1、北京邮电大学数字信号处理习题及答案习 题1.给定 f(t) = rect(t+2) + rect(t-2), 画出下列函数的图形。(a)f(t)(b)g(t) = f(t-1)(c)h(t) = f(t)u(t)(d)f(t/2)2.设 f(t) 是某一函数,a, t0, T 为实常数,证明:(a)(b)(c)3.(a) 如 f(t) F(),证明: (b) 用 (a) 的结果,证明频域卷积定理4.求下图中 f(t) 脉冲的傅氏变换。5.证明(a)(b)6.设,证明脉冲序列的傅氏变换等于 7.(a)证明 (b)若f(t) F(),证明 习 题1.下列系统中,y(n) 表示输出,x(n) 表示输
2、入,试确定输入输出关系是否线性?是否非移变?(a)y(n) = 2x(n) +3(b)y(n) = x2(n)(c) 2.确定下列系统是否因果的?是否稳定的?(a)y(n) = g(n) x(n), g(n) 有界(b) nn0(c)y(n) = x(n-n0)(d)x(n) = an u(n), h(n) = u(n) (e)x(n) = an u(n), h(n) = (1/2) n u(n)3.x(n) 为输入序列, h(n) 为系统的单位取样响应序列,确定输出序列 y(n),(a)如图 p 2.1 (a) 所示(b)如图 p 2.1 (b) 所示(c)如图 p 2.1 (c) 所示4.
3、直接计算卷积和,求序列 的卷积 y(n) = x(n) * h(n) ,并用公式表示它。5.讨论具有下列单位取样响应的线性时域离散非移变系统。 其中 确定其对如下输入序列的稳态响应(n 足够大时的响应)。 x(n) = ncosnu(n)6. 试确定下列序列的傅氏变换。(a) x(n) =0.5(n+1) + 0.5(n-1)(b) x(n) = an u(n) 0a1(c) x(n) = u(n+3) - u(n-4)7. 令 x(n) 和 X(ejw) 表示一个序列及其变换,又假设 x(n) 为实函数和 n1,求 X(n)。(b) 若 |z|1,求 X(n)。13. 有一离散系统如图 P2
4、.3 所示,若 求 y(n)。 图 P2.3 14. (a) 试证明,若 |a| 1 及 x(n) = a|n|,则 (b) 若 xa (t) = e -a|t| 及 x(n) = xa (nT) X(z),求 X(ejT)。15. 若 x(t) 的傅氏变换为 X(j),且 x(t) 在 | /T 内频带受限,试证明: 16. 设兔子的寿命为 10 年且雌雄均等,若初始有两只兔子,每年新生兔子是前一年的两倍,求第 n 年兔子的总数。17. 已知 X(z) = ez + e1/2 (z0),求 x(n)。18. 试确定 F(z) = Z* 是否代表某个序列的 z 变换,阐述理由。19. 令 x(
5、n) 是一因果序列,即 n0 时,x(n) =0,又设 x(n) 0,试证明在 z = 处 X(z) 没有极点和零点。20.研究一线性非移变系统,该系统的输入和输出满足差分方程 从下列各项中选取二个满足上系统的单位取样函数。(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) 21. 试利用 x(n) 的 z 变换求 n2 x(n) 的 z 变换。 习 题1、计算下列有限长序列 x(n) 的 DFT,假设长度为 N,(a)x(n) = (n)(b)x(n)= (n-n0) 0 n0 N(c)x(n) = an 0 n N-12、画出 x1(n) 和 x2(n) 的波形
6、 x1(n)= x(n-2)4R4(n) x2(n)= x(-2)4R4(n)x(n) 的波形如图 P3.1 所示。3、画出如图 P3.2 所示的两个序列的 6 点圆周卷积。 图 P3.2 4、如果 是一个周期为 N 的周期序列,则它也是周期为 2N 的周期序列。把 看作周期为 N 的周期序列,令 表示其 DFS,再把 看作为 2N 的周期序列,再令 表示其 DFS,试利用 确定 。5、若 ,求证:6、已知序列 ,对其 Z 变换在单位园上 N 等分取样,采样值为 ,求有限序列 IDFTX(k)。7、设 是周期为 N 的周期序列,通过系统 H(z) 以后,求证输出序列 为 8、研究两个周期序列
7、和 。的周期为 N,的周期为 M。序列 定义为 (a)试证明 是周期性的,周期为 NM。(b)令 的 DFS 为 ,的 DFS 为 ,试用和 求 。9、x(n) 表示长度为 N 的有限长序列,试证明 10、令 X(k) 表示 N 点序列 x(n) 的 N 点 DFT,试证明(a)如果 x(n) 满足关系式 x(n) = -x(N-1-n), 则 X(0) = 0(b)当 N 为偶数时,如果 x(n) = x(N-1-n),则 11、令 X(k) 表示 N 点序列 x(n) 的 N 点 DFT,X(k) 本身也是一个 N 点序列。如果计算 X(k) 的 DFT 得到一序列 x1(n),试用 x(
8、n) 求 x1(n)。12、长度为 8 的有限序列的 8 点 DFT 为 X(k),如图 P3.3 所示。长度为 16 的一个新序列定义为 试从图 P3.3( b) 的几个图中选出相当于 y(n) 的 16 点 DFT 的略图。 图 P3.3 13、令有一序列 x(n),其长度有限,Z 变换为 X(z)。而 x1(n) 表示长为 N 的有限长序列,其 N 点 DFT 为 X1(k),如果 X(z) 和 X1(k) 有 式中 ,试求 x(n) 和 x1(n) 之间的关系。14、研究两个 nM两种情况下,如何用一个 N 点 FFT 算出全部 X(Zk) 值来。20、计算实序列的 DFT,讨论几种减
9、少计算量的途径。(a)令 x(n) 是 N 点实序列,令 X(k)表示其离散傅氏变换,它的实部和虚部分别以 XR(k) XI(k) 表示,因此, X(k) = XR(k) + XI(k) 试证明如果 x(n) 为实序列,则 XR(k) 为偶序列,XI(k) 为奇序列。即 XR(k) = XR(N-k)NRN(k) 以及XI(k) = -XI(N-k)NRN(k)(b)研究两个分别具有 DFT 变换 X1(k) 和 X2(k) 的实序列 x1(n) 和 x2(n),令 g(n) 是一个复序列,定义 g(n) = x1(n) + jx2(n),G(k) 为其 DFT 变换,令 GOR(k)、GER
10、(k)、GOI(k)、 GBI(k) 分别表示 G(k) 的实部的奇数部分、实部的偶数部分、虚部的奇数部分和虚部的偶数部分。试利用GOR(k)、GER(k)、GOI(k)、 GBI(k) 来表示 X1(k) 和 X2(k)。(c)假设 x(n) 是一个 N 点的实序列,且 N 可以被 2 整除。令 x1(n) 和 x2(n) 为两个 N/2 点序列,其定义为 试利用 X1(k) 和 X2(k) 求 X(k)。21、Chirp-Z 变换算法的一个用途是使频谱的谐振峰变尖。一般来说,如果我们在 Z 平面内靠近极点的一条周线上计算序列的 Z 变幻,则可指望观察到谐振。在应用 Chirp-Z 变换算法
11、时,或在计算 DFT 时,被分析的序列必须是有限时宽的。否则必须将序列截断。截断序列的 Z 变换只有零点(除 z=0,z= 外),而原始变换的序列却有极点。试证明,在有限时宽序列的变换中仍可以看到谐振型响应。(a)令 x(n) = u(n),画出它的 Z 变幻的零极点略图。(b)令 即 等于从 N 点以后截断的 x(n),画出 的 Z 变换 的极点零点略图。(c)画出 随 变化的略图,并在图中画出 N 增加时对 的影响。22、在下列说法中选择正确的结论。Chirp-Z 变换可以用来计算一个有限时宽序列 h(n) 在 Z 平面实 Z 轴上诸点 Zk 的 Z 变换 H(z),使(a)(b)(c)(a)和 (b)两者都行。(d)(a)和 (b) 两者都不行,即 Chirp-Z 变换不能计算 H(z) 在 z 为实数时的取样。23、我们希望利用一个单位取样响应长度为 50 个取样的有限冲击响应滤波器来过滤一串很长的数据。要求利用重叠保留法通过 DFT 来实现这种滤波器。为做到这一点,(1)输入各段必须重叠 v 个样值;(2)必须从每一段产生的输出中取出 M 个样值,使这些从
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