中国经济学年会大会论文投稿Word文件下载.docx
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在正常的市场条件下，给定的置信水平的一个持有时间内某种风险资产的最坏预期损失。
VaR的概念相当简单，目前主要有三种方法度量：
正态分布假定下的方差—协方差方法、历史模拟法（HistoricalSimulation）和蒙特卡罗模拟法（MonteCarloSimulation）。
由于股票日收益率数据的经验分布一般存在尖峰、厚尾和聚集性特征，而且收益率序列的条件方差还可能存在杠杆效应，因此用正态分布假定下的方差—协方差方法和历史模拟法估算VaR存在一定的局限性。
本文依据t分布假定下的GJR模型，以1997年1月2日到2004年7月20日上证指数日收益率为样本数据，应用蒙特卡罗模拟法预测2004年7月21日到2005年1月11日上海股票市场日收益率和持有期收益率的VaR值，并与均值-方差模型和历史模拟方法计算的VaR做了比较，说明基于t分布假定的GJR模型的VaR值对上证综指收益率的风险提供了更精确的度量。
二、VaR计算与GJR模型
（一）VaR计算的基本原理
VaR（ValueatRisk）即“风险价值”，其含义指：
在一定概率水平（置信度）下，某一金融资产或证券组合价值在未来特定时期内的最大可能损失。
如果假设资产或资产组合的初始价值为W0，收益率r的期望值为E（r），给定一定置信水平，则资产组合的VaR可以被定义为资产或资产组合的预期价值与最低价值之差：
（1）
假设初始价值
，上式变为
（2）
根据
（2）式计算的VaR相当于用收益率表示的相对损失，不妨称之为收益率VaR。
根据上述定义，假设收益率r的概率分布为P，只要计算出收益率的期望值
，并用P（r>
r）=1-计算出置信水平下的最小收益率r，就可以计算出收益率VaR。
正态分布的方差-协方差方法假设收益率为正态分布，比如假设收益率r~N（,2t），通过计算标准正态分布的上分位点Z，并根据
求出相应于置信水平a的r，也即：
，从而可以得到
（3）
由于股票收益率样本数据一般具有尖峰、胖尾和聚集性特征，所以简单地运用正态分布的方差—协方差方法计算VaR存在一定的局限性。
历史模拟法从历史数据中随机抽样，形成大量的收益率序列样本路径，然后根据样本数据的经验分布计算VaR。
如果采用均匀分布随机抽样，历史模拟方法也不能准确刻画收益率数据的独特特征。
蒙特卡罗模拟法通过估计收益率序列随机模型的参数，然后利用随机模拟方法得到大量的收益率序列样本路径，并依照模拟数据的经验分布计算VaR。
因此，蒙特卡罗模拟法能更充分地吸收历史数据的概率分布特征，在一定程度上克服正态分布假设的局限性。
自从Engle（1982）提出ARCH模型分析时间序列的异方差性以后，Bollerslev（1986）又提出了GARCH模型，在随后的时间里各种ARCH模型和GARCH模型在金融领域得到广泛的应用，Bollerslev,RayandKenneth（1992）集中探讨了各种异方差模型。
本文依据样本数据的特征确定更精确的模型参数以后，应用蒙特卡罗模拟法预测未来收益率的路径，然后计算VaR值。
（二）GARCH和GJR模型
一般的GARCH模型可以表示为：
（4）
（5）
（6）
其中ht为条件方差，
为独立同分布的随机变量，
与
互相独立，
为标准正态分布。
（4）式称为条件均值方程；
（6）式称为条件方差方程，说明时间序列条件方差的变化特征。
为了适应收益率序列经验分布的尖峰厚尾特征，也可假设
服从其他分布，如Bollerslev（1987）假设收益率服从广义t-分布，Nelson（1991）提出的EGARCH模型采用了GED分布等。
另外，许多实证研究表明收益率分布不但存在尖峰厚尾特性，而且收益率残差对收益率的影响还存在非对称性。
当市场受到负冲击时，股价下跌，收益率的条件方差扩大，导致股价和收益率的波动性更大；
反之，股价上升时，波动性减小。
股价下跌导致公司的股票价值下降，如果假设公司债务不变，则公司的财务杠杆上升，持有股票的风险提高。
因此负冲击对条件方差的这种影响又被称作杠杆效应。
由于GARCH模型中，正的和负的冲击对条件方差的影响是对称的，因此GARCH模型不能刻画收益率条件方差波动的非对称性。
为了衡量收益率波动的非对称性，Glosten、Jagannathan与Runkel（1989）提出了GJR模型，在条件方差方程（6）中加入负冲击的杠杆效应，但仍采用正态分布假设。
Nelson（1991）提出了EGARCH模型。
Engle等（1993）利用信息反应曲线分析比较了各种模型的杠杆效应，认为GJR模型最好地刻画了收益率的杠杆效应。
Glosten、Jagannathan与Runkel（1993）分析比较了各种GARCH-M模型，指出不同的模型设定会导致条件方差对收益率产生正或负的不同影响，因此本文暂不考虑GARCH-M模型，而是采用收益率服从广义t-分布的单变量GJR模型：
（7）
（8）
（9）
其中
（10）
（11）
公式（9）中的
即为杠杆系数，如果
，说明负的信息冲击（
）提高了收益率的波动性，即存在杠杆效应。
假设
服从自由度为
的标准t-分布，密度函数为
（12）
，
为
函数。
则根据（8）式，
、方差为
的广义t-分布（参见附录的推导）：
（13）
采用最大似然法估计GJR模型的参数，以前m个观察值为初始条件的样本对数似然函数为
（14）
根据下式进行迭代计算：
（15）
（16）
采用数值计算方法可以估算出模型参数。
三、上证指数的GJR模型
（一）数据的基本特征
以上证综指为原始数据。
从1990年12月19日到2005年1月11日，排除节假日休市日期，上交所共有3460个交易日，收益率数据有3459个样本点。
采用连续复利的自然对数方法计算日收益率：
（17）
中国股市具有极其明显的“政策市”特征，尤其在20世纪90年代初期，收益率波动幅度很大。
1992年5月21日收益率最高达71.9%，1995年5月23日收益率最低跌到-17.9%，从1990年12月20日到2005年1月11日上证指数收益率均值为0.073%，标准差为0.0278。
如果将超过3倍标准差的样本点视为异常值，则整个样本区间中存在60个异常值（图1），这些异常收益率的绝对值都超过了8.345%。
从1996年12月16日开始实行T+1和涨跌停板限制以后，波动幅度下降。
从该日至2003年11月7日期间，只有5个交易日收益率超过了3倍标准差，这些日期存在一些特殊的事件冲击。
因此我们取样从1997年开始。
为了保留2004年7月21日到2005年1月11日共120个交易日的数据用作模拟比较，用于模型参数估计的样本数据包括1997年1月2日到2004年7月20日共1815个交易日的收益率数据。
图
（1）上证指数及其收益率序列（上图中的竖直线表示异常值的对应日期）
样本数据峰度为9.165，超过正态分布的峰度（图2）。
在5%显著性水平，进一步对收益率序列正态分布假设进行Lilliefors、Cramer-vonMises、Watson和Anderson-Darling检验，各统计量均显著拒绝正态分布的零假设（见表1）。
表1对收益率序列经验分布的正态检验（零假设：
收益率序列为正态分布）
检验方法
渐进分布统计量
有限样本调整统计量
接受零假设的概率
Lilliefors（D）
0.077126
NA
0.0000
Cramer-vonMises（W2）
4.273972
4.275157
Watson（U2）
4.273802
4.274987
Anderson-Darling（A2）
25.02674
25.03716
假设收益率服从广义t-分布：
用最大似然法估计出收益率广义t分布参数为：
位置参数
，规模参数
，自由度
。
从图示可以看出，与正态分布拟合曲线相比，日收益率数据存在尖峰胖尾，但用广义t-分布可以很好地拟合日收益率。
最后，利用Archtest检验方法对样本数据进行自相关检验，说明收益率以及收益率平方序列均存在明显的自相关（见表2）。
图
（2）1997年1月1日到2004年7月20日上证指数日收益率的统计特征
表2上证指数收益率自相关检验（archtest检验）
PanelA收益率序列（archtest检验）
H0:
不存在序列相关;
H1:
存在序列相关
滞后期
ARCH-统计量
临界值
10
1
122.42
18.31
15
134.07
25.00
20
136.01
31.41
PanelB上证指数收益率平方序列自相关检验（archtest检验）
存在序列相关
0.0024
27.21
0.0069
31.79
0.0452
31.83
（二）模型参数估计
以上分析表明，广义t分布比正态分布能更好地拟合日收益率数据，而且收益率序列以及收益率平方序列存在明显的自相关，因此采用正态协方差方法计算VaR必然存在偏差，以下我们采用t分布的GJR模型来拟合上证指数日收益率，然后采用MonteCarlo模拟方法计算VaR。
用GJR（k，s）表示条件均值方程（7）中的R=k，M=s；
同时表示条件方差方程（9）中的P=k，Q=s。
分别估计不同阶数的模型，计算出各自的AIC和BIC进行比较。
GJR（1，1）的AIC比GJR（2，1）和GJR（1，2）的AIC都小，虽然GJR（2，2）的AIC比GJR（1，1）的AIC还小，但GJR（1，1）的BIC最小（表3），由于BIC准则倾向于选择参数数量较少的模型，因此我们根据BIC准则选择GJR（1，1）模型，即均值方程和方差方程的滞后阶数都选择为滞后1次。
表3上证指数收益率GJR模型选择
GJR（1,1）
GJR（2,1）
GJR（1,2）
GJR（2,2）
AIC
-10588.933158
-10585.762409
-10583.963264
-10590.844254
BIC
-10544.902432
-10530.724001
-10523.421016
-10519.294325
估计出的GJR（1,1）模型参数和t统计量为：
（18）
估计出的各项参数符合条件（11），除了均值方程中的常数项不显著外，其他各项系数均显著不等于零。
杠杆系数为0.152，表明上证指数存在显著的杠杆效应，即负冲击（利空消息）比正的利多消息导致收益率更大的波动。
图（3）的信息反应曲线清楚地显示了正负冲击对波动性的不对称影响。
图（3）GJR（1,1）模型产生的杠杆效应
模型拟合收益率和残差见图（4），对模型残差的自相关检验表明模型残差和残差平方序列不存在自相关。
（见表4）
图（4）GJR（1,1）模型拟合收益率和残差图示
表4GJR（1，1）模型残差自相关检验
PanelA残差序列自相关检验（archtest检验）
0.9042
4.80
0.9830
5.79
0.9840
8.90
PanelB残差平方序列自相关检验（archtest检验）
1.0000
0.12
0.16
0.19
四、用MonteCarlo模拟方法得到收益率分布
根据估计出的GJR（1,1）模型，用模拟t分布的随机数字发生器产生随机数进行蒙特卡罗模拟，得到收益率未来120天的6000条路径。
由于存在涨跌停板限制，剔除其中收益率超过正负10%的581条路径，得到符合条件的5419条路径。
图（5）选取了第120天的日收益率，用最大似然法估计t分布的参数，位置参数
与图
（2）的结果比较，模拟的日收益率分布图与上证指数的日收益率分布十分接近。
图（5）GJR模型模拟的第120天日收益率统计特征
五、VaR模拟结果比较和实用意义
截取模拟出的未来120天每天的5419个数据，在设定的显著性水平下，分析其经验累积概率分布，即可根据
（2）式计算出每日收益率的VaR。
将日收益率求和得到持有期收益率，用类似方法可以计算持有期收益率的VaR。
同时对样本数据采用正态-协方差方法和历史模拟方法计算出120个交易日的每日收益率VaR以及持有期收益率VaR，以便比较。
假设收益率序列服从独立正态同分布，估计出1997年1月2日到2004年7月5日共1804个交易日的收益率样本均值和方差，在设定的显著性水平下，根据（3）式计算日收益率VaR和持有期收益率。
历史模拟方法是对前期的历史收益率样本进行随机抽样，形成模拟的收益率。
样本数据同上，采用均匀分布的随机抽样，产生5419条为期120天的路径，根据每天收益率的频率分布情况，在设定的显著性水平下，根据
（2）式计算收益率的VaR值。
由于模拟得到的收益率序列具有不同的频率分布，如果选择不同的显著性水平，将得到不同的分位点和VaR值。
我们以三种方法得到的第120日模拟收益率为例，在不同的显著性水平下，分别测算模拟收益率的VaR值。
结果显示（参见图（6）），以2.4%显著性水平为临界点，当显著性水平低于2.4%时，正态协方差方法的VaR绝对值低于GJR模型的模拟结果；
当显著性水平高于2.4%时，正态协方差方法的VaR绝对值大于GJR模型的模拟结果。
在5%显著性水平下，正态协方差方法的VaR绝对值存在明显高估。
图（6）第120天日收益率在不同显著性水平下的VaR值比较
在实际应用中，通常设定5%的显著性水平，以下我们具体分析在5%显著性水平下三种方法的VaR差异。
设定5%的显著性水平，将三种方法计算所得的未来120天的VaR和实际收益率列示于图（7）和图（8）进行比较。
2004年7月21日到2005年1月11日总共120个交易日，上证指数日收益率最低为-3.96%。
在5%显著性水平下，GJR模型模拟计算的日收益率VaR最大值为-2.29%。
实际收益率四次击穿GJR模型模拟计算的VaR，两次击穿正态协方差方法和历史模拟方法计算的VaR，但是，三种计算方法中，根据GJR（1,1）模型应用MonteCarlo模拟计算的VaR绝对值最低，最接近多数情况的实际收益率。
从计算的持有期收益率和VaR更容易看出，根据GJR（1,1）模型应用MonteCarlo模拟计算的持有期收益率VaR与实际收益率更接近。
以30天持有期收益率VaR为例（表6），正态协方差方法估计的30天持有期收益率的VaR为13.96%，根据GJR（1,1）模型应用MonteCarlo模拟计算的VaR为12.1%，后者比正态协方差方法估计的VaR绝对值低13.3%。
因此，在5%显著性水平，正态协方差方法和历史模拟法对上证综指日收益率和持有期收益率的VaR值存在一定程度的高估。
这一结果具有重要的实用价值。
对于一个大型的投资组合而言，如果其目标是复制上证指数，而且依据95%置信水平的VaR值控制投资组合的风险，那么根据GJR模型采用MonteCarlo模拟方法计算VaR值，将比正态协方差方法和历史模拟方法节约风险控制的对冲头寸。
图（7）120个交易日上证指数日收益率和三种VaR模拟结果比较
图（8）120个交易日上证指数累积收益率和VaR模拟结果比较
表5各模型模拟未来日收益率VaR的比较
VaR最小值
（%）
VaR最大值
收益率低于
VaR的百分比
收益率大于
收益率击穿
VaR的次数
正态模拟
-2.464
-2.655
1.667
98.333
2
历史模拟
-2.193
-2.454
GJR模型
-1.887
-2.297
3.333
96.667
4
表6各模型模拟未来持有期收益率均值（%）和VaR（%）的比较
30天
60天
90天
均值
VaR
正态模型
+0.814
-13.962
+1.548
-19.745
+2.187
-24.183
+0.947
-14.084
+1.684
-19.096
+2.444
-23.301
+0.172
-12.105
+0.639
-17.768
+0.845
-21.986
GJR（1，1）模型模拟持有期收益率均值和VaR与正态模型模拟结果比较
-78.852
-13.301
-58.721
-10.015
-61.352
-9.084
GJR（1，1）模型模拟持有期收益率和VaR与历史模拟结果比较
-81.814
-14.050
-62.055
-6.955
-65.413
-5.645
六、结论
本文检验了上证综指日收益率的频率分布，比较了日收益率的正态分布和广义t分布的拟合情况，并检验了日收益率的异方差性；
阐述了基于广义t分布的GJR模型的估计方法，并估计了上证综指GJR模型的参数；
在此基础上，分别采用正态协方差方法、历史模拟法和基于GJR模型的MonteCarlo模拟法计算出未来日收益率的VaR值，分析计量结果，得出了一些实证性结论。
首先，在5%显著性水平，多项正态性检验拒绝上证综指日收益率服从正态分布的零假设。
事实上，与正态分布相比，上证综指日收益率的经验分布存在尖峰厚尾。
广义t分布可以更好地拟合其经验分布，而且日收益率具有异方差性。
其次，由于正态模型未能真实反映上证综指日回报分布的尖峰厚尾特性，不能精确衡量岁收益率的风险。
在低于临界点的显著性水平下，正态协方差方法低估VaR风险值；
而在高于临界点的显著性水平下，比如在通常的5%显著性水平下，正态协方差方法高估VaR风险值。
对于从事资产管理业务的金融机构来说，低估风险虽然可能暂时节约了风险对冲头寸，降低资本成本，但可能产生严重的后果；
高估风险则提高资本成本，降低盈利能力。
而t分布假定下GJR模型不但反映了收益率数据尖峰厚尾的分布特征，而且刻画了收益率序列的条件异方差性和杠杆效应特征，为大型投资组合的风险控制提供了更精确的风险度量结果。
在正常的5%显著性水平下，根据GJR模型用MonteCarlo方法模拟计算出的VaR绝对值明显小于正态假设下方差—协
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