周期后基本进入稳态,定点波形在波前
到达该点后将近一个周期后也基本进入稳态,这些结论对时域非线性解步进过程持续时间的取定
有重要的参考意义.
需要特别指出的是本文所述时间域和空间域上离散方法,时间域离散步长和空间域离散间距
之间的匹配关系,自由面上速度势初值取法,动边界辐射条件的处理方法等在保证数值计算的准确
性和稳定性方面都是必不可少的前提,否则时域步进过程就不能很好地执行,甚至造成步进失败.
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42水动力学研究与进展
4000
3000
2000
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—
-
1996年第1期
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图9摇扳所受水动力矩时域非线性解（一0.15rad,T一2S）
参考文献
f（I）
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（2）
FullyNonlinearCalculationof2一DWaterWave
GeneratedbyRockerFlapWavemaker
Hew%一zhou
（Dept.ofHydraulicEng.,TsinghuaUniversity,Beijing100084）
DuanWen--yang
（Dept.ofNavalArch.andOceanEng.,HarbinEngineeringUniversity,Harbin150001）
AbstractTheBEMcombinedwiththetime—steppingschemeisemployedinthefullynonlinearnumerical
calculationof2——IMreesurfaceflowgeneratedbylargeamplitudeoscillationofrockerflapwavemaker.Special
considerationispaidonthecompatibilityoffreesurfaceandbodysurfaceconditionsattheintersectionpoint.In
thecasestudyofweaklynonlinearregularwave,thecomparisonofelevationsandhyarodynamicmomentsacting
ontheflapfromthefullynonlinearcalculation,second—ordercalculationinfrequaencydomainandlinearcalculation
intimedomainismade.andtheagreementindicatesthefeaaibi|itythenumericalapproachoftheful|ynon'
near
calcnlation.
Keywords2一Dwaterwave,rockerflapwavemaker,fullynonlinearcalculation,bound—
aryelementmethod'
time—steppingscheme?
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