4年级下册思维训练题全Word文件下载.docx

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1＝4个。

因此图中共有18＋10＋4＝32个正方形。

例2.下图中共有多少个三角形？

为了保证不漏数又不重复、我们可以分类来数三角形、然后再把数出的各类三角形的个数相加。

（1）图中共有6个小三角形；

（2）由两个小三角形组合的三角形有3个；

（3）由三个小三角形组合的三角形有4个；

（4）由六个小三角形组合的三角形有1个。

所以共有6＋3＋4＋1＝14个三角形。

练习三

1.下图中共有多少个正方形？

2.下图中共有多少个正方形？

3.下图中共有多少个正方形、多少个三角形？

4.下面图中共有多少个三角形？

第四讲找出数字的排列规律

（一）

找规律是我们在生活、学习、工作中经常使用的一种思想方法、在解数学题时人们也常常使用它、下面我们利用找规律的方法来解一些简单的数列问题。

（一）思路指导

例1.在下面数列的（ 

）中填上适当的数。

1、2、5、10、17、（ 

）、（ 

）、50

分析与解：

这个数列从第二项起、每一项都等于它的前一项依次分别加上单数1、3、5、7、9……、这样我们就可以由第五项算出括号内的数了、即：

第一个括号里应填；

第2个括号里应填。

例2.自1开始、每隔两个整数写出一个整数、这样得到一个数列：

1、4、7、10……问：

第100个数是多少？

第1项是1、第二项比第一项多3、第三项比第一项多2个3、第四项比第一项多3个3、……依次类推、第100项就比第一项多99个3、所以第100个数是。

由此我们可以得出这样的规律：

等差数列的任一项都等于：

第一项＋（这项的项数－1）×

公差

我们把这个公式叫做等差数列的通项公式。

利用通项公式可以求出等差数列的任一项。

练习四

1.找规律填数：

（1）1、3、7、15、______；

（2）l、4、13、40、121、____、____。

2.按规律找出下面两列数里□中应填写的数：

（1）2、6、18、54、□、486、1458；

（2）l、4、9、16、□、36、49

3.看规律填数：

（l）0、3、7、12、______、25、33；

（2）l、2、5、10、17、____、______、50。

4.按规律填数：

（l）2、4、7、11、16、

（2）3、5、9、17、33、65、

5.按每组数的排列规律、填写最后一个数：

（1）2、4、16、256、______；

（2）12、19、33、61、117、______。

6.数列5、8、11、14、17、…的第25项是______、第100项是____。

第五讲找出数的排列规律

（二）

例3.已知一列数：

2、5、8、11、14、……、44、……、问：

44是这列数中的第几个数？

显然这是一个等差数列、首项（第一项）是2、公差是3。

我们观察数列中每一个数的项数与首项2、公差3之间有什么关系？

以首项2为标准、第二项比2多1个3、第三项比首项多2个3、第四项比首项多3个3、……、44比首项2多42、多14个3、所以44应排在这个数列中的第15个数。

由此可得、在等差数列中、每一项的项数都等于：

（这一项－首项）÷

公差＋1

这个公式叫做等差数列的项数公式、利用它可以求出等差数列中任意一项的项数。

试试看：

数列7、11、15、……195、共有多少个数？

练习五

1.按规律填数：

（1）3、5、9、17、______、65。

（2）1、2、4、7、______、16。

2.数列2、9、16、23、30、…、135、…中的135是这列数的第____个数。

3.数列2、4、8、…的第10项是______。

4.数列7、11、15、19、23、…、119、共有______个数。

5.下面一组数是按某种规律排列的、请你仔细观察、找出规律并在横线上填写适当的数：

2、97、1、4、98、3、6、99、5、____、____、7、10、101、____、12、102、11、…。

第六讲数列求和

（一）

若干个数排成一列称为数列。

数列中的每一个数称为一项。

其中第一项称为首项、最后一项称为末项、数列中项的个数称为项数。

从第二项开始、后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列、后项与前项的差称为公差。

通项公式：

第n项＝首项＋（项数－1）×

项数公式：

项数＝（末项－首项）÷

例1.有一个数列：

4、10、16、22、…、52、这个数列共有多少项？

分析与解答：

容易看出这是一个等差数列、公差为6、首项是4、末项是52、要求项数、可直接带入项数公式进行计算。

项数＝（52－4）÷

6＋1＝9、即这个数列共有9项。

例2.有一等差数列：

3、7、11、15、……、这个等差数列的第100项是多少？

这个等差数列的首项是3、公差是4、项数是100。

要求第100项、可根据“末项＝首项＋公差×

（项数－1）”进行计算。

第100项＝3＋4×

（100－1）＝399

练习六

1.等差数列中、首项＝1、末项＝39、公差＝2、这个等差数列共有多少项？

2.有一个等差数列：

2、5、8、11、…、101、这个等差数列共有多少项？

3.已知等差数列11、16、21、26、…、1001、这个等差数列共有多少项？

4.一等差数列、首项＝3、公差＝2、项数＝10、它的末项是多少？

5.求1、4、7、10……这个等差数列的第30项。

第七讲数列求和

（二）

例3.有这样一个数列：

1、2、3、4、…、99、100。

请求出这个数列所有项的和。

如果我们把1、2、3、4、…、99、100与列100、99、…、3、2、1相加、则得到（1＋100）＋（2＋99）＋（3＋98）＋…＋（99＋2）＋（100＋1）、其中每个小括号内的两个数的和都是101、一共有100个101相加、所得的和就是所求数列的和的2倍、再除以2、就是所求数列的和。

1＋2＋3＋…＋99＋100＝（1＋100）×

100÷

2＝5050

上面的数列是一个等差数列、经研究发现、所有的等差数列都可以用下面的公式求和：

等差数列总和＝（首项＋末项）×

项数÷

2

这个公式也叫做等差数列求和公式。

例4.求等差数列2、4、6、…、48、50的和。

这个数列是等差数列、我们可以用公式计算。

要求这一数列的和、首先要求出项数是多少：

公差＋1＝（50－2）÷

2＋1＝25

首项＝2、末项＝50、项数＝25

等差数列的和＝（2＋50）×

25÷

2＝650

练习七

计算下面各题。

1.1＋2＋3＋…＋49＋50

2.6＋7＋8＋…＋74＋75

3.100＋99＋98＋…＋61＋60

4.2＋6＋10＋14＋18＋22

5.5＋10＋15＋20＋…＋195＋200

6.9＋18＋27＋36＋…＋261＋270

第八讲数列求和（三）

例5.计算（2＋4＋6＋…＋100）－（1＋3＋5＋…＋99）

容易发现、被减数与减数都是等差数列的和、因此、可以先分别求出它们各自的和、然后相减。

进一步分析还可以发现、这两个数列其实是把1～100这100个数分成了奇数与偶数两个等差数列、每个数列都有50个项。

因此、我们也可以把这两个数列中的每一项分别对应相减、可得到50个差、再求出所有差的和。

（2＋4＋6＋…＋100）－（1＋3＋5＋…＋99）

＝（2－1）＋（4－3）＋（6－5）＋…＋（100－99）

＝1＋1＋1＋…＋1

＝50

练习八

计算下面各题

1.（2001＋1999＋1997＋1995）－（2000＋1998＋1996＋1994）

2.（2＋4＋6＋…＋2000）－（1＋3＋5＋…＋1999）

3.（2＋4＋6＋…＋1998）－（1＋3＋5＋…＋1997）

4.（1＋3＋5＋…＋999）－（2＋4＋6＋…＋998）

5.（1＋3＋5＋…＋1999）－（2＋4＋6＋…＋1998）

第九讲数阵图

（一）

填“幻方”是同学们比较熟悉的一种数学游戏、由幻方演变出来的数阵问题、也是一类比较常见的填数问题。

这里、和同学们讨论一些数阵的填法。

解答数阵问题通常用两种方法：

一是待定数法、二是试验法。

待定数法就是先用字母（或符号）表示满足条件的数、通过分析、计算来确定这些字母（或符号）应具备的条件、为解答数阵问题提供方向。

试验法就是根据题中所给条件选准突破口、确定填数的可能范围。

把分析推理和试验法结合起来、再由填数的可能情况、确定应填的数。

例1.把5、6、7、8、9五个数分别填入下图的五个方格里、如图a使横行三个数的和与竖行三个数的和都是21。

先把五格方格中的数用字母A、B、C、D、E来表示、根据题意可知：

A＋B＋C＋D＋E＝35、A＋E＋B＋C＋E＋D＝21×

2＝42。

把两式相比较可知、E＝42－35＝7、即中间填7。

然后再根据5＋9＝6＋8便可把五个数填进方格、如图b。

练习九

1.把1～10各数填入“六一”的10个空格里、使在同一直线上的各数的和都是12。

2.把1～9各数填入“七一”的9个空格里、使在同一直线上的各数的和都是13。

3.将1～7七个自然数分别填入图中的圆圈里、使每条线上三个数的和相等。

第十讲数阵图

（二）

例2.将1～10这十个数填入下图小圆中、使每个大圆上六个数的和是30。

设中间两个圆中的数为a、b、则两个大圆的总和是1＋2＋3＋……＋10＋a＋b＝30×

2、即55＋a＋b＝60、a＋b＝5。

在1～10这十个数中1＋4＝5、2＋3＝5。

当a和b是1和4时、每个大圆上另外四个数分别是（2、6、8、9）和（3、5、7、10）；

当a和b是2和3时、每个大圆上另外四个数分别为（1、5、9、10）和（4、6、7、8）。

例3.将1～6这六个数分别填入下图的圆中、使每条直线上三个圆内数的和相等、且最大。

设中间三个圆内的数是a、b、c。

因为计算三条线上的和时、a、b、c都被计算了两次、根据题意可知：

1＋2＋3＋4＋5＋6＋（a＋b＋c）除以3没有余数。

1＋2＋3＋4＋5＋6＝21、21÷

3＝7没有余数、那么a＋b＋c的和除以3也应该没有余数。

在1～6六个数中、只有4＋5＋6的和最大、且除以3没有余数、因此a、b、c分别为4、5、6。

练习十

1.把1～8八个数分别填入下图的○内、使每个大圆上五个○内数的和相等。

2.把1～10这十个数分别填入下图的○内、使每个四边形顶点的○内四个数的和都相等、且和最大。

3.将1～6六个数分别填入下图的○内、使每边上的三个○内数的和相等。

4.将1～9九个数分别填入下图○内、使每边上四个○内数的和都是17。

第十一讲合理安排

我们每天的生活、学习都离不开时间、但是你知道时间有大学问吗？

合理地安排时间、往往会达到事半功倍的效果。

科学地安排时间的方法、就叫做最佳安排。

小朋友在进行最佳安排时、要考虑以下几个问题：

（1）要做哪几件事：

（2）做每件事需要的时间；

（3）要弄清所做事的程序、即先做什么、后做什么、哪些事可以同时做。

在学习、生产和工作中、只有尽可能地节省时间、人力和物力、才能发挥出更大的效率。

例1.明明早晨起来要完成以下几件事情：

洗水壶1分钟、烧开水12分钟、把水灌入水瓶要2分钟、吃早点要8分钟、整理书包2分钟。

应该怎样安排时间最少？

最少要几分钟？

思路导航：

经验表明：

能同时做的事尽量要同时去做、这样节省时间。

水壶不洗、不能烧开水、因而洗水壶不能和烧开水同时进行；

而吃早点和整理书包可以和烧开水同时进行。

这一过程可用方框图表示：

从图上可以看出、洗水壶要1分钟、接着烧开水要12分钟、在等水开的同时吃早点、整理书包、水开了就灌入水瓶、共需15分钟。

练习十一

1.红红早晨起来刷牙洗脸要4分钟、读书要8分钟、烧开水要10分钟、冲牛奶1分钟、吃早饭5分钟。

红红应怎样合理安排？

起床多少分钟就能上学了？

2.玲玲想给客人烧水沏茶。

洗水壶要2分钟、烧开水要12分钟、买茶叶5分钟、洗茶杯要1分钟、冲茶要1分钟。

要让客人尽早喝上茶、你认为最合理的安排需要多少分钟客人就能喝上茶了？

3.用一个平底锅烙饼、锅上只能同时放两个饼。

烙第一面需要2分钟、烙第二面需要1分钟。

现在在烙三个饼、最少需要多少分钟？

4.烤面包的架子上一次最多只能放两个面包、烤一个面包每面需要2分钟、那么烤三个面包最少需要多少分钟？

第十二讲最大与最小

在日常生活中、人们常常会遇到“路程最近”、“费用最省”、“面积最大”、“损耗最少”等问题、这些寻求极端结果或讨论怎样实现这些极端情形的问题、最终都可以归结成为：

在一定范围内求最大值或最小值的问题、我们称这些问题为“最大最小问题”。

解答最大最小问题通常要用下面的方法：

1.枚举比较法。

当题中给定的范围较小时、我们可以将可能出现的情形一一举出再比较；

2.着眼于极端情形、即充分运动已有知识和生活常识、一下子从“极端”情形入手、缩短解题过程。

例1.把1、2、3、…、16分别填进图中16个三角形里、使每边上7个小三角形内数的和相等。

问这个和最大值是多少？

为了方便描述、我们把图中部分三角形注上字母、从图中可以看出：

中心处D中填的数和三条边上的和没有关系、因此、应填最小的数1。

而三个角上的a、b、c六个三角形中的数都被用过两次、所以要尽可能填大数、即填11——16。

然后根据“三角形三边上7个小三角形内数的和相等”这一条件、就可以计算出这个和的最大值了。

（2＋3＋4＋…＋16＋11＋12＋13＋14＋15＋16）÷

3＝72

练习十二

1.将1、2、3、4、5、6六个数分别填入圆圈内、使三角形每条边上的和相等、这个和最大是多少？

2.将5、6、7、8、9、10六个数分别填入圆圈内、使三角形每条边上的和相等、这个和最大是多少？

3.把～8分别填入下图圆圈内、使每个大圆上的五个数的和相等、并且最大。

4.把2～9分别填入下图圆圈内、使每个大圆上的五个数的和相等、并且最大。

第十三讲长方形面积

（一）

我们已经学会了计算长方形、正方形的面积、知道长方形的面积＝长×

宽、正方形的面积＝边长×

边长。

利用这些知识我们能解决许多有关面积的问题。

在解答比较复杂的关于长方形、正方形的面积计算的问题时、生搬硬套公式往往不能奏效、可以添加辅助线或运用割补、转化等解题技巧。

因此、敏锐的观察力和灵活的思维在解题中十分重要。

例1.把一张长为4米、宽为3米的长方形木板、剪成一个面积最大的正方形。

这个正方形木板的面积是多少平方米？

要使剪成的正方形面积最大、就要使它的边长最长（如图）、那么只能选原来的长方形宽为边长、即正方形的边长是3米。

正方形的面积：

3×

3＝9米。

例2.学校里有一个正方形花坛、四周种了一圈绿篱、绿篱总长20米。

花坛的面积是多少平方米？

要求正方形花坛的面积、必须知道花坛的边长是多少。

根据绿篱总长是20米、可求出花坛的边长为20÷

4＝5米、所以花坛的面积是：

5×

5＝25平方米。

练习十三

1.把一张长6厘米、宽4厘米的长方形纸剪成一个面积最大的正方形、这张正方形纸的面积是多少平方厘米？

2.把一块长2米、宽6分米的长方形铁板切割成一个面积最大的正方形、这个正方形铁板的面积是多少？

3.将一张长10厘米、宽8厘米的长方形纸片剪成一个面积最大的正方形、那么剪下的另一个小长方形的面积是多少？

4.一个正方形的周长为36厘米、那么这个正方形的面积是多少平方厘米？

第十四讲长方形面积

（二）

例3.求下面图形的面积。

（单位：

厘米）

这个图形无法直接求出它的面积、我们可以画一条辅助线、将这个图形分割成两个长方形。

如下图：

从图上可以看出、左边长方形的长为4厘米、宽为2厘米、面积为4×

2＝8平方厘米；

右边长方形的长为3厘米、宽为1厘米、面积为3×

1＝3平方厘米。

所以、这个图形的面积为：

8＋3＝11平方厘米。

想一想：

这道题还可以怎样画辅助线、分割后求面积呢？

练习十四

1.运动场有一个正方形的游泳池、在游泳池四周粘上瓷砖、瓷砖总长400米、求游泳池的面积是多少平方米。

2.在公园里有两个花圃、它们的周长相等。

其中长方形花圃长40米、宽20米、求另一个正方形花圃的面积。

3.计算下面图形的面积。