最新考研数学试题数学一错误修正汇总Word格式.docx

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收敛，可知幂级数«

。

因此，幂级数«

，收敛区间为«

又由于«

时幂级数收敛，«

时幂级数发散。

可知收敛域为«

3、设函数«

具有二阶连续导数，且«

，则函数«

在点（0,0）处取得极小值的一个充分条件是（）

（A）«

（B）«

（C）«

（D）«

【考点分析】本题考查二元函数取极值的条件，直接套用二元函数取极值的充分条件即可。

知«

所以«

，

要使得函数«

在点（0,0）处取得极小值，仅需

所以有«

4、设«

，则«

的大小关系是（）

（A）«

（B）«

（C）«

（D）«

【考点分析】本题考查定积分的性质，直接将比较定积分的大小转化为比较对应的被积函数的大小即可。

时，«

，因此«

，故选（B）

5.设«

为3阶矩阵，将«

的第二列加到第一列得矩阵«

，再交换«

的第二行与第三行得单位矩阵.记«

«

则«

（）

（A）«

（D）

【考点分析】本题考查初等矩阵与初等变换的关系。

直接应用相关定理的结论即可。

【解析】由初等矩阵与初等变换的关系知«

，所以«

，故选（D）

6、设«

是4阶矩阵，«

为«

的伴随矩阵，若«

是方程组«

的一个基础解系，则«

基础解系可为（）

（C）«

【考点分析】本题考查齐次线性方程组的基础解系，需要综合应用秩，伴随矩阵等方面的知识，有一定的灵活性。

的基础解系只有一个知«

，又由«

知，«

都是«

的解，且«

的极大线生无关组就是其基础解系，又

线性相关，故«

或«

为极大无关组，故应选（D）

7、设«

为两个分布函数，其相应的概率密度«

是连续函数，则必为概率密度的是（）

（C）«

【考点分析】本题考查连续型随机变量概率密度的性质。

【解析】检验概率密度的性质：

为概率密度，故选（«

）。

8、设随机变量«

与«

相互独立，且«

存在，记«

【考点分析】本题考查随机变量数字特征的运算性质。

计算时需要先对随机变量«

进行处理，有一定的灵活性。

【解析】由于«

故应选（B）

二、填空题

9、曲线«

的弧长«

=

【答案】

【考点分析】本题考查曲线弧长的计算，直接代公式即可。

10、微分方程«

满足条件«

的解为«

【考点分析】本题考查一阶线性微分方程的求解。

先按一阶线性微分方程的求解步骤求出其通解，再根据定解条件，确定通解中的任意常数。

【解析】原方程的通解为

由«

，得«

，故所求解为«

11、设函数«

【考点分析】本题考查偏导数的计算。

故«

12、设«

是柱面方程«

与平面«

的交线，从«

轴正向往«

轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分«

【考点分析】本题考查第二类曲线积分的计算。

首先将曲线写成参数方程的形式，再代入相应的计算公式计算即可。

【解析】曲线«

的参数方程为«

，其中«

从«

到«

因此

13、若二次曲面的方程为«

，经正交变换化为«

【答案】1

【考点分析】本题考查二次型在正交变换下的标准型的相关知识。

题目中的条件相当于告诉了二次型的特征值，通过特征值的相关性质可以解出«

【解析】本题等价于将二次型«

经正交变换后化为了«

由正交变换的特点可知，该二次型的特征值为

该二次型的矩阵为«

，可知

14、设二维随机变量«

服从«

【考点分析】：

本题考查二维正态分布的性质。

【解析】：

由于«

，由二维正态分布的性质可知随机变量«

独立。

因此«

，可知«

，则

三、解答题

15、（本题满分10分）求极限«

本题考查极限的计算，属于«

形式的极限。

计算时先按«

未定式的计算方法将极限式变形，再综合利用等价无穷小替换、洛必达法则等方法进行计算。

16、（本题满分9分）设«

，其中函数«

具有二阶连续偏导数，函数«

可导，且在«

处取得极值«

，求«

本题综合考查偏导数的计算和二元函数取极值的条件，主要考查考生的计算能力，计算量较大。

在«

故

17、（本题满分10分）求方程«

不同实根的个数，其中«

为参数

时，方程«

只有一个实根

有两个实根

本题考查方程组根的讨论，主要用到函数单调性以及闭区间上连续函数的性质。

解题时，首先通过求导数得到函数的单调区间，再在每个单调区间上检验是否满足零点存在定理的条件。

令«

（1）当«

单调递减，故此时«

的图像与«

轴与只有一个交点，也即方程«

（2）«

时，在«

和«

上都有«

是严格的单调递减，又«

，故«

的图像在«

轴均无交点

（3）«

上单调增加，又«

上只有一个实根，又«

都有«

都单调减，又«

轴无交点，在«

上与«

轴有一个交点

综上所述：

18、（本题满分10分）证明：

（1）对任意正整数«

，都有«

（2）设«

，证明数列«

收敛

本题考查不等式的证明和数列收敛性的证明，难度较大。

（1）要证明该不等式，可以将其转化为函数不等式，再利用单调性进行证明；

（2）证明收敛性时要用到单调有界收敛定理，注意应用

（1）的结论。

（1）令«

，则原不等式可化为«

先证明«

：

上单调递增。

，因此当«

也即«

再证明«

因此，我们证明了«

再令由于，即可得到所需证明的不等式。

（2）«

，由不等式«

可知：

数列«

单调递减。

又由不等式«

因此数列«

是有界的。

故由单调有界收敛定理可知：

收敛。

19、（本题满分11分）已知函数«

具有二阶连续偏导数，且«

，计算二重积分«

【答案】：

本题考查二重积分的计算。

计算中主要利用分部积分法将需要计算的积分式化为已知的积分式，出题形式较为新颖，有一定的难度。

将二重积分«

转化为累次积分可得

首先考虑«

，注意这是是把变量«

看做常数的，故有

易知«

对该积分交换积分次序可得：

再考虑积分«

，注意这里是把变量«

20、（本题满分11分）«

不能由

线性表出。

①求«

②将«

①«

②«

本题考查向量的线性表出，需要用到秩以及线性方程组的相关概念，解题时注意把线性表出与线性方程组的解结合起来。

①由于«

不能由«

表示

可知«

，解得«

②本题等价于求三阶矩阵«

使得«

计算可得«

21、（本题满分11分）«

为三阶实矩阵，«

，且«

（1）求«

的特征值与特征向量

（2）求«

（1）«

的特征值分别为1，-1，0，对应的特征向量分别为«

实对称矩阵的特征值与特征向量，解题时注意应用实对称矩阵的特殊性质。

«

可知：

1，-1均为«

的特征值，«

分别为它们的特征向量

，可知0也是«

的特征值

而0的特征向量与«

正交

设«

为0的特征向量

有«

得«

的特征值分别为1，-1，0

对应的特征向量分别为«

（2）«

其中«

故«

22.（本题满分11分）

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