甘肃省肃南裕固族自治县第一中学届高三月考数学理试题 Word版含答案.docx
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甘肃省肃南裕固族自治县第一中学届高三月考数学理试题Word版含答案
高三数学（理）试卷
第Ⅰ卷（60分）
一、选择题：
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知集合，则为（）
A．B．C．D．
2.已知集合，为虚数单位，则下列选项正确的是（）
A．B．C．D．
3.若，且与的夹角为60°，当取得最小值时，实数的值为（）
A．1B．-1C．2D．-2
4.直线的倾斜角的到值范围是（）
A．B．C．D．
5.一个几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：
），则该几何体的体积为（）
A．B．C．D．
6.在三棱锥中，侧棱、、两两垂直，、、的面积分别为、、．则三棱锥的外接球的体积为（）
A．B．C．D．
7.执行下图所示的程序框图（其中表示不超过的最大整数），则输出的值为（）
A．7B．6C．5D．4
8.已知函数，若方程有且只有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（）
A．B．C．D．
9.如图，分别是双曲线的左顶点、右顶点，过的直线与的一条渐近线垂直且与另一条渐近线和轴分别交于两点，若，则的离心率是（）
A．B．C．D．
10.设是等差数列的前项和，若，则（）
A．1B．-1C．2D．
11.在直角三角形中，，点是斜边上的一个三等分点，则=（）
A．0B．C．D．4
12.记实数中的最大数为，最小值为．已知的三边边长为，定义它的倾斜度为，则“”是“为等边三角形”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
第Ⅱ卷（90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知，则__________．
14.已知，且，则的最小值是___________．
15.若等比数列的第5项是二项式展开式的常数项，则__________．
16.已知函数，若，则实数的取值范围____________．
三、解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）
设函数．其中．
（1）求的最小正周期；
（2）当时，求实数的值，使函数的值域恰为，并求此时在上的对称中心．
18.（本小题满分12分）
如图，在三棱锥中，，平面平面、分别为、中点．
（1）求证：
平面；
（2）求证：
；
（3）求二面角的大小．
19.（本小题满分12分）为了参加2013年市级高中篮球比赛，该市的某区决定从四所高中学校选出12人组成男子篮球队代表所在区参赛，队员来源人数如下表：
学校
学校甲
学校乙
学校丙
学校丁
人数
4
4
2
2
该区篮球队经过奋力拼搏获得冠军，现要从中选出两名队员代表冠军队发言．
（1）求这两名队员来自同一学校的概率；
（2）设选出的两名队员中来自学校甲的人数为，求随机变量的分布列及数学期望．
20.（本小题满分12分）
已知椭圆的左、右焦点分别为、，椭圆上的点满足，且的面积为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左、右顶点分别为、，过点的动直线与椭圆相交于、两点，直线与直线的交点为，证明：
点总在直线上．
21.（本小题满分12分）
已知函数，其中是实数，设为该函数图象上的点，且．
（1）指出函数的单调区间；
（2）若函数的图象在点处的切线互相垂直，且，求的最小值；
（3）若函数的图象在点处的切线重合，求的取值范围．
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.（本小题满分10分）选修4-1：
几何证明选讲
如图，在中，平分，交于点，点在上，．
（1）求证：
是的外接圆的切线；
（2）若，求的长．
23.（本小题满分10分）选修4-4：
坐标系与参数方程
已知动点都在曲线（为参数）上，对应参数分别为与，为的中点．
（1）求的轨迹的参数方程；
（2）将到坐标原点的距离表示为的函数，并判断的轨迹是否过坐标原点．
24.（本小题满分10分）选修4-5：
不等式选讲
已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）设，且当时，，求的取值范围．
参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
D
B
C
A
A
C
D
A
D
B
二、填空题
13.；14．；15．；16．
三、解答题：
17．
（1）最小正周期；
（2），对称中心为．
18．解：
（1）∵、分别为、中点，
∵，∴，
∵，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
又∵，
∴平面，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
∵平面，
∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
（3）∵平面平面，平面平面平面．．．．．8分
如图，以为原点建立空间直角坐标系
∴，
∴．
设平面的法向量，
∴，令，
得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分
∵平面，
∴平面的法向量为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
设二面角的大小为，
由图知，，所以，即二面角的大小为60°．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
19．解：
（1）．
（2）的分布列为：
0
1
2
．
20．解析：
（1）由题意知：
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分
∵椭圆上的点满足，且，
∴，
∴．
∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
又∵，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
∴椭圆的方程为，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4分
（2）由题意知，
①当直线与轴垂直时，，则的方程是：
，
的方程是：
，直线与直线的交点为，
∴点在直线上．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（2）当直线不与轴垂直时，设直线的方程为、，
由得，
∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
，共线，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
又，需证明共线，
需证明，只需证明，
若，显然成立，若，即证明
成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分
∴共线，即点总在直线上．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
21．
（1）在上单调递减，在上单调递增；
（2）1；（3）
22．
（1）证明：
如图，取的中点，连接，
∵平面，∴，
∵，∴，
∴，∴，
∵，∴，
∴是的外接圆的切线．
（2）解：
设的半径为，则在中，，即，解得，
∴，
∴，
∴，
∴．
23．解析：
（1）由题意有，，
因此，
的轨迹的参数方程为（为参数，）．
（2）点到坐标原点的距离为，
当时，，故的轨迹过坐标原点．
24．
（1）当时，令，作出函数图像可知，当时，，故原不等式的解集为；
（2）依题意，原不等式化为，故对都成立，故，故，故的取值范围是．
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