高三数学人教版A版数学理高考一轮复习教案36 简单的三角恒等变换 简单的三角恒等变换 Word版含答案.docx
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高三数学人教版A版数学理高考一轮复习教案36简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换Word版含答案
第六节 简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换
能运用公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）．
知识点一 半角公式
1．用cosα表示sin2，cos2，tan2.
sin2＝；cos2＝；
tan2＝.
2．用cosα表示sin，cos，tan.
sin＝±；cos＝±；
tan＝±.
3．用sinα，cosα表示tan.
tan＝＝.
易误提醒 应用“sin＝±”或“cos＝±”求值时，可由所在象限确定该三角函数值的符号．易混淆由α决定．
必记结论 用tanα表示sin2α与cos2α
sin2α＝2sinαcosα＝＝；cos2α＝cos2α－sin2α＝＝.
[自测练习]
1．已知cosθ＝－，<θ<3π，那么sin＝（ ）
A. B．－
C.D．－
解析：
∵<θ<3π，∴<<.
∴sin＝－＝－＝－.
答案：
D
知识点二 辅助角公式
asinα＋bcosα＝sin（α＋φ）.
易误提醒 在使用辅助角公式易忽视φ的取值，应由点（a，b）所在象限决定，当φ在第一、二象限时，一般取最小正角，当φ在第三、四象限时，一般取负角．
[自测练习]
2．函数f（x）＝sin2x＋cos2x的最小正周期为（ ）
A．π B.
C．2πD.
解析：
f（x）＝sin2x＋cos2x＝sin，
∴T＝π.
答案：
A
3．函数f（x）＝sinx－cos的值域为（ ）
A．[－2,2]B．[－，]
C．[－1,1]D.
解析：
∵f（x）＝sinx－cos＝sinx－cosxcos＋sinxsin＝sinx－cosx＋sinx＝＝sin（x∈R），
∴f（x）的值域为[－，]．
答案：
B
考点一 三角函数式的化简|
化简：
（1）sin50°（1＋tan10°）；
（2）.
解：
（1）sin50°（1＋tan10°）
＝sin50°（1＋tan60°tan10°）
＝sin50°·
＝sin50°·
＝
＝＝＝1.
（2）原式＝
＝＝
＝＝cos2x.
考点二 辅助角公式的应用|
（1）函数y＝sin2x＋2sin2x的最小正周期T为________．
[解析] y＝sin2x＋2sin2x＝sin2x－cos2x＋＝2sin（2x－）＋，所以该函数的最小正周期T＝＝π.
[答案] π
（2）设当x＝θ时，函数f（x）＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ＝________.
[解析] f（x）＝sinx－2cosx
＝＝sin（x－φ），
其中sinφ＝，cosφ＝，
当x－φ＝2kπ＋（k∈Z）时函数f（x）取到最大值，
即θ＝2kπ＋＋φ时函数f（x）取到最大值，
所以cosθ＝－sinφ＝－.
[答案] －
（1）利用asinx＋bcosx＝sin（x＋φ）把形如y＝asinx＋bcosx＋k的函数化为一个角的一种函数的一次式，可以求三角函数的周期、单调区间、值域、最值和对称轴等．
（2）化asinx＋bcosx＝sin（x＋φ）时φ的求法：
①tanφ＝；②φ所在象限由（a，b）点确定．
已知函数f（x）＝2sinxsin.
求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．
解：
f（x）＝2sinx
＝×＋sin2x
＝sin＋.
函数f（x）的最小正周期为T＝π.
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以函数f（x）的单调递增区间是，k∈Z.
考点三 三角恒等变换的综合应用|
三角恒等变换是高考必考内容，考查时多与三角函数的图象与性质、解三角形及平面向量交汇综合考查，归纳起来常见的命题探究角度有：
1．三角恒等变换与三角函数性质的综合．
2．三角恒等变换与三角形的综合．
3．三角恒等变换与向量的综合．
探究一 三角恒等变换与三角函数性质的综合
1．已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.
（1）求ω和φ的值；
（2）若f＝，
求cos的值．
解：
（1）因为f（x）的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f（x）的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2.
又f（x）的图象关于直线x＝对称，所以
2×＋φ＝kπ＋，k＝0，±1，±2，….
因为－≤φ<，所以k＝0，
所以φ＝－＝－.
（2）由
（1）得f＝sin＝，
所以sin＝.由<α<，得0<α－<，
所以cos＝＝＝.
因此cos＝sinα＝sin＝sincos＋cossin＝×＋×＝.
探究二 三角恒等变换与三角形的结合
2．（2016·台州模拟）已知实数x0，x0＋是函数f（x）＝2cos2ωx＋sin（ω>0）的相邻的两个零点．
（1）求ω的值；
（2）设a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C所对的边，若f（A）＝且＋＝，试判断△ABC的形状，并说明理由．
解：
（1）f（x）＝1＋cos2ωx＋sin2ωx－cos2ωx
＝sin2ωx＋cos2ωx＋1
＝sin＋1，
由题意得T＝π，∴＝π.∴ω＝1.
（2）由
（1）得f（x）＝sin＋1，
∴f（A）＝sin＋1＝，
即sin＝.
∵0∴2A＋＝，即A＝.
由＋＝得＋＝，所以cosB＋cosC＝2cosA＝1，
又因为B＋C＝，所以cosB＋cos＝1，
即sin＝1，所以B＝C＝.
综上，△ABC是等边三角形．
探究三 三角恒等变换与向量的综合
3．（2015·合肥模拟）已知向量a＝，b＝（3,0），其中θ∈，若a·b＝1.
（1）求sinθ的值；
（2）求tan2θ的值．
解：
（1）由已知得：
cos＝，sin＝，sinθ＝sin＝sincos＋cos·sin＝.
（2）由cos＝得sinθ＋cosθ＝，两边平方得：
1＋2sinθcosθ＝，即sin2θ＝－，而cos2θ＝1－2sin2θ＝－，∴tan2θ＝.
三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y＝Asin（ωx＋φ）的形式再研究其性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．
5.三角恒等变换与解三角形的综合的答题模板
【典例】 （12分）（2015·高考山东卷）设f（x）＝sinxcosx－cos2.
（1）求f（x）的单调区间；
（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值．
[思路点拨]
（1）首先利用二倍角公式及诱导公式将f（x）的解析式化为“一角一函数”的形式，然后求解函数f（x）的单调区间．
（2）首先求出角A的三角函数值，然后根据余弦定理及基本不等式求出bc的最大值，最后代入三角形的面积公式即可求出△ABC面积的最大值．
[规范解答]
（1）由题意知f（x）＝－
＝－
＝sin2x－.（3分）
由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，可得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z；（4分）
由＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，可得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以f（x）的单调递增区间是
（k∈Z）；（5分）
单调递减区间是（k∈Z）．（6分）
（2）由f＝sinA－＝0，得sinA＝，
由题意知A为锐角，所以cosA＝.（8分）
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，（9分）
可得1＋bc＝b2＋c2≥2bc，（10分）
即bc≤2＋，且当b＝c时等号成立．
因此bcsinA≤.（11分）
所以△ABC面积的最大值为.（12分）
[模板形成]
[跟踪练习] 已知函数f（x）＝2sinxcosx＋2cos2x－1（x∈R）．
（1）求函数f（x）的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；
（2）已知△ABC为锐角三角形，A＝，且f（B）＝，求cos2B的值．
解：
（1）由f（x）＝2sinxcosx＋2cos2x－1得
f（x）＝sin2x＋cos2x＝2sin.
所以函数f（x）的最小正周期为π.
因为f（x）＝2sin在区间上为增函数，在区间上为减函数，
又f（0）＝1，f＝2，f＝－1，
所以f（x）在区间上的最大值为2，最小值为－1.
（2）因为△ABC为锐角三角形，且A＝60°，
所以
即B∈，所以2B＋∈.
由
（1）可知f（B）＝2sin＝，
即sin＝，cos＝－，
所以cos2B＝cos
＝coscos＋sinsin
＝.
A组 考点能力演练
1．（2015·洛阳统考）已知sin2α＝，则cos2＝（ ）
A．－B．－
C.D.
解析：
∵cos2＝＝，∴cos2＝.
答案：
D
2．已知2sinθ＋3cosθ＝0，则tan2θ＝（ ）
A.B.
C.D.
解析：
∵2sinθ＋3cosθ＝0，∴tanθ＝－，
∴tan2θ＝＝＝.
答案：
B
3．sin2α＝，0<α<，则cos的值为（ ）
A.B．－
C.D．±
解析：
因为sin2α＝cos＝2cos2－1，所以cos＝±，因为sin2α＝，所以cos＝±，因为0<α<，所以－<－α<，所以cos＝.
答案：
C
4．（2015·太原一模）设△ABC的三个内角分别为A，B，C，且tanA，tanB，tanC,2tanB成等差数列，则cos（B－A）＝（ ）
A．－B．－
C.D.
解析：
由题意得tanC＝tanB，tanA＝tanB，所以△ABC为锐角三角形．又tanA＝－tan（C＋B）＝－＝－＝tanB，所以tanB＝2，tanA＝1，所以tan（B－A）＝＝＝.因为B>A，所以cos（B－A）＝，故选D.
答案：
D
5．若α∈，且3cos2α＝sin，则sin2α的值为（ ）
A.B．－
C.D．－
解析：
依题意得3（cos2α－sin2α）＝（cosα－sinα），cosα＋sinα＝，（cosα＋sinα）2＝2＝，即1＋sin2α＝，sin2α＝－，故选D.
答案：
D
6．计算＝________.
解析：
＝＝＝＝.
答案：
7．化简sin2＋sin2－sin2α的结果是________．
解析：
法一：
原式＝
＋－sin2α
＝1－－sin2α＝1－cos2α·cos－sin2α＝1－－＝.
法二：
令α＝0，则原式＝＋＝.
答案：
8．设sin2α＝－sinα，α∈，则tan2α的值是________．
解析：
∵sin2α＝2sinαcosα＝－sinα，
∴cosα＝－，
又α∈，∴sinα＝，tanα＝－，
∴tan2α＝＝＝.
答案：
9．设函数f（x）＝sinωx＋sin，x∈R.
（1）若ω＝，求f（x）的最大值及相应x的集合；
（2）若x＝是f（x）的一个零点，且0<ω<10，求ω的值和f（x）的最小正周期．
解：
由已知：
f（x）＝sinωx－cosωx＝sin.
（1）若ω＝，则f（x）＝sin.
又x∈R，则sin
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