第一节 数学解题方法的意义与实1Word下载.docx
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数学解题方法的实质就是对数学问题形式的认识。
运用方法就是“变换形式”及展现变换形式的“全过程”。
例如，二次三项式
，它是我们研究的对象、内容。
把它放在直角坐标系上来研究，这是方法。
这时，它就具有抛物线的形式。
我们也可以用代数变换的方法来研究它。
这时，常用的形式有三种：
化简的形式
；
分解成因式的形式
配方的形式。
。
它们都有确定的几何意义，亦是我们全面地认识二次三项式所不可缺少的一环。
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由此例可见，同一个内容，当你从不同的侧面（或角度），用不同的方法考察它时，它显示出来的是不同的形式。
这样，我们才能对被考察的对象有较完善的本质的认识。
对形式的认识总是步步深入的，因而对解题方法的掌握也是步步提高的。
解题方法是对一般量的“表达式”、对量与量的关系的“表达式”、对量与量的关系的关系的“表达式”（即命题）及对命题的关系等几种形式的认识，也就是变换数学问题的形式表达的过程。
在演绎推导的过程中，有目的的一步步变换，直至成为对当前问题最适宜的典型形式或最简形式。
根据这种变换过程的不同特征，我们分别给予具体的方法名称。
例如，我们把数学式子中的某一（些）字母的表达式用另一字母来代换，或者把数学式子中的某一字母用另一（些）字母的表达式来代换，从而使所研究的问题变为较简单且易于解决的问题，这种方法叫换元法或变量替换法。
根据这一定义，换元法可分三种类型的具体方法：
（1）“以新元代旧式”型。
这好比“集装箱”形式来装运货物：
先把小件分散的货物集装成“大单元”，然后把这些“大单元”以一定方式装进车厢。
因此，可把这种类型的换元法，称为“集装型”换元法。
（2）“赋旧元以新式”型。
这好比把不合理的集装方法改换为合理的散载方式。
因此，可把这种类型的换元法称为“散载型”换元法。
（3）“以新式代旧式”型，这可看作是
（1）型和
（2）型的“复合型”换元法。
对换元形式的认识，从映射的观点看，换元法的实质就是引进某种新的映射，对原给定的函数形式进行分解或实施复合；
从自由度观点来看，换元法的实质是通过保持自由度不变的空间形式转换来处理问题。
数学三种语言互换的重要性
高中数学的“根基”，是要建立在基础认识和理解上，因为高中的一个难点即太多的符号语言，基础的不到位，读题的困惑和障碍是厌学的开始，这也是最根本怕学情绪产生的一个诱因，基础的脱节又如何在后期达到拔高呢？
那高中教学中又将如何把握好这一“根基”中的关键呢？
（一）首先初中数学到高中数学的过度中，不同语言的地位和互换是一个更深度和更高度的认识，让学生在最初接触中感受和认识它的重要性和不可回避性是思想接受的关键。
（二）在概念教学要让学生认识和感受“文字语言”，“符号语言”，和“图形语言”,的互换联系和优缺点。
并在以后的教学中都从这一角度训练学生的三种表示能力和互换能力。
（三）又在解题中不断体会“文字语言”与“符号语言”互化的解题入手基本点，只有当基本数学式子转化好后才能进一步找解题的“突破口”。
（四）当然还有“图形语言”在题型中的解答优式训练和强调。
总之，只有将这几种表示方法都掌握并能熟练互换了，正确读题，和快速译题，才能进一步谈如何快速解题。
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数学教师要在课堂教学中正确使用三种数学语言，发展学生的思维能力
数学语言一般包括口头语言与书面语言；
书面语言又可以分成文字语言、图画语言和符号语言。
我们在数学教学中结合不同的教学内容，充分发挥三种语言的功能，提高学生的思维能力。
1.发挥文字语言的功能，培养学生思维能力
文字是书面语言的表达形式，是记录与传达语言的书写符号。
在数学教学中教师应引导学生对应用题进行咬文嚼字的分析，深刻理解题意，正确解题。
例如：
“一桶汽油，倒出40％，刚好倒出12升。
这桶汽油有多少升？
我们抓住“分率句”进行以下咬文嚼字的分析，层层剖析，进而顺利进行解题。
（1）倒出40％，倒出谁的40％？
（学生回答：
倒出40％，倒出这桶油的40％，这桶油重
应为整体“1”。
）
（2）这桶油重是整体“1”，是所求问题，怎样表示？
这桶油重为整体“1”，用x升表示。
（3）倒出40％，刚好是12升，怎样列出方程？
设：
这桶油重x升。
x×
40％=12
x=12÷
40％
x=30
答：
这桶油30升。
（4）谁能用语言表达12÷
40％算式的意义？
12÷
40％的意义是已知一个数的40％是12，求这个数是多少？
这样，发挥文字语言功能，培养学生思维能力。
2.发挥图象语言的功能，培养学生思维能力
图象语言是用线条或颜色描绘事物的形象。
数学教学中的表格、图画、线段图都是图象语言。
图象语言能直观、具体、形象地记录或表达数量关系，因而在数学教学中具有重要作用，我们可以借助图象语言培养学生的思维能力。
例如，我们引导学生解答思考题“一块铜和银合金重330克，其中铜重
时运用图解这种图象语言进行表述则问题可迎刃而解。
我们可以根据题意画出下列线段图17
设：
银的重量为整体“1”。
应。
则可列式解答：
在铜银合金中银重297.5克；
铜重32.5克。
这样，运用图解可以使学生深刻理解经过“转化”可以达到“对应”，正确解题的道理。
3.发挥符号语言的功能，培养学生思维能力
符号是代表事物的记号或特殊标记。
使学生掌握数学符号是学好数学重要一环，可以毫不夸张地说：
不懂数学符号就无法学好数学。
美国著名数学家波利亚曾指出：
“数学符号看来是一种语言，一种构造良好的语言，一种非常适合目的、简练而准确的语言。
……，使用符号进行推理看来是不可少的！
”
导学生，运用数学的符号语言进行下述一系列思维：
设甲为A，乙为B，则可列成下式：
用（3）式减去
（2）式各对应数值可得：
∴B=25
这样，我们引导学生正确运用关系符号、运算符号与语言符号组成的一套数学语言，进行推理，求得结果。
这里充分显示符号语言的极大作用；
运用符号语言进行分析、推理还可以把隐蔽在数学符号中的未知数量挖掘出来导致新的发现！
（三）数学教师在使用数学语言进行教学时应注意以下几点：
1.注意语言的准确性
数学语言必须准确——不能似是而非、含混不清、模棱两可。
例如，体积与容积是两个不同的概念。
什么叫体积？
体积是指物体所占的空间大小。
什么叫容积？
容积是容器所容纳物体的大小。
在解题中，二者在数值上是相同的。
但本质上有所不同，在描述这两个概念时要注意严格区分，否则就会出现“求容积就是求体积”的错误概念。
2.注意语言的逻辑性
数学语言必须符合逻辑。
也就是数学语言要符合同一律、矛盾律、排中律和充足理由律。
例如，把“整除”与“除尽”混为一谈，就是违背了同一律。
又例如，在教学中有的学生认为“所有的直径都相等”、“所有的半径也相等”而忽略了“在同圆或等圆”这一前提，而违背了充足理由律。
3.注意语言的科学性
数学语言要注意科学性就是指数学教师的语言在语法要求上是正确的；
在逻辑上要经得起推敲；
在科学上是有定论的。
有些教师不注意这一点，只考虑学生的兴趣而损害数学语言的科学性。
不少老师在叙述分数除法计算法则时说：
“颠倒相乘”，这是不科学的，不如按教材中所说：
“甲数除以乙数，（零除外），等于甲数乘以乙数的倒数。
”更为科学。
4.注意语言的启发性
数学语言要有启发性，就是说数学教师要通过语言启发学生思考问题。
德国著名教育家第斯多惠指出：
“一个坏的教师是奉送真理；
一个好的教师是教人发现真理。
”这是数学语言启发性的真谛。
例如，我们在教“繁分数”时，教师不必告诉学生繁分数的定义，可以通过练习使学生自己去发现繁分数的特点，自己总结繁分数的定义。
上课要求学生把以下各式写成分数：
但对后三个算式产生了怀疑。
有的学生说：
“过去学的分数，分子、分母都是整数。
如果把后三个题也写成分数，那么分数的分子、分母不是整数而是分数了。
那么分数的分子、分母可不可以写成分数呢？
教师向学生提问：
“这三个数是什么数呢？
然后要求学生翻开数学课本自己阅读繁分数定义。
这样经过自己观察、思考、分析，学到的数学概念记忆是牢固的。
综上所述，在数学教学中，我们教师要深钻教材，精心备课，并运用准确、科学的数学语言进行教学为数学教学最优化创造良好的条件。
试论高中数学解题课的教学
山东省桓台第一中学
崔佃金
（一）名师视点
1
对于解题课教学有关概念的把握
1.1数学家对数学“问题”及其解决的论述
美国当代数学家哈尔莫斯详细阐述了问题对数学的重要性：
“数学家存在的理由，就是解决问题．因此，数学的真正组成部分是问题和解．”“数学的产生及发展都是为了回答人们提出问题的需要，是问题的不断提出与解决在向数学输送着新鲜的血液，促进着数学的生长与发育，所以说，问题是数学的心脏．”数学家波利亚长期致力于“怎样解题”的研究，他指出：
“掌握数学就是意味着善于解题，不仅善于解一些标准的题，而且要善于解一些要求独立思考、思路合理、见解独到和有发明创造的题．”法国著名数学家阿达玛在其名著《数学领域中的发明心理学》把学生的解题过程与数学家的发明创造相提并论：
“一个学生解决某一代数或几何问题的过程与数学家做出发现或创造的过程具有相同的性质，至多只有程度上的差异．”
1.2数学问题的意义
数学问题是指数学上要求回答或解释的题目，需要研究或解决的矛盾，是为实现教学目标而要求师生解答的问题系统．一个完整的数学题包含条件、结论、解题方法三个要素．从具体范围看，数学问题可以是一个待求解的答案、一个待证明的结论、一个待求作的图形、一个待判断的命题、一个待建立的概念、一个待解决的实际问题、一个待寻求的问题解法等形式；
从教学场景看，数学问题有课堂上的提问、范例、练习和所解决的概念、定理、公式，有学生的课外作业和测验试题，有师生共同进行的研究性课题等；
从问题要素看，可分为标准性题（三个要素都已知）、训练性题（三个要素中有一个未知）、探索性题（三个要素中有两个未知）．
传统意义上的数学问题具有接受性、封闭性和确定性的特征．其内容是熟知的，学生通过对教材的模仿操作性练习，就能较好地完成；
其结构是常规的，答案基本确定、条件不多不少，可以按照现成的公式或常规的思路获得解决．主要目的在于巩固和变式训练，题目的挑战性不是很强．
现代意义上的数学问题具有灵活性、应用性和探究性等特征．包含数学情景题、数学应用题、数学开放题、数学探究题等崭新形式．它们拉近了数学与实际、数学与自然、数学与其它学科的距离，正在改变着传统解题教学的环境、格局和意义．
1.3数学解题的认识
解题就是“解决问题”，即求出数学题的答案，这个答案在数学上也叫做“解”，所以，解题就是找出题的解的活动．教学中的解题是一个再创造或再发现的过程，是数学学习的核心内容．解题是真正发生数学教育的关键环节，尚未出现解题的数学学习总给人一种尚未深入到实质或尚未进入到高潮的感觉．解题是掌握数学并学会“数学地思维”的基本途径．概念的掌握、技能的熟练、定理的理解、能力的培养、素质的提高等都离不开解题实践活动．解题也是评价学生认知水平的重要手段和方式．尽管不能认为是惟一的方式，也是当前用得最多、操作最方便、公众认可度最高的一种方式．可以说解题贯穿了认知主体的整个学习生活乃至整个生命历程．
解题教学的基本含义是，通过典型数学题的学习，去探究数学问题解决的基本规律，学会像数学家那样“数学地思维”．对高中数学教学中的解题课而言，不仅要把“题”作为研究的对象，把“解”作为研究的目标，而且要把“题解”也作为对象，把开发智力、促进“人的发展”作为目标．
传统意义上的解题，比较注重结果，强调答案的确定性，偏爱形式化的题目．而现代意义上的“问题解决”，则更注重解决问题的过程、策略以及思维的方法，更注重解决问题过程中情感、态度、价值观的培养．作为数学教育口号的“问题解决”，对问题的障碍性和探究性提出了较高的要求．波利亚在《数学的发现》中将问题理解为“有意识地寻求某一适当的行动，以便达到一个被清楚地意识到但又不能立即达到的目的．解决问题就是寻找这种活动．”第六届国际数学教育大会报告指出：
“一个（数学）问题是一个对人具有智力挑战特征的、没有现成的直接方法、程序或算法的未解决的情境．”这类题目可以称为“问题”．“问题解决”是数学学科的一个永恒的课题．
从信息论的观点探讨解题的思维过程．数学解题有形象思维、直觉思维和逻辑思维的综合作用．数学解题的过程是两个维度上相关信息的有效组合，即从理解题意中捕捉有用的信息，从记忆网络中提取有关的信息，并把这两组信息组成一个和谐的逻辑结构．数学解题的思维过程是“有用捕捉”、“有关提取”、“有效组合”三位一体的工作．有用捕捉，即通过观察从理解题意中捕捉有用的信息，主要是弄清条件是什么?
结论是什么?
各有几个?
如何建立条件与结论之间的逻辑联系?
有关提取．即在“有用捕捉”的刺激下，通过联想而从解题者头脑中提取出解题依据与解题方法．良好的认知构结和机智的策略选择是连续提取、不断捕捉的基础．有效组合．即将上述两组信息资源，加工配置成一个和谐的逻辑结构．逻辑思维能力是有效组合的基础．
1.4高中学生的心理和认知发展规律
高中学生处于青少年中期，是个体身心发展的剧变期．青少年的可能性思维使他们能运用假设检验去解决问题，提高了问题解决的速度和效率，能够有计划和预见地解决问题，思维和推理更具抽象性、预测性和灵活性．高中生的思维中虽然仍有形象思维的成分，但抽象逻辑思维已经占主导地位．除把具体情景和环境作为思维对象外，还开始实际思考自己和他人的思维，把抽象的思想意识作为思维对象．
高中生的元认知能力大大增强，能够更好地监控自己的思维活动．他们运用更多的时间反思自己将要解决问题的思想观念和表象，具有了自我反省能力．他们的元记忆知识更加丰富，元理解能力已经发展到一个较高水平．根据高中学生的心理和认知发展规律可以看出，高中生已经能够承担较为复杂的学习任务，有能力参与高中数学解题课的教学，并顺利完成相应的教学任务．
中学数学解题方法是数学方法论、学习论、思维论研究的重要组成部分．数学解题课具有教学功能、思想教育功能、发展功能和反馈功能．数学解题课的教学，可使学生加深对基本概念的理解，从而使概念完整化、具体化，牢固掌握所学知识系统，逐步形成完善合理的认知结构．数学解题课的教学，达到知识的应用，有利于启发学生学习的积极性．它是采用一段原理去解释具体的同类事物，由抽象到具体的过程．数学解题课的教学，也是一种独立的创造性活动．数学问题所提供的问题情境，需要探索思维和整体思维，也需要发散思维和收敛思维．因而可培养学生的观察、归纳、类比、直觉、抽象等合情推理以及寻找论证方法等演绎推理能力，准确、简要、清晰地表述以及判断、决策等一系列数学素养和能力，给学生以施展才华、发展智慧的机会．数学解题课是高中数学重要的基本课型之一．
2
高中数学解题课的教学要求
2.1课程标准对数学解题课的基本要求
高中教育首先是人生发展的一个重要阶段，是学生生活的一部分，而不是服务于某一个既定目标的工具．高中阶段的任务应超越“单一任务”和“双重任务”这种教育工具化的倾向，实现从精英教育到大众教育的转变．定位于奠定高中生进一步学习的基础学力，养成其人生规划能力，培养公民基本素养并形成健全人格上．
《数学课程标准》指出：
“数学教育在学校教育中占有特殊的地位，它使学生掌握数学的基础知识、基本技能、基本思想，使学生表达清晰、思考有条理，使学生具有实事求是的态度、锲而不舍的精神，使学生学会用数学的思考方式解决问题、认识世界．”
《数学课程标准》在界定高中数学课程性质时指出：
“高中数学课程对于认识数学与自然界、数学与人文社会的关系，认识数学的科学价值、文化价值，提高提出问题、分析问题和解决问题的能力，形成理性思维，发展智力和创新意识具有基础性的作用．”
《数学课程标准》关于高中数学课程性质中专门对数学的应用提出要求：
“高中数学课程有助于学生认识数学的应用价值，增强应用意识，形成解决简单实际问题的能力．”
《数学课程标准》在“建立合理、科学的评价体系”中提出，要“关注对学生数学地提出、分析、解决问题等过程的评价，以及在过程中表现出来的与人合作的态度、表达与交流的意识和探索的精神”．
2.2数学解题课的教学目标
高中数学解题课的目标是：
在数学方法论、学习论、思维论、多元智能、建构主义等教育理论指导下，培养学生形成“提出问题—分析问题—解决问题—反思问题”的良好习惯和品质，形成理性思维，发展智力和创新能力．培养学生实事求是的态度、锲而不舍的精神，学会用数学的思考方式解决问题、认识世界．培养学生在数学解题过程中表现出来的与人合作的态度、表达与交流的意识和探索的精神，全面提高学生的综合素质．
倡导积极主动，创新学习方式；
经历思维过程，培养数学素养；
开展数学建模，培养应用意识；
强调返璞归真，揭示发展规律；
体验数学美感，强化文化价值．
解题课的教学应突出三个方面：
一是使学生准确、灵活地掌握数学知识，扩大知识的联系；
二是使学生形成分析和求解数学问题的思路和方法；
三是发展学生的思维能力．数学解题教学的根本任务是发展学生的思维潜能，促进学生整体素质的提高，通过素质的全面提高反过来带动学业成绩的提高．
2.3数学解题课的特点
该课型应体现学生的学习活动是在“解决问题中学习”，也就是把已经掌握的基本概念，基本公式、法则、定理，迁移到不同情境下加以应用，找出解决问题的方法．解题课的教学过程应着力展现解题思维的全过程，充分发掘数学教材中没有具体表述的能力、智力的教育因素，注意对解题策略、思维方法、解题技巧等进行分类、归纳、评价．根据数学问题的难度、学生的知识基础及思维能力水平，铺设合适的梯度，设计好同类知识的训练题组．解题课的教学，应让师生共同交流解题思维的全过程，引导学生自己动脑、动手、动口，积极参与解题教学活动；
引导学生自我评价、优化解题思路，改进解题策略，从而寻求最优的解题方法．
解题活动以思维的“动”为最大特点．要提高数学解题能力，就必须拓展学生自由思维和联想的空间，让思维“动”起来．在传统的数学解题课教学中，课堂由老师支配，对课堂问题的思考、回答和讨论都是教师预设的，学生的一切活动都依赖于老师．学生不敢也不愿意突破固有的框架，学生的个性受到压抑，主体性得不到发挥，思维得不到发展．新课程理念要求教师的课堂以学生为主体，创设民主、和谐、宽松、自由的课堂环境，调动一切因素和状态，拓展学生思维活动空间．使学生主动地参与教学．在这样的环境里，师生平等，学生消除了胆怯和依赖心理，他们可以无拘无束地表现自己，表达自己对问题的想法和认识．学生的积极参与和质疑扩大了生生之间的信息交流与师生之间的信息反馈，有利于新思想、新方法的展示，也有利于问题的发现．这样，教师才能沿着学生的思想轨迹，综合学生反映出来的各种问题因势利导，澄清疑点，纠正错误，优化思想品质．
2.4数学解题的规范
解题是深化知识、发展智力、提高能力的重要手段．规范的解题能够养成良好的学习习惯，提高思维水平．在学习过程中做一定量的练习题是必要的，但并非越多越好，题海战术只能加重学生的负担，弱化解题的作用．要克服题海战术，强化解题的作用，就必须加强解题的规范．做到审题规范、表达规范、答案规范．
审题规范是正确解题的关键．审题是对题目进行分析、综合、寻求解题思路和方法的过程，包括明确条件与目标、分析条件与目标的联系、确定解题思路与方法三部分．
明确条件与目标，一是找出题目中明确告诉的已知条件，发现题目的隐含条件并加以揭示，二是明确要求什么或要证明什么，把复杂目标转化为简单目标；
把抽象目标转化为具体目标．
一个题目的条件与目标之间存在着一系列必然的联系，这些联系是由条件通向目标的桥梁．数学解题就是根据这些联系所遵循的数学原理确定解题思路．数学解题的实质就是分析这些联系与哪个数学原理相匹配．有些题目，这种联系十分隐蔽，必须经过认真分析才能加以揭示；
有些题目的匹配关系有多种，而这正是一个问题有多种解法的原因．
叙述规范是数学解题的重要环节．语言（包括数学语言）叙述是表达解题程式的过程，规范的语言叙述应步骤清楚、正确、完整、详略得当、言必有据．数学本身有一套规范的语言系统，切不可随意杜撰数学符号和数学术语，让人不知所云．
怎样把数学的解答严谨地叙述出来是一件不容易做到的事，这有着较高的能力要求．总的说来，叙述要正确、合理、严密、简捷和清楚．把运算、推理、作图与所得的结果无误地加以叙述，是解题的一项基本要求．对列式、计算、推理、作图都要有充分的理由，遵循严格的思维规律，做到言必有据，理由充足，合乎逻辑性．要周密地考虑问题中的全部内容，不能遗漏，也不能重复．任何数学问题的解答都有一定的格式要求，无论哪种格式，叙述都应层次分明，条理清楚，表述规范．这里包含书写时要力求字迹清楚，作图正确，疏密适度，行款得体．所有这些能力的培养有一个渐进的过程．在不同的学习阶段，应提出不同的要求，教师在解题课教学过程中要作出示范，使学生学有榜样，逐步培养严谨的表达能力．
答案规范是数学解题的成果体现．答案规范是指答案准确、简洁、全面，既注意结果的验证、取舍，又要注意答案的完整．要做到答案规范，就必须审清题目的目标，按目标作答．在数学解题课上，常常是先把问题转化成一般数学问题，再把一般数学转化为规范数学问题，最后的答案必须进一步转化到原有问题中去，并考虑到原有问题对解的各种限制和要求．
2.5数学解题课教学的基本要求
培养学生的问题意识．解题活动不仅指解决
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