(c)x(n)=an0《n《N-1
2、画出x1(n)和x2(n)的波形
x1(n)=x((n-2))4R4(n)
x2(n)=x((-2))4R4(n)
x(n)的波形如图P3.1所示。
3、画出如图P3.2所示的两个序列的6点圆周卷积。
图P3.2
4、如果是一个周期为N的周期序列,则它也是周期为2N的周期序列。
把看作周期为N的周期序列,令表示其DFS,再把看作为2N的周期序列,再令表示其DFS,试利用确定。
5、若,求证:
6、已知序列,对其Z变换在单位园上N等分取样,采样值为,求有限序列IDFT[X(k)]。
7、设是周期为N的周期序列,通过系统H(z)以后,求证输出序列为
8、研究两个周期序列和。
的周期为N,的周期为M。
序列定义为
(a)试证明是周期性的,周期为NM。
(b)令的DFS为,的DFS为,试用和求。
9、x(n)表示长度为N的有限长序列,试证明
10、令X(k)表示N点序列x(n)的N点DFT,试证明
(a)如果x(n)满足关系式
x(n)=-x(N-1-n),则X(0)=0
(b)当N为偶数时,如果x(n)=x(N-1-n),则
11、令X(k)表示N点序列x(n)的N点DFT,X(k)本身也是一个N点序列。
如果计算X(k)的DFT得到一序列x1(n),试用x(n)求x1(n)。
12、长度为8的有限序列的8点DFT为X(k),如图P3.3所示。
长度为16的一个新序列定义为
试从图P3.3(b)的几个图中选出相当于y(n)的16点DFT的略图。
图P3.3
13、令有一序列x(n),其长度有限,Z变换为X(z)。
而x1(n)表示长为N的有限长序列,其N点DFT为X1(k),如果X(z)和X1(k)有
式中,试求x(n)和x1(n)之间的关系。
14、研究两个n<0时等于0的有限长序列x(n)和y(n),且
x(n)=0n》8时
y(n)=0n》20时
将每一序列的20点DFT相乘,然后计算IDFTy(n),试指出Y(n)的哪些点相当于x(n)与y(n)线性卷积中的点。
15、如果一台通用计算机的速度为平均每次复乘需100us,每次复加20us,今用来计算N=1024点的DFT,问用直接运算需要多少时间?
用FFT运算需要多少时间?
16、设一序列x(n)的长度N是2的整数方,它的FFT算法,还可通过下面另一种时间抽选法表述来实现。
(1)将x(n)分解成两个N/2点的序列计算X(k),其一是由x(n)的偶数点组成,另一是由x(n)的奇数点组成。
其中
G(k)和H(k)分别是x(n)的偶数点和奇数点的DFT。
(2)G(k)和H(k)是周期为N/2的周期序列,它满足下列关系
(3)X(k)可表达为前后两部分
证明上述结论的正确性,并据此画出8点FFT时间抽选法流图。
17、画出一个N=16点的时间抽选法FFT信号流图。
设输入序列为x(n),其为倒序,输出序列为X(k),其为正序。
18、证明x(n)的IDFT有以下算法
19、设x(n)是一个M点0《n《M-1的有限长序列,其Z变换为
今欲令X(Z)在单位圆上N个等距离点上的采样X(Zk)为
问在(a)N《M
(b)N>M
两种情况下,如何用一个N点FFT算出全部X(Zk)值来。
20、计算实序列的DFT,讨论几种减少计算量的途径。
(a)令x(n)是N点实序列,令X(k)表示其离散傅氏变换,它的实部和虚部分别以XR(k)XI(k)表示,因此,
X(k)=XR(k)+XI(k)
试证明如果x(n)为实序列,则XR(k)为偶序列,XI(k)为奇序列。
即XR(k)=XR((N-k))NRN(k)以及XI(k)=-XI((N-k))NRN(k)
(b)研究两个分别具有DFT变换X1(k)和X2(k)的实序列x1(n)和x2(n),令g(n)是一个复序列,定义g(n)=x1(n)+jx2(n),G(k)为其DFT变换,令GOR(k)、GER(k)、GOI(k)、GBI(k)分别表示G(k)的实部的奇数部分、实部的偶数部分、虚部的奇数部分和虚部的偶数部分。
试利用GOR(k)、GER(k)、GOI(k)、GBI(k)来表示X1(k)和X2(k)。
(c)假设x(n)是一个N点的实序列,且N可以被2整除。
令x1(n)和x2(n)为两个N/2点序列,其定义为
试利用X1(k)和X2(k)求X(k)。
21、Chirp-Z变换算法的一个用途是使频谱的谐振峰变尖。
一般来说,如果我们在Z平面内靠近极点的一条周线上计算序列的Z变幻,则可指望观察到谐振。
在应用Chirp-Z变换算法时,或在计算DFT时,被分析的序列必须是有限时宽的。
否则必须将序列截断。
截断序列的Z变换只有零点(除z=0,z=∞外),而原始变换的序列却有极点。
试证明,在有限时宽序列的变换中仍可以看到谐振型响应。
(a)令x(n)=u(n),画出它的Z变幻的零极点略图。
(b)令
即等于从N点以后截断的x(n),画出的Z变换的极点零点略图。
(c)画出随ω变化的略图,并在图中画出N增加时对的影响。
22、在下列说法中选择正确的结论。
Chirp-Z变换可以用来计算一个有限时宽序列h(n)在Z平面实Z轴上诸点{Zk}的Z变换H(z),使
(a)
(b)
(c)(a)和(b)两者都行。
(d)(a)和(b)两者都不行,即Chirp-Z变换不能计算H(z)在z为实数时的取样。
23、我们希望利用一个单位取样响应长度为50个取样的有限冲击响应滤波器来过滤一串很长的数据。
要求利用重叠保留法通过DFT来实现这种滤波器。
为做到这一点,
(1)输入各段必须重叠v个样值;
(2)必须从每一段产生的输出中取出M个样值,使这些从