专升本高数复习资料Word下载.docx

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4.掌握复合函数与隐函数的一阶偏导数的求法。

5.会求二元函数的无条件极值和条件极值。

6.会用二元函数的无条件极值及条件极值解简单的实际问题。

第五章概率论初步

1.了解随机现象、随机试验的基本特点；

理解基本事件、样本空间、随机事件的概念

2.掌握事件之间的关系：

包含关系、相等关系、互不相容关系及对立关系。

3.理解事件之间并（和）、交（积）、差运算的意义，掌握其运算规律。

4.理解概率的古典型意义，掌握事件概率的基本性质及事件概率的计算。

5.会求事件的条件概率；

掌握概率的乘法公式及事件的独立性。

6.了解随机变量的概念及其分布函数。

7.理解离散性随机变量的意义及其概率分布掌握概率分布的计算方法。

8.会求离散性随机变量的数学期望、方差和标准差。

1.了解极限的概念（对极限定义■■-等形式的描述不作要求）。

［主要知识内容］

（1）数列的极限

1.数列

定义按一定顺序排列的无穷多个数称为无穷数列，简称数列，记作｛Xn｝，数列中每一个数称为数列的项，第n项Xn为数列的一般项或通项，例如

（1）1,3,5,…，（2n-1）,…（等差数列）

（2）（等比数列）

（3）…（递增数列）

（4）1,0,1,0,…，…（震荡数列）

都是数列。

它们的一般项分别为

/、1同i+c-ir41

（2n-1）,。

对于每一个正整数n,都有一个Xn与之对应，所以说数列｛Xn｝可看作自变量n的函数Xn=f（n）,它的定义域是全体正整数，当自变量n依次取1,2,3…一切正整数时，对应的函数值就排列成数列。

在几何上，数列｛Xn｝可看作数轴上的一个动点，它依次取数轴上的点X1,X2,X3,…Xn,…。

2.数列的极限

定义对于数列｛Xn｝，如果当n-K时，Xn无限地趋于一个确定的常数A,则称当n趋于无穷大时，数列｛Xn｝以常数A为极限，或称数列收敛于A,记作

比如：

十吩无限的趋向0

-"

无限的趋向1

否则，对于数列｛Xn｝,如果当n-K时，Xn不是无限地趋于一个确定的常数，称数列｛Xn｝没有极限，如果数列没有极限，就称数列是发散的。

1,3,5,…,（2n-1）,…

1,0,1,0,…

数列极限的几何意义：

将常数A及数列的项依次用数轴上的点表示，若数列｛Xn｝

以A为极限，就表示当n趋于无穷大时，点Xn可以无限靠近点A,即点Xn与点A之间的距离|xn-A|趋于0。

詁卜士“无限的趋向0总士“■无限的趋向1

（2）数列极限的性质与运算法则

1.数列极限的性质

定理1.1（惟一性）若数列｛Xn｝收敛，则其极限值必定惟一。

定理1.2（有界性）若数列｛Xn｝收敛，则它必定有界。

注意：

这个定理反过来不成立，也就是说，有界数列不一定收敛。

1.0,1,0,…二有界：

0,1

2.数列极限的存在准则

定理1.3（两面夹准则）若数列｛Xn｝,｛yn｝,｛zn｝满足以下条件：

（1）一"

+:

（2）工…豐贝，:

:

j

定理1.4若数列｛Xn｝单调有界，则它必有极限。

3.数列极限的四则运算定理。

定理1.5

如異i■AflllimK.■耳JN

l-+v日V-HA"

（1）:

•:

.■■■■■■

（2）匕、•：

.：

■•

rr心巫」

（3）当匕"

“时-.?

?

-

（3）函数极限的概念

1.当XTX0时函数f（X）的极限

（1）当XTX0时f（X）的极限

定义对于函数y=f（x）,如果当x无限地趋于X0时，函数f（x）无限地趋于一个常数A,则称当xtX0时，函数f（x）的极限是A,记作

或f（x）tA（当xtX0时）

例y=f（x）=2x+1

XT1,f（x）t?

X<

1xt1

JT--0.30.990.

y—2.S2.9®

~-»

S

X>

s-4!

3.0J].D0L…-】

2302

（2）左极限

当XTX0时f（X）的左极限

定义对于函数y=f（x）,如果当x从X0的左边无限地趋于X0时，函数f（x）无限地趋于一个常数A,则称当xtX0时，函数f（x）的左极限是A,记作

或f（X0-0）=A

（3）右极限

当XiX0时，f（X）的右极限定义对于函数y=f（x）,如果当于一个常数A,则称当xiX0时,

或f（X0+0）=A

例子：

分段函数

d汁Ix<

Re）=^Dx=0

X从X0的右边无限地趋于X0时，函数f（X）无限地趋函数f（X）的右极限是A,记作

3询求，略和醜用）解：

当x从0的左边无限地趋于f（x）的左极限是1,即有

"

眾/（X）■+■]）-】

0时f（x）无限地趋于一个常数1。

我们称当Xi0时,

当x从0的右边无限地趋于0时，f（x）无限地趋于一个常数-1。

我们称当Xi0时,f（X）的右极限是-1，即有

显然，函数的左极限右极限与函数的极限之间有以下关系:

定理1.6当xiX0时，函数f（x）的极限等于A的必要充分条件是鵲用-蜒妙*

反之，如果左、右极限都等于A,则必有XW-缶2]

Xi1时f（x）i?

XM1——

Xi1f（x）i2

对于函数，当Xi1时，f（x）的左极限是2,右极限也是2。

fflJ

2.当Xi*时，函数f（x）的极限

（1）当XIX时，函数f（X）的极限

y=f（x）xixf（X）i?

y=f（x）=1+

Xixf（x）=1+11

+J

定义对于函数y=f（x）,如果当xix时，f（x）无限地趋于一个常数A,则称当xi

x时，函数f（x）的极限是A,记作

蛇或f（x）iA（当Xix时）

（2）当x—+x时，函数f（x）的极限

定义对于函数y=f（x）,如果当x—+x时，f（x）无限地趋于一个常数A,则称当x—时，函数f（x）的极限是A,记作

这个定义与数列极限的定义基本上一样，数列极限的定义中n—+乂的n是正整数；

而

在这个定义中，则要明确写出x—+乂，且其中的x不一定是正整数，而为任意实数。

y=f（x）x—+xf（x）x—?

x—+x,f（x）=2+—2

例：

函数f（x）=2+e-x，当x—+x时，f（x）—?

解：

f（x）=2+ex=2+止,

x—+x,f（x）=2+—2

所以

（3）当x—-*时，函数f（x）的极限

定义对于函数y=f（x）,如果当x—-*时，f（x）无限地趋于一个常数A,则称当x—-*时，f（x）的极限是A,记作

职拎—

x———oof（x）—?

则f（x）=2+（xv0）

x——*，-x—+*

f（x）=2+a—2

函数J亠丄:

，当x—-*时，f（x）—?

当x—-*时，-x—+*

「亠+—2,即有

由上述x—*,x—+*,x—-*时，函数f（x）极限的定义，不难看出：

x—*时f（x）的极限是A充分必要条件是当x—+*以及x—-*时，函数f（x）有相同的极限A。

例如函数，当x—-*时，f（x）无限地趋于常数1,当x—+*时，f（x）也无限地趋于同一个常数1,因此称当x—*时的极限是1,记作

其几何意义如图3所示。

f（x）=1+

bmjL+■—）■]

*■—）■]

bn^（L+—J

标准文案

y=arctanx

brnarctmiG--—„lien.eecEzeijC"

—

22-c■-不存在。

但是对函数y=arctanx来讲，因为有

IsmarctanJt®

T-a2

即虽然当XT-x时，f（X）的极限存在，当XT+x时，f（X）的极限也存在，但这两个极限不相同，我们只能说，当xtx时，y=arctanx的极限不存在。

x）=1+

kra^l'

L】

krn^l'

L*-—）-】

brn^[L+—）-J

brnarctmiG--—alim.scEao—

>

->

=**2ww2

七」…不存在。

lamarctanjB-—limarctan—

即虽然当XT-X时，f（x）的极限存在，当XT+X时，f（x）的极限也存在，但这两个极限不相同，我们只能说，当xtx时，y=arctanx的极限不存在。

（4）

存在，则极限值必定惟一。

在点的某个邻域内（可除外）满足条件:

Idm£

（附■Lim脚）■用

函数极限的定理定理1.7（惟一性定理）如果定理1.8（两面夹定理）设函数

（1）讪“⑴丝应）

（2）

则有。

注意：

上述定理1.7及定理1.8对也成立。

二，-■■--■"

则y

limeM^A±

B

Lim||J&

）r（Jd]-dim/W）（Jim嗣）■AB

2当旣g⑴二”二D时“氏E（巧】乎S■〔巧$日寸

下面我们给出函数极限的四则运算定理定理1.9如果

（1）

（2）

（3）

上述运算法则可推广到有限多个函数的代数和及乘积的情形，有以下推论：

/d\血的:

力址尿出吐人忧]・ni川詛hn用为士七加打卫

（|）

/lim/（t）

（2

/C\binL/（x）r=[bm/wr

（3

用极限的运算法则求极限时，必须注意：

这些法则要求每个参与运算的函数的极限存在，且求商的极限时，还要求分母的极限不能为零。

另外，上述极限的运算法则对于的情形也都成立

（5）无穷小量和无穷大量

1.无穷小量（简称无穷小）

定义对于函数，如果自变量x在某个变化过程中，函数的极限为零，则称在该变

化过程中，为无穷小量，一般记作

常用希腊字母，…来表示无穷小量。

定理1.10函数以A为极限的必要充分条件是：

可表示为A与一个无穷小量之和。

（1）无穷小量是变量，它不是表示量的大小，而是表示变量的变化趋势无限趋于为零。

（2）要把无穷小量与很小的数严格区分开，一个很小的数，无论它多么小也不是无穷小量。

（3）—个变量是否为无穷小量是与自变量的变化趋势紧密相关的。

在不同的变化过程中，同一个变量可以有不同的变化趋势，因此结论也不尽相同。

例如仃：

.•'

I•f-•振荡型发散

（4）越变越小的变量也不一定是无穷小量，例如当x越变越大时，就越变越小，但它不是无穷小量。

（5）无穷小量不是一个常数，但数“0”是无穷小量中惟一的一个数，这是因为。

2.无穷大量（简称无穷大）

定义；

如果当自变量（或乂）时，的绝对值可以变得充分大（也即无限地增大），

则称在该变化过程中，为无穷大量。

记作。

无穷大（乂）不是一个数值，“乂”是一个记号，绝不能写成或。

3.无穷小量与无穷大量的关系

无穷小量与无穷大量之间有一种简单的关系，见以下的定理。

定理1.11在同一变化过程中，如果为无穷大量，则为无穷小量；

反之，如果为

无穷小量，且，则为无穷大量。

当无穷大

L无穷小

当为无穷小

.「卅无穷大

4.无穷小量的基本性质

性质1有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量；

性质2有界函数（变量）与无穷小量的乘积是无穷小量；

特别地，常量与无穷小量的乘积是无穷小量。

]rmxsin—=0

J

sui丄”】

性质3有限个无穷小量的乘积是无穷小量。

性质4无穷小量除以极限不为零的变量所得的商是无穷小量。

5.无穷小量的比较定义设是同一变化过程中的无穷小量，即…。

（1）如果则称是比较高阶的无穷小量，记作；

（2）如果则称与为同阶的无穷小量；

（3）如果则称与为等价无穷小量，记为；

,口、"

（4）如果则称是比较低价的无穷小量。

当

bm"

r--limOx+^）s0

idbOx7

*x7

Jt+F-nrJS（#—>

0）

等价无穷小量代换定理：

lim善limslim爲

如果当时:

-J：

-：

；

■，—：

丁均为无穷小量，又有…•八:

且存在，则'

…JO

均为无穷小

■■-KP

仝=竺兰邑

0j'

Hm—=lia（-—

=」迪寻皿乡

=Jim^

这个性质常常使用在极限运算中，它能起到简化运算的作用。

但是必须注意：

等价无穷小量代换可以在极限的乘除运算中使用。

常用的等价无穷小量代换有：

当时，

sinx〜x;

tan〜x;

arctanx〜x;

arcsinx〜x;

]-c&

ix;

ln（]+s;

（六）两个重要极限

1.重要极限I

重要极限I是指下面的求极限公式

■:

...:

■

.art曹日±

s.f乜.I.

bAi=Ion——=Jirti=I

a-at->

o/卜袖I

snf

这个公式很重要，应用它可以计算三角函数的型的极限问题。

其结构式为：

耳1

血込卫=1

T1-1

-1）jG+Q•fi-1）

3-51丿品

..F丄仇曲（』7〕

=Li时+0km;

l[1t/<

IJ^2

T'

7（?

-i;

2.重要极限H

重要极限H是指下面的公式:

limCl+丄r-*

口—e用

limCl+-/

JElima+tv

L-fO

其中e是个常数（银行家常数），叫自然对数的底，它的值为

e=2.718281828495045……

其结构式为：

L

JLcntl十就打｝KM■卑

重要极限I是属于型的未定型式，重要极限H是属于“”型的未定式时，这两个重

要极限在极限计算中起很重要的作用，熟练掌握它们是非常必要的。

（7）求极限的方法：

1.利用极限的四则运算法则求极限；

2.利用两个重要极限求极限；

3.利用无穷小量的性质求极限；

4.利用函数的连续性求极限；

5.利用洛必达法则求未定式的极限；

6.利用等价无穷小代换定理求极限。

基本极限公式

£

1）lim€=c

W-］W~2

=吨闻+暫旳+口2旳+—+•=«

例1.无穷小量的有关概念

（1）［9601］下列变量在给定变化过程中为无穷小量的是A.血*"

B.応卫

C.D.［答］C

A.发散

BtT旷丄T-®

圧TI）

1

JF今此一T忖刃4+oa

JE

车1._匸2_•丄T'

D亠9蹟十烈X^+3（■

（2）［0202］当时，与x比较是

A.高阶的无穷小量B.等价的无穷小量

C.非等价的同阶无穷小量D.低阶的无穷小量

[答]B

当，亠小"

与x是

K—>

OJjl（i-F-X）—X

血1..：

1»

A'

.!

=h2M1+S）t-^01心0X

1_|

=Inm尸=尬百昭（1+町叮r-tftx^kli

极限的运算:

△bm财"

=】口皈空

A.B.

C.tF[答]B

（2）[0006]

解牛-

-]im^z2!

hm_L

»

kx-[hfLX+広

-丄

~7

例6.用重要极限H求极限

1L

hrfl（1+—r=tf.LififliO+x）s=<

P

艇尸新-j腳T阿E

（1）[0416]计算[答]

[解析]解一：

令

x->

®

PjtD

2L

底式-ba（I*耳亍■hti[（]十MF

5i-iO

]

[lim{]4-e^f

jr上

融一.底或-hm[（l+筈农F-[M」L+3环

牛牛二JT-HE-兴J5—HE-K

导=0

sr

&

bm（l+dJt]a=严

[0306]

[0601]

（2）[0118]计算[答]

解:

例7.用函数的连续性求极限

[0407]即门[答]0

牛军：

2'

川时J]£

K/}=（-M.+tdJ

liralad+x2）=la（|i+03）=0

r-b<

n

例8.用等价无穷小代换定理求极限

［0317］［答］0

当■-"

m--

例9.求分段函数在分段点处的极限

［2z+l,xea

（1）［0307］设

则在的左极限

［答］1

/（D+-03-Z】im/W-Umln<

l+a）=Oj^o+wo*

［0406］设，则

［解析］—

/（D+0）-Hm/（x）=JluiCoex=I

lim/（«

］

例10.求极限的反问题川2-……7

XT■沪JCTfl产

（1）已知则常数

［解析］解法一：

…，即,得.

角军•令■•■"

=I.■-I■FI=•■■:

■I:

-■.'

得，解得.

解法三：

（洛必达法则）

即，得.

（2）若求a,b的值.

［解析］型未定式.

^Tl时寸mH异异T

于是段吧乔玩而■R，得聊”5.

艮卩-■■■.■■■-■

所以-…〔

.aifLdfH-

［0402］r

前面我们讲的内容：

极限的概念；

极限的性质；

极限的运算法则；

两个重要极限；

无穷小量、无穷大量的概念；

无穷小量的性质以及无穷小量阶的比较。

（一）函数连续的概念

1.函数在点X。

处连续

定义1设函数y=f（x）在点xo的某个邻域内有定义，如果当自变量的改变量厶x（初值为X。

）趋近于0时，相应的函数的改变量厶y也趋近于0,即

M-/（Ai）］-0则称函数y=f（x）在点xo处连续。

函数y=f（x）在点xo连续也可作如下定义：

定义2设函数y=f（x）在点xo的某个邻域内有定义，如果当Xixo时，函数y=f（x）的极限值存在，且等于xo处的函数值f（xo）,即卩

切嵐巧・兀斗〕

定义3设函数y=f（x）,如果，则称函数f（x）在点xo处左连续；

如果，

则称函数f（x）在点xo处右连续。

由上述定义2可知如果函数y=f（x）在点xo处连续,则f（x）在点xo处左连续也右连续。

2.函数在区间［a,b］上连续

定义如果函数f（x）在闭区间［a,b］上的每一点x处都连续，则称f（x）在闭区间［a,b］上连续，并称f（x）为［a,b］上的连续函数。

这里，f（x）在左端点a连续，是指满足关系：

，在右端点b连续，是指满足关

系：

，即f（x）在左端点a处是右连续，在右端点b处是左连续。

可以证明：

初等函数在其定义的区间内都连续。

3.函数的间断点

定义如果函数f（x）在点xo处不连续则称点xo为f（x）一个间断点。

由函数在某点连续的定义可知，若f（x）在点xo处有下列三种情况之一：

（1）在点xo处，f（x）没有定义；

（2）在点xo处，f（x