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1、4.掌握复合函数与隐函数的一阶偏导数的求法。5.会求二元函数的无条件极值和条件极值。6.会用二元函数的无条件极值及条件极值解简单的实际问题。第五章概率论初步1.了解随机现象、随机试验的基本特点；理解基本事件、样本空间、随机事件的概念2.掌握事件之间的关系：包含关系、相等关系、互不相容关系及对立关系。3.理解事件之间并（和）、交（积）、差运算的意义，掌握其运算规律。4.理解概率的古典型意义，掌握事件概率的基本性质及事件概率的计算。5.会求事件的条件概率；掌握概率的乘法公式及事件的独立性。6.了解随机变量的概念及其分布函数。7.理解离散性随机变量的意义及其概率分布掌握概率分布的计算方法。8.会求离

2、散性随机变量的数学期望、方差和标准差。1.了解极限的概念（对极限定义-等形式的描述不作要求）。主要知识内容（1）数列的极限1.数列定义按一定顺序排列的无穷多个数 称为无穷数列，简称数列，记作X n，数列中每一个数称为数列的项， 第n项Xn为数列 的一般项或通项，例如（1）1, 3, 5,，（2n-1 ）,（等差数列）（2）（等比数列）（3） （递增数列）（4）1, 0, 1, 0, ，（震荡数列）都是数列。它们的一般项分别为/ 、 1 同 i + c-ir41（2n-1 ）, 。对于每一个正整数n,都有一个Xn与之对应，所以说数列X n可看作自变量n的函数Xn=f （n）,它的定义域是全体正整

3、数，当自变量 n依次取1,2,3一切正整数时，对应的函 数值就排列成数列。在几何上，数列Xn可看作数轴上的一个动点，它依次取数轴上的点 X1,X2,X3,X n,。2.数列的极限定义对于数列Xn，如果当n-K时，Xn无限地趋于一个确定的常数 A,则称当n趋于 无穷大时，数列Xn以常数A为极限，或称数列收敛于 A,记作比如：十吩无限的趋向0-,无限的趋向1否则，对于数列Xn,如果当n-K时，Xn不是无限地趋于一个确定的常数，称数列Xn 没有极限，如果数列没有极限，就称数列是发散的。1, 3, 5,（2n-1 ）,1,0, 1, 0,数列极限的几何意义：将常数 A及数列的项 依次用数轴上的点表示，

4、若数列Xn以A为极限，就表示当n趋于无穷大时，点Xn可以无限靠近点A,即点Xn与点A之间 的距离|x n-A|趋于0。 詁卜士“无限的趋向0 总士“无限的趋向1（2）数列极限的性质与运算法则1.数列极限的性质定理1.1 （惟一性）若数列Xn收敛，则其极限值必定惟一。定理1.2 （有界性）若数列X n收敛，则它必定有界。注意：这个定理反过来不成立，也就是说，有界数列不一定收敛。1.0, 1, 0,二有界：0, 12.数列极限的存在准则定理1.3 （两面夹准则）若数列X n,y n,z n满足以下条件：（1 ） 一 + :（2）工豐贝，:j定理1.4若数列X n单调有界，则它必有极限。3.数列极限

5、的四则运算定理。定理1.5如異i AflllimK. 耳 JNl-+v 日 V-HA （1 ） : :. （2）匕、：.：r r 心巫（3）当匕“时 -.?-（3）函数极限的概念1.当XTX0时函数f （ X）的极限（1）当XTX0时f （ X）的极限定义对于函数y=f （x）,如果当x无限地趋于X0时，函数f （x）无限地趋于一个常数 A, 则称当xtX0时，函数f （x）的极限是A,记作或 f （ x）t A （当 xt X0 时）例 y=f （x） =2x+1XT 1,f （ x）t ?Xs -4 ! 3.0J .D0L-】2 3 02（2）左极限当XTX0时f （X）的左极限定义对于函

6、数y=f （x）,如果当x从X0的左边无限地趋于X0时，函数f （x）无限地趋 于一个常数A,则称当xtX0时，函数f （x）的左极限是A,记作或 f （X0-0 ） =A（3）右极限当XiX0时，f （X）的右极限 定义对于函数y=f （x）,如果当 于一个常数A,则称当xiX0时,或 f （X0+0） =A例子：分段函数d汁I x-=* 2 ww 2七不存在。lam arctanjB- lim arctan 即虽然当XT- X时，f （ x）的极限存在，当XT +X时，f （x）的极限也存在，但这两 个极限不相同，我们只能说，当 xtx时，y=arctanx的极限不存在。（4）存在，则极限

7、值必定惟一。在点 的某个邻域内（可除外）满足条件:Id m （附 Lim 脚）用函数极限的定理 定理1.7 （惟一性定理）如果 定理1.8 （两面夹定理）设函数（1）讪“丝应） （2）则有 。 注意：上述定理1.7及定理1.8对 也成立。二，- - 则ylim eMABLim|J&） r（Jd-dim /W） （Jim 嗣） AB2当旣g二”二D 时 “氏E（巧】乎S巧 $日寸下面我们给出函数极限的四则运算定理 定理1.9如果（1）（2）（3）上述运算法则可推广到有限多个函数的代数和及乘积的情形，有以下推论：/ d 血的:力址尿出吐人忧ni川詛hn用为士七加打卫（| ）/ lim /（t）（2

8、/ C binL/（x）r = bm /wr（3用极限的运算法则求极限时，必须注意：这些法则要求每个参与运算的函数的极限存 在，且求商的极限时，还要求分母的极限不能为零。另外，上述极限的运算法则对于 的情形也都成立（5）无穷小量和无穷大量1.无穷小量（简称无穷小）定义对于函数 ，如果自变量x在某个变化过程中，函数 的极限为零，则称在该变化过程中， 为无穷小量，一般记作常用希腊字母 ，来表示无穷小量。定理1.10函数 以A为极限的必要充分条件是：可表示为A与一个无穷小量之和。（1）无穷小量是变量，它不是表示量的大小，而是表示变量的变化趋势无限趋 于为零。（2） 要把无穷小量与很小的数严格区分开，

9、一个很小的数，无论它多么小也不是无穷 小量。（3） 个变量是否为无穷小量是与自变量的变化趋势紧密相关的。在不同的变化过程 中，同一个变量可以有不同的变化趋势，因此结论也不尽相同。例如仃：. I f - 振荡型发散（4） 越变越小的变量也不一定是无穷小量，例如当 x越变越大时， 就越变越小，但 它不是无穷小量。（5） 无穷小量不是一个常数，但数“ 0”是无穷小量中惟一的一个数，这是因为 。2.无穷大量（简称无穷大）定义；如果当自变量 （或乂）时， 的绝对值可以变得充分大（也即无限地增大），则称在该变化过程中， 为无穷大量。记作 。无穷大（乂）不是一个数值，“乂”是一个记号，绝不能写成 或 。3.

10、无穷小量与无穷大量的关系无穷小量与无穷大量之间有一种简单的关系，见以下的定理。定理1.11在同一变化过程中，如果 为无穷大量，则 为无穷小量；反之，如果 为无穷小量，且 ，则 为无穷大量。当 无穷大L无穷小当 为无穷小.卅无穷大4.无穷小量的基本性质性质1有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量；性质2有界函数（变量）与无穷小量的乘积是无穷小量；特别地，常量与无穷小量的 乘积是无穷小量。rm x sin = 0Jsui丄”】性质3有限个无穷小量的乘积是无穷小量。性质4无穷小量除以极限不为零的变量所得的商是无穷小量。5.无穷小量的比较 定义设 是同一变化过程中的无穷小量，即 。（1） 如果 则称 是比

11、 较高阶的无穷小量，记作 ；（2） 如果 则称 与 为同阶的无穷小量；（3） 如果 则称与为等价无穷小量，记为 ；, , 口 、 （4） 如果 则称是比较低价的无穷小量。当bm r-limOx +）s0idbO x 7* x 7Jt + F -nr JS（# 0）等价无穷小量代换定理： lim 善 lim s lim 爲如果当时:- J ： - ：； ， ： 丁均为无穷小量，又有八:且 存在，则J O均为无穷小 - KP仝=竺兰邑0 jHm = lia（- =迪寻皿乡= Jim这个性质常常使用在极限运算中，它能起到简化运算的作用。但是必须注意：等价无 穷小量代换可以在极限的乘除运算中使用。常用

12、的等价无穷小量代换有：当 时，sinx x;tan x;arctanx x;arcsinx x;-c&ix ;ln（ + s;（六）两个重要极限1.重要极限I重要极限I是指下面的求极限公式 :. . :. art 曹日 s. f 乜. I .bAi = I on = Jirti = Ia-a t-o / 卜袖 Isnf这个公式很重要，应用它可以计算三角函数的 型的极限问题。 其结构式为： 耳1血込卫=1T 1-1-1） j G+Q fi -1）3-51 丿品.F丄仇曲（7=Li时 + 0 km ;l1t/ OJjl（i-F-X） X血 1. .：,1 A.! = h 2M1+S） t-0 1

13、心0 X1_ |=Inm尸=尬百昭（1 +町叮 r-tft xkli极限的运算: bm财=】口皈空A. B.C.tF 答B（2） 0006解牛-imz2!hm_Lk x- hfLX + 広-丄7例6.用重要极限H求极限1 Lhrfl （1+r =tf. LififliO +x）s =Pj tD2 L底式-ba （I *耳亍 hti（十MF5 i-iOlim4-efjr 上融一. 底或-hm（l+筈农F-ML+3环牛牛 二 JT-HE- 兴 J5HE- K导=0sr& bm（l +dJta =严03060601（2） 0118计算 答解:例7.用函数的连续性求极限0407即 门 答0牛军：2 川

14、时J K/= （-M.+tdJlira lad + x2）=la（|i +03） = 0r-bn例8.用等价无穷小代换定理求极限0317 答0当 - m -例9.求分段函数在分段点处的极限2z+l, xea（1）0307设则在的左极限 答1/（D+-03-Z 】im /W- Um lnl + a）=O jo+ wo*0406设 ，则解析/（D + 0） - Hm /（x）= Jlui Coe x = Ilim /（例10.求极限的反问题 川2 - 7XT沪 JCTfl产（1） 已知 则常数解析解法一：，即,得 .角军令 = I . - I FI = : I : - .得 ，解得 .解法三：（洛

15、必达法则）即 ，得 .（2） 若 求a,b的值.解析型未定式.Tl时寸 mH异异T于是段吧乔玩而 R ，得聊”5.艮卩- . - 所以-. aifLdfH -0402 r前面我们讲的内容：极限的概念；极限的性质；极限的运算法则；两个重要极限；无穷小量、无穷大量的 概念；无穷小量的性质以及无穷小量阶的比较。（一）函数连续的概念1.函数在点X。处连续定义1设函数y=f （x）在点xo的某个邻域内有定义，如果当自变量的改变量厶x （初值 为X。）趋近于0时，相应的函数的改变量厶y也趋近于0,即M - /（Ai） - 0 则称函数y=f （x）在点xo处连续。 函数y=f （ x）在点xo连续也可作如

16、下定义： 定义2设函数y=f （x）在点xo的某个邻域内有定义，如果当Xixo时，函数y=f （x） 的极限值存在，且等于xo处的函数值f （xo） ,即卩切嵐巧兀斗定义3设函数y=f （x）,如果 ，则称函数f （x）在点xo处左连续；如果 ，则称函数f （x）在点xo处右连续。由上述定义2可知如果函数y=f （x）在点xo处连续, 则f （x）在点xo处左连续也右连续。2.函数在区间a , b上连续定义如果函数f （x）在闭区间a , b上的每一点x处都连续，则称f （x）在闭区间a , b上连续，并称f （x）为a , b上的连续函数。这里，f （x）在左端点a连续，是指满足关系： ，在右端点b连续，是指满足关系： ，即f （x）在左端点a处是右连续，在右端点b处是左连续。可以证明：初等函数在其定义的区间内都连续。3.函数的间断点定义如果函数f （ x ）在点xo处不连续则称点xo为f （ x） 一个间断点。由函数在某点连续的定义可知，若 f （ x）在点xo处有下列三种情况之一：（1）在点xo处，f （x）没有定义；（2）在点xo处，f （x