小升初数学专项训练+典型例题分析找规律篇教师版11页.docx

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小升初数学专项训练+典型例题分析找规律篇教师版11页

**名校真题测试卷找规律篇**;

时间：

15分钟满分5分姓名_________测试成绩_________

1（12年清华附中考题）;

如果将八个数14，30，33，35，39，75，143，169平均分成两组，使得这两组数的乘积相等，那么分组的情况是什么？

2（13年三帆中学考题）;;

观察1+3=4 ；  4+5=9 ；  9+7=16 ；  16+9=25 ； 25+11=36 这五道算式，找出规律，

然后填写2001＋（   ）＝2002;

3（12年西城实验考题）

一串分数：

其中的第2000个分数是.

4（12年东城二中考题）

在2、3两数之间,第一次写上5,第二次在2、5和5、3之间分别写上7、8（如下所示）,每次都在已写上的两个相邻数之间写上这两个相邻数之和.这样的过程共重复了六次,问所有数之和是多少?

;

2……7……5……8……3

5（04年人大附中考题）

请你从01、02、03、…、98、99中选取一些数，使得对于任何由0～9当中的某些数字组成的无穷长的一串数当中，都有某两个相邻的数字，是你所选出的那些数中当中的一个.为了达到这些目的.;;

（1）请你说明：

11这个数必须选出来；

（2）请你说明：

37和73这两个数当中至少要选出一个；

（3）你能选出55个数满足要求吗？

;

【附答案】

1【解】分解质因数，找出质因数再分开，所以分组为33、35、30、169和14、39、75、143.

2【解】上面的规律是：

右边的数和左边第一个数的差正好是奇数数列3、5、7、9、11……，所以下面括号中填的数字为奇数列中的第2001个，即4003.

3【解】分母为3的有2个，分母为4个，分母为7的为6个，这样个数2+4+6+8…88=1980<2000，这样2000个分数的分母为89，所以分数为20/89.;;

4【解】：

第一次写后和增加5，第二次写后的和增加15，第三次写后和增加45，第四次写后和增加135，第五次写后和增加405，……

它们的差依次为5、15、45、135、405……为等比数列，公比为3.

它们的和为5+15+45+135+405+1215＝1820，所以第六次后，和为1820+2+3＝1825.

5【解】

（1），11，22，33，…99，这就9个数都是必选的，因为如果组成这个无穷长数的就是1~9某个单一的数比如111…11…，只出现11，因此11必选，同理要求前述9个数必选.

（2），比如这个数3737…37…，同时出现且只出现37和37，这就要求37和73必须选出一个来.

（3），同37的例子，

01和10必选其一，02和20必选其一，……09和90必选其一，选出9个

12和21必选其一，13和31必选其一，……19和91必选其一，选出8个.

23和32必选其一，24和42必选其一，……29和92必选其一，选出7个.

………

89和98必选其一，选出1个.

如果我们只选两个中的小数这样将会选出9+8+7+6+5+4+3+2+1=45个.再加上11~99这9个数就是54个.

小升初专项训练找规律篇

一、小升初考试热点及命题方向

找规律问题在小升初考试中几乎每年必考，但考题的分值较低，多以填空题型是出现.在刚刚结束的12年小升初选拔考试中，人大附中，首师附中，十一学校，西城实验，三帆，西外，东城二中和五中都涉及并考察了这一类题型.

二、2007年考点预测

07年的这一题型必然将继续出现，题型的出题热点在利用通项表达式（即字母表示）总结出已知条件中等式的内在规律和联系，这一类题型主要考察学生根据已有条件进行归纳与猜想的能力，希望同学们多加练习.

三、典型例题解析

1与周期相关的找规律问题

【例1】、（★★）化小数后，小数点后若干位数字和为1992，求n为多少？

【解】化小数后，循环数字和都为27，这样1992÷27=73…21,所以n=6.

【例2】、（★★）有一数列1、2、4、7、11、16、22、29……那么这个数列中第2006个数除以5的余数为多少？

【解】数列除以5的余数为1、2、4、2、1、1、2、4、2、1…这样就使5个数一周期，所以2003÷5=400…3，所以余4.

【例3】、（★★★）某人连续打工24天，赚得190元（日工资10元，星期六做半天工，发半工资，星期日休息，无工资）.已知他打工是从1月下旬的某一天开始的，这个月的1号恰好是星期日.问：

这人打工结束的那一天是2月几日?

【来源】第五届“华杯赛”初赛第16题

【解】因为3×7<24<4×7，所以24天中星期六和星期日的个数，都只能是3或4.又，190是10的整数倍.所以24天中的星期六的天数是偶数.再由240-190=50（元），便可知道，这24天中恰有4个星期六、3个星期日.星期日总是紧接在星期六之后的，因此，这人打工结束的那一天必定是星期六.由此逆推回去，便可知道开始的那一天是星期四.因为1月1日是星期日，所以1月22日也是星期日，从而1月下旬唯一的一个星期四是1月26日.从1月26日往后算，可知第24天是2月18日，这就是打工结束的日子.

2图表中的找规律问题

【例4】、（★★）图中，任意_--个连续的小圆圈内三个数的连乘积郡是891，那么B=_______.

【来源】第十届<小数报>数学竞赛初赛填空题第5题

【解】根据“任意三个连续的小圆圈内三个数的连乘积都是891”，可知任意一个小圆圈中的数和与它相隔2个小圆圈的小圆圈中的数是相同的.于是，B=891÷（9×9）=11.

【例5】（★★★）自然数如下表的规则排列：

求：

（1）上起第10行，左起第13列的数；

（2）数127应排在上起第几行，左起第几列？

【解】：

本题考察学生“观察—归纳—猜想”的能力．此表排列特点：

①第一列的每一个数都是完全平方数，并且恰好等于所在行数的平方；②第一行第n个数是（n-1）2+1，②第n行中，以第一个数至第n个数依次递减1；④从第2列起该列中从第一个数至第n个数依次递增1．

由此

（1）〔（13-1）2+1〕+9=154；

（2）127=112+6=〔（12-1）2+1〕+5，即左起12列，上起第6行位置．

3较复杂的数列找规律

【例6】、（★★★）设1，3，9，27，81，243是6个给定的数.从这六个数中每次或者取1个，或者取几个不同的数求和（每一个数只能取1次），可以得到一个新数，这样共得到63个新数.把它们从小到大一次排列起来是1，3，4，9，10，12，…，第60个数是______.

【来源】1989年小学数学奥林匹克初赛第15题

【解】最大的（即第63个数）是

1+3+9+27+81+243=364

第60个数（倒数第4个数）是

364－1－3＝360.

【例7】、（★★★）在两位数10，11，…，98，99中，将每个被7除余2的数的个位与十位之间添加-个小数点，其余的数不变.问：

经过这样改变之后，所有数的和是多少?

【来源】第五届“华杯赛”初赛第15题

【解】原来的总和是10+11+…+98+99==4905，被7除余2的两位数是

7×2+2=16，7×3+2=23，…，7×13十2=93.

共12个数.这些数按题中要求添加小数点以后，都变为原数的，因此这-手续使总和减少了

（16+23+…+93）×（1-）=×=588.6

所以，经过改变之后，所有数的和是4905—588.6=4316.4.

【例8】、（★★★）小明每分钟吹-次肥皂泡，每次恰好吹出100个.肥皂泡吹出之后，经过1分钟有-半破了，经过2分钟还有没有破，经过2分半钟全部肥皂泡都破了·小明在第20次吹出100个新的肥皂泡的时候，没有破的肥皂泡共有个.

【来源】1990年小学数学奥林匹克决赛第8题

斐波那契数列非常有意思！

【解】小明在第20次吹出100个新的肥皂泡的时候，第17次之前（包括第17次）吹出的肥皂泡全破了.此时没有破的肥皂泡共有100+100×+100×=155（个）.

4与斐波那契数列相关的找规律

【引言】：

有个人想知道，一年之内一对兔子能繁殖多少对？

于是就筑了一道围墙把一对兔子关在里面.已知一对兔子每个月可以生一对小兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子.假如一年内没有发生死亡现象，那么，一对兔子一年内能繁殖成多少对？

现在我们先来找出兔子的繁殖规律，在第一个月，有一对成年兔子，第二个月它们生下一对小兔，因此有二对兔子，一对成年，一对未成年；到第三个月，第一对兔子生下一对小兔，第二对已成年，因此有三对兔子，二对成年，一对未成年.月月如此.

第1个月到第6个月兔子的对数是：

1，2，3，5，8，13.

我们不难发现，上面这组数有这样一个规律：

即从第3个数起，每一个数都是前面两个数的和.若继续按这规律写下去，一直写到第12个数，就得：

1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233.

显然，第12个数就是一年内兔子的总对数.所以一年内1对兔子能繁殖成233对.

在解决这个有趣的代数问题过程中，斐波那契得到了一个数列.人们为纪念他这一发现，在这个数列前面增加一项“1”后得到数列：

1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……叫做“斐波那契数列”，这个数列的任意一项都叫做“斐波那契数”.

【例9】（★★）数学家泽林斯基在一次国际性的数学会议上提出树生长的问题：

如果一棵树苗在一年以后长出一条新枝，然后休息一年.再在下一年又长出一条新枝，并且每一条树枝都按照这个规律长出新枝.那么，第1年它只有主干，第2年有两枝，问15年后这棵树有多少分枝（假设没有任何死亡）？

【解】1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，2584

绝对是一棵大树.

【例10】（★★）有一堆火柴共10根，如果规定每次取1～3根，那么取完这堆火柴共有多少种不同取法？

【解】此题要注重思路，因为没办法直接考虑，这样我们发现这题同样用找规律的方法，我们可以先看只有1根的情况开始：

1根，有：

1种；

2根，有1、1，2，共两种；

3根，可以有：

1、1、1，1、2，2、1，3，共4种；

4根，有：

1、1、1、1，1、1、2，1、2、1，2、1、1，2、2，1、3，3、1，共7=4+2+1种；

5根，有：

1、1、1、1、1，1、1、1、2，1、1、2、1，1、2、1、1，2、1、1、1，1、2、2，2、1、2，2、2、1，1、1、3，1、3、1，3、1、1，2、3，3、2，共13=7+4+2种；

6根，得到24=13+7+4种；

即：

n根，所有的取法种数是它的前三种取法的和.

由此得到，10根为274种.

[拓展]爬楼梯问题.

【例11】（★★★）对一个自然数作如下操作：

如果是偶数则除以2，如果是奇数则加，如此进行直到得数为1操作停止.问经过9次操作变为1的数有多少个？

【来源】仁华考题

【解】这一题首先我们可以明确的是要采用逆推的方法，其次我们还得利用找规律来归纳出计算方法.在复杂的或者步子比较多的计数中，找规律是一种非常常用的方法.

归纳总结上述规律，从第三项起，每一项都是前两项之和.

5有趣的猫捉耗子规律

注：

有一个很出名的游戏，猫捉耗子的游戏，一只猫让一群老鼠围成一圈报数，每次报单数的吃掉，有一只老鼠总不被吃掉，问这个老鼠站在哪个位置？

因此我们称之为猫捉耗子的问题.

【例12】、（★★★）50只耗子排成一排，1到50报号，奇数号的出列，剩下的偶数号再报号，再奇数列出列…一直