七年级数学核心题目赏析 有理数及其运算篇.docx
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七年级数学核心题目赏析有理数及其运算篇
七年级数学核心题目赏析
有理数及其运算篇
【核心提示】
有理数部分概念较多，其中核心知识点是数轴、相反数、绝对值、乘方.
通过数轴要尝试使用“数形结合思想”解决问题，把抽象问题简单化.相反数看似简单，但互为相反数的两个数相加等于0这个性质有时总忘记用..绝对值是中学数学中的难点，它贯穿于初中三年，每年都有不同的难点，我们要从七年级把绝对值学好，理解它的几何意义.乘方的法则我们不仅要会正向用，也要会逆向用，难点往往出现在逆用法则方面.
【核心例题】
例1计算：
分析此题共有2006项，通分是太麻烦.有这么多项，我们要有一种“抵消”思想，如能把一些项抵消了，不就变得简单了吗？
由此想到拆项，如第一项可拆成，可利用通项，把每一项都做如此变形，问题会迎刃而解.
解原式=
=
=
=
例2已知有理数a、b、c在数轴上的对应点分别为A、B、C（如右图）.化简.
分析从数轴上可直接得到a、b、c的正负性，但本题关键是去绝对值，所以应判断绝对值符号内表达式的正负性.我们知道“在数轴上，右边的数总比左边的数大”，大数减小数是正数，小数减大数是负数，可得到a-b<0、c-b>0.
解由数轴知，a<0，a-b<0，c-b>0
所以，=-a-（a-b）+（c-b）=-a-a+b+c-b=-2a+c
例3计算：
分析本题看似复杂，其实是纸老虎，只要你敢计算，马上就会发现其中的技巧，问题会变得很简便.
解原式==
例4计算：
2-22-23-24-……-218-219+220.
分析本题把每一项都算出来再相加，显然太麻烦.怎么让它们“相互抵消”呢？
我们可先从最简单的情况考虑.2-22+23=2+22（-1+2）=2+22=6.再考虑2-22-23+24=2-22+23（-1+2）=2-22+23=2+22（-1+2）=2+22=6.这怎么又等于6了呢？
是否可以把这种方法应用到原题呢？
显然是可以的.
解原式=2-22-23-24-……-218+219（-1+2）
=2-22-23-24-……-218+219
=2-22-23-24-……-217+218（-1+2）
=2-22-23-24-……-217+218
=……
=2-22+23
=6
【核心练习】
1、已知│ab-2│与│b-1│互为相反数，试求：
的值.
（提示：
此题可看作例1的升级版，求出a、b的值代入就成为了例1.）
2、代数式的所有可能的值有（）个（2、3、4、无数个）
【参考答案】
1、2、3
字母表示数篇
【核心提示】
用字母表示数部分核心知识是求代数式的值和找规律.求代数式的值时，单纯代入一个数求值是很简单的.如果条件给的是方程，我们可把要求的式子适当变形，采用整体代入法或特殊值法.
【典型例题】
例1已知：
3x-6y-5=0,则2x-4y+6=_____
分析对于这类问题我们通常用“整体代入法”，先把条件化成最简，然后把要求的代数式化成能代入的形式，代入就行了.这类问题还有一个更简便的方法，可以用“特殊值法”，取y=0,由3x-6y-5=0，可得,把x、y的值代入2x-4y+6可得答案.这种方法只对填空和选择题可用，解答题用这种方法是不合适的.
解由3x-6y-5=0，得
所以2x-4y+6=2（x-2y）+6==
例2已知代数式，其中n为正整数，当x=1时，代数式的值是，当x=-1时，代数式的值是.
分析当x=1时，可直接代入得到答案.但当x=-1时，n和（n-1）奇偶性怎么确定呢？
因n和（n-1）是连续自然数，所以两数必一奇一偶.
解当x=1时，
==3
当x=-1时，
==1
例3152=225=100×1（1+1）+25，252=625=100×2（2+1）+25
352=1225=100×3（3+1）+25，452=2025=100×4（4+1）+25……
752=5625=，852=7225=
（1）找规律，把横线填完整；
（2）请用字母表示规律;
（3）请计算20052的值.
分析这类式子如横着不好找规律，可竖着找，规律会一目了然.100是不变的，加25是不变的，括号里的加1是不变的，只有括号内的加数和括号外的因数随着平方数的十位数在变.
解
（1）752=100×7（7+1）+25，852=100×8（8+1）+25
（2）（10n+5）2=100×n（n+1）+25
（3）20052=100×200（200+1）+25=4020025
例4如图①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图②，再分别连接图②中间小三角形三边的中点，得到图③.S表示三角形的个数.
（1）当n=4时，S=，
（2）请按此规律写出用n表示S的公式.
分析当n=4时，我们可以继续画图得到三角形的个数.怎么找规律呢？
单纯从结果有时我们很难看出规律，要学会从变化过程找规律.如本题，可用列表法来找，规律会马上显现出来的.
解
（1）S=13
（2）可列表找规律：
n
1
2
3
…
n
S
1
5
9
…
4（n-1）+1
S的变化过程
1
1+4=5
1+4+4=9
…
1+4+4+…+4=4（n-1）+1
所以S=4（n-1）+1.（当然也可写成4n-3.）
【核心练习】
1、观察下面一列数，探究其中的规律：
—1，，，，，
①填空：
第11，12，13三个数分别是，，；
②第2008个数是什么？
③如果这列数无限排列下去，与哪个数越来越近？
.
2、观察下列各式:
1+1×3=22,1+2×4=32,1+3×5=42,……请将你找出的规律用公式表示出来:
【参考答案】
1、①，，;②;③0.
2、1+n×（n+2）=（n+1）2
平面图形及其位置关系篇
【核心提示】
平面图形是简单的几何问题.几何问题学起来很简单，但有时不好表述，也就是写不好过程.所以这部分的核心知识是写求线段、线段交点或求角的过程.每个人写的可能都不一样，但只要表述清楚了就可以了，不过在写清楚的情况下要尽量简便.
【典型例题】
例1平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为______个，最多为______个.
分析6条直线两两相交交点个数最少是1个，最多怎么求呢？
我们可让直线由少到多一步步找规律.列出表格会更清楚.
解找交点最多的规律：
直线条数
2
3
4
…
n
交点个数
1
3
6
…
交点个数变化过程
1
1+2=3
1+2+3=6
…
1+2+3+…+（n-1）
图形
图1
图2
图3
…
例2两条平行直线m、n上各有4个点和5个点，任选9点中的两个连一条直线，则一共可以连（）条直线.
A．20B．36C．34D．22
分析与解让直线m上的4个点和直线n上的5个点分别连可确定20条直线，再加上直线m上的4个点和直线n上的5个点各确定的一条直线，共22条直线.故选D.
例3如图，OM是∠AOB的平分线.射线OC在∠BOM内，ON是∠BOC的平分线，已知∠AOC=80°，那么∠MON的大小等于_______.
分析求∠MON有两种思路.可以利用和来求，即∠MON=∠MOC+∠CON.也可利用差来求，方法就多了，∠MON=∠MOB-∠BON=∠AON-∠AOM=∠AOB-∠AOM-∠BON.根据两条角平分线，想办法和已知的∠AOC靠拢.解这类问题要敢于尝试，不动笔是很难解出来的.
解因为OM是∠AOB的平分线，ON是∠BOC的平分线，
所以∠MOB=∠AOB，∠NOB=∠COB
所以∠MON=∠MOB-∠NOB=∠AOB-∠COB=（∠AOB-∠COB）=∠AOC=×80°=40°
例4如图，已知∠AOB=60°，OC是∠AOB的平分线，OD、OE分别平分∠BOC和∠AOC.
（1）求∠DOE的大小；
（2）当OC在∠AOB内绕O点旋转时，OD、OE仍是∠BOC和∠AOC的平分线，问此时∠DOE的大小是否和
（1）中的答案相同，通过此过程你能总结出怎样的结论.
分析此题看起来较复杂，OC还要在∠AOB内绕O点旋转，是一个动态问题.当你求出第
（1）小题时，会发现∠DOE是∠AOB的一半，也就是说要求的∠DOE，和OC在∠AOB内的位置无关.
解
（1）因为OC是∠AOB的平分线，OD、OE分别平分∠BOC和∠AOC.
所以∠DOC=∠BOC，∠COE=∠COA
所以∠DOE=∠DOC+∠COE=∠BOC+∠COA=（∠BOC+∠COA）=∠AOB
因为∠AOB=60°
所以∠DOE=∠AOB=×60°=30°
（2）由
（1）知∠DOE=∠AOB，和OC在∠AOB内的位置无关.故此时∠DOE的大小和
（1）中的答案相同.
【核心练习】
1、A、B、C、D、E、F是圆周上的六个点，连接其中任意两点可得到一条线段，这样的线段共可连出_______条.
2、在1小时与2小时之间，时钟的时针与分针成直角的时刻是1时分.
【参考答案】
1、15条2、.
一元一次方程篇
【核心提示】
一元一次方程的核心问题是解方程和列方程解应用题。
解含分母的方程时要找出分母的最小公倍数，去掉分母，一定要添上括号，这样不容易出错.解含参数方程或绝对值方程时，要学会代入和分类讨论。
列方程解应用题，主要是列方程，要注意列出的方程必须能解、易解，也就是列方程时要选取合适的等量关系。
【典型例题】
例1已知方程2x+3=2a与2x+a=2的解相同，求a的值.
分析因为两方程的解相同，可以先解出其中一个，把这个方程的解代入另一个方程，即可求解.认真观察可知，本题不需求出x，可把2x整体代入.
解由2x+3=2a，得2x=2a-3.
把2x=2a-3代入2x+a=2得
2a-3+a=2，
3a=5,
所以
例2解方程
分析这是一个非常好的题目，包括了去分母容易错的地方，去括号忘变号的情况.
解两边同时乘以6，得
6x-3（x-1）=12-2（x+1）
去分母，得
6x-3x+3=12-2x-2
6x-3x+2x=12-2-3
5x=7
x=
例3某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了6.4%，使得利润增加了8个百分点，求经销这种商品原来的利润率.
分析这类问题我们应首先搞清楚利润率、销售价、进价之间的关系，因销售价=进价×（1+利润率），故还需设出进价，利用销售价不变，辅助设元建立方程.
解：
设原进价为x元，销售价为y元，那么按原进价销售的利润率为
原进价降低后在销售时的利润率为,由题意得：
+8%=
解得y=1.17x
故这种商品原来的利润率为=17%.
例4解方程│x-1│+│x-5│=4
分析对于含一个绝对值的方程我们可分两种情况讨论，而对于含两个绝对值的方程，道理是一样的.我们可先找出两个绝对值的“零点”，再把“零点”放中数轴上对x进行讨论.
解：
由题意可知，当│x-1│=0时，x=1；当│x-5│=0时，x=5.1和5两个“零点”把x轴分成三部分，可分别讨论：
1）当x<1时，原方程可化为–（x-1）-（x-5）=4，解得x=1.因x<1，所以x=1应舍去.
2）当1≤x≤5时，原方程可化为（x-1）-（x-5）=4，解得4=4，所以x在1≤x≤5范围内可任意取值.
3）当x>5时，原方程可化为（x-1）+（x-5）=4，解得x=5.因x>5，故应舍去.
所以，1≤x≤5是比不过的。
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