向量代数与空间解析几何.docx

向量代数与空间解析几何.docx

《向量代数与空间解析几何.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《向量代数与空间解析几何.docx（13页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

向量代数与空间解析几何

第五章向量代数与空间解析几何

这一章在卷面上一般只有4-6分，往往是一个选择题，两个填空题或者是两个选择题，一个填空题。

下面我们就把考试中最易出现的考点给大家小结一下.

一.向量的数量积与向量积

首先要清楚两种积的定义及常用的运算法则，如：

例1.设求.

解：

例2.设，且∥，求

解：

由于∥，因此有

解得，

例3.求垂直于与的单位向量.

解：

由向量积的定义可知，向量是既垂直于又垂直于的向量，因此所求单位向量即为

因此为所求单位向量.

例4.求以为顶点的的面积.

解：

其中.

二.两向量间关系的判定

要知道两向量间位置关系的判定方法，即

⊥∥对应分量成比例.

例5.判定下列各组向量间的关系

（1）

（2）

（3）

解：

（1）注意两个向量对应分量之间的比例关系可知，∥;

（2）所给两向量的对应分量不成比例，故不平行。

再考虑，故⊥;

（3）所给两向量的对应分量不成比例，故不平行；而，故也不垂直于.

例6.设且⊥，求.

解：

由于

故

例7.试确定常数，使得满足

（1）为锐角；

（2）为钝角；（3）垂直；（4）同向.

解：

（1）由于

（1）当即时，为锐角；

（2）当即时，为钝角；

（3）当即时，⊥；

（4）当，即此时，与同向;

（5）当，即此时，∥.

例8.问为何值时，以与为邻边的平行四边形的面积为6.

解：

由于

故

故

例9.已知向量同时垂直于，求值.

解：

同时垂直于，则∥。

又

∥

三.平面方程

要熟知平面有三种形式的方程，即：

（1）点、法式方程

假设平面过点且和非零向量垂直，则其方程。

称为平面的法线向量，简

称法向量，下面举一个例子.

例10.求过三点的平面方程.

解：

由于，

取

所以，据平面的点法式方程，（代入）得：

，即

问题：

若取可以吗？

；若代入方程的形式一样吗？

（2）平面的一般式方程

.

注意到任给一个三元方程---

（2），（A,B,C不全为零），它一

定表示一张平面.

注意：

特殊位置平面的方程特点：

（1）（D=0,平面过原点）；

（2）（A=0,平面平行于轴）；

（3）（B=0,平面平行于轴）；

（4）（C=0,平面平行于轴）；

（5）（A=B=0,平面平行于平面）.

例11.求过轴及点的平面方程.

解：

取，所以，据平面的点法式方程，（代入）得：

例12.设平面与三个坐标轴的交点分别为，求的方程.

解：

取，所以，据平面的点法式方程

，（4）

方程（4）两端同除以abc，并整理，得：

，这就是平面的第三种形式的方程，即截距式方程.

专升本经常考察两平面间的位置关系，先回顾一下判断依据

设有两平面

（1）相交（设的夹角为）

；

（2）平行；

（3）垂直；

（4）重合

例13.一平面过两点且垂直于平面求其方程.

解：

设所求平面的法向量为.据已知，，

故可取.所以，据平面的点法式方程，（代入）得：

记住一个重要公式：

点到平面的距离公式

点到-的距离为

.

不用举例子，同学们自己看在辅导书上找例子.

四.空间直线及其方程

要熟知空间直线三种形式的方程：

（1）点、向式方程

假设空间直线过点且和非零向量平行，则其方程为

（1）

注意：

（a）其实，方程

（1）是一个方程组，它应该这样来理解：

L：

，即L是两平面之交线.

（b）称

（1）为直线的点、向式方程。

称为直线L的方向向量，简称方向；m,n,p叫做直线L的方向数.

（c）要注意到直线L的方向有无数多个，但直线的化简后方程是唯一的，为什么？

特别地，的方向余弦也是的一组方向数.

（d）又称

（1）式为直线的标准式或对称式方程.

（e）要求m,n,p不全为零，但可以部分为零.如：

m=0,这时方程

（1）变为：

----

（2）

（2）式应该理解为：

；

又如：

m=n=0,这时，

（1）式变为：

---（3）

（3）式应该理解为：

例14．求过两点的直线方程.

解：

由于，

取

所以，据直线的点向式方程，（代入）得：

问：

如果代入的是，方程是否会有所不同？

例15．求过点且通过直线的平面的方程.

解：

在直线上取一点，可取，

所以，据平面的点法式方程：

。

（2）．直线的参数式方程

设有，令

则有：

-------（4）

称（4）式为直线L的参数式方程，其中t称为参数.

注意：

在直线的参数式方程中，参数的系数是直线的方向数，而常数项则为直

线上点的坐标。

（3）．直线的一般式方程.

空间直线L可看作是过直线L的两个不平行平面

的交线.

称-----（5）为直线L的一般式方程.

注意：

直线的三种形式的方程之间可以互相转化.

例16．将直线L的一般式方程

化为标准式及参数式方程.

解：

在直线L上任取一点，可取，

故所以，据直线的点向式方程，（代入）得：

参数方程为：

例17．已知直线的方程为：

和平面，

求直线与平面的交点.

解：

化L为参数式方程：

，代入平面方程，得：

t=-1.故：

所以，交点坐标为.

经常考核两直线间的位置关系

设有两直线

（1）相交（规定两直线的夹角为两直线的方向所夹的锐角.设的夹角为）

-

（2）平行；

（3）垂直

（4）重合，且有交点.

例18．求过点且与两平面

的交线平行的直线的方程.

解：

可取，所以直线的方程为：

五．空间直线与平面之间的关系

设有及，

记，.

（1）相交：

当直线L与平面垂直时，规定直线与平面的夹角为

当直线L与平面不垂直时，规定直线和它在平面内的投影直线间的夹角为直线与平面的夹角.

---（7）；

（2）垂直；

（3）平行;

（4）直线在平面内，且有交点.

六.平面束方程

设，则称过L的所有平面为平面束，它的方程为：

（）-----（8）

注意：

无论取何值，平面束方程即（8）式不能表示平面本身.

例19.求在平面上的投影直线的方程.

解：

过直线L的平面束方程为：

记。

令.

所以，过L的且与平面垂直的平面的方程为：

即，

故所求投影直线的一般式方程为：

七.点到直线的距离公式

点到的距离为中，M是直线上任取的一点，为直线的方向.

例20.求点到的距离.

解：

在直线上任取一点，则，，

由公式（9），点到的距离为

注意：

更一般的作法是：

先作过点且以为法向量的平面；再联立的点法式方程和直线L的方程，求直线L与平面的交点；最后，，请同学们自己实现这种做法.

八.旋转曲面

（一）.圆锥面

（1）定义：

动直线饶另一条与相交的定直线L旋转一周，所得曲面叫做

圆锥面.（如图）

（2）方程：

顶点在原点，定直线L为Z轴，半顶角为的圆锥面

的方程为（其中，.

注意：

称为上圆锥面；称为下圆锥面.

（二）一般旋转曲面

（1）定义：

一条平面曲线绕同一平面内一条定直线旋转一周所生成曲面称为旋转曲面.

（2）设平面曲线绕Z轴旋转生成旋转曲面为

例21．求将双曲线

分别绕x轴及Z轴旋转，所生成的旋转曲面又是什么？

解：

（1）；

（2）

例22，下列方程所表示的曲面，哪些是旋转曲面？

它们是怎么产生的？

（1）；

（2）；

（3）

解：

（1）、

（2）不是.

（3）是，由绕Y轴旋转生成；或者由

绕Y轴旋转生成.

九.常见简单的曲面

（一）球面：

，

其中，称为球面的球心，R称为半径.

例23.方程表示什么曲面？

解：

原方程经配方后，得：

为球面；

问题：

如果曲线绕x轴旋转，所生成的旋转曲面又是什么？

（二）柱面

（1）.定义：

一动直线绕定曲线L平行于某一条定直线L移动所生成的曲称

为柱面.其中，称C为柱面的准线；L称为柱面的母线.

例24.画出的图形.

例25.画出的图形.

例26.画出的图形

（三）二次曲面

椭球面

椭圆抛物面同号）

单叶双曲面

.双叶双曲面

双曲抛物面（俗称“马鞍面”）同号）

例27。

方程所表示的二次曲面是

椭球面；柱面；圆锥面；抛物面面。

例28。

指出下列方程所表示的曲面

（1）（球面）

（2）（圆柱面）

（3）（两张垂直于轴的平行平面）

（4）（轴）

（5）；（表示两张过轴的直交平面）

（6）（椭圆柱面）

（7）；（表示面上双曲线绕轴旋转的单叶双曲面）

（8）；（表示面上双曲线绕轴旋转的双叶双曲面）

（9）；（表示以轴为对称轴的双曲抛物面，即马鞍面）