届江苏省南京市盐城市高三第二次模拟考试 数学文word版Word文档下载推荐.docx

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＝4.若AD＝，则·

的值为________．

13.已知函数f（x）＝设g（x）＝kx＋1，且函数y＝f（x）－g（x）的图象经过四个象限，则实数k的取值范围是________．

14.在△ABC中，若sinC＝2cosAcosB，则cos2A＋cos2B的最大值为________．

二、解答题：

本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15.（本小题满分14分）

设向量a＝（cosα，λsinα），b＝（cosβ，sinβ），其中λ>

α<

β<

，且a＋b与a－b互相垂直．

（1）求实数λ的值；

（2）若a·

b＝，且tanβ＝2，求tanα的值．

16.（本小题满分14分）

如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AC，A1C⊥BC1，AB1⊥BC1，D，E分别是AB1和BC的中点．求证：

（1）DE∥平面ACC1A1；

（2）AE⊥平面BCC1B1.

17.（本小题满分14分）

某公园内有一块以O为圆心，半径为20米的圆形区域．为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：

如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形OAB区域，其中两个端点A，B分别在圆周上；

观众席为梯形ABQP内且在圆O外的区域，其中AP＝AB＝BQ，∠PAB＝∠QBA＝120°

，且AB，PQ在点O的同侧．为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台O处的距离都不超过60米．设∠OAB＝α，α∈（0，）．问：

对于任意α，上述设计方案是否均能符合要求？

18.（本小题满分16分）

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：

＋＝1（a>

b>

0）的离心率为，且椭圆C短轴的一个顶点到一个焦点的距离等于.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设经过点P（2，0）的直线l交椭圆C于A，B两点，点Q（m，0）．

①若对任意直线l总存在点Q，使得QA＝QB，求实数m的取值范围；

②设F为椭圆C的左焦点，若点Q为△FAB的外心，求实数m的值．

19.（本小题满分16分）

已知函数f（x）＝lnx－，a>

0.

（1）当a＝2时，求函数f（x）的图象在x＝1处的切线方程；

（2）若对任意x∈[1，＋∞），不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；

（3）若函数f（x）存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求实数a的取值范围．

20.（本小题满分16分）

已知数列{an}各项均为正数，且对任意n∈N*，都有（a1a2…an）2＝aa.

（1）若a1，2a2，3a3成等差数列，求的值；

（2）①求证：

数列{an}为等比数列；

②若对任意n∈N*，都有a1＋a2＋…＋an≤2n－1，求数列{an}的公比q的取值范围．

2019届高三年级第二次模拟考试（南京、盐城）

数学参考答案

1.{x|1<

4}　2.－2　3.18　4.16　5.　6.－4　7.y＝±

x　8.　9.4＋4

10.（－2，3）　11.±

　12.2　13.

14.

15.

（1）由a＋b与a－b互相垂直，可得（a＋b）·

（a－b）＝a2－b2＝0，

所以cos2α＋λ2sin2α－1＝0.（2分）

又因为sin2α＋cos2α＝1，

所以（λ2－1）sin2α＝0.（4分）

因为0<

，所以sin2α≠0，所以λ2－1＝0.

又因为λ>

0，所以λ＝1.（6分）

（2）由

（1）知a＝（cosα，sinα）．

由a·

b＝，得cosαcosβ＋sinαsinβ＝，

即cos（α－β）＝.（8分）

，所以－<

α－β<

0，

所以sin（α－β）＝－＝－.（10分）

所以tan（α－β）＝＝－，（12分）

因此tanα＝tan（α－β＋β）＝＝.（14分）

16.

（1）连结A1B，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1∥BB1且AA1＝BB1，

所以四边形AA1B1B是平行四边形．

又因为D是AB1的中点，

所以D也是BA1的中点．（2分）

在△BA1C中，D和E分别是BA1和BC的中点，所以DE∥A1C.

又因为DE平面ACC1A1，A1C平面ACC1A1，

所以DE∥平面ACC1A1.（6分）

（2）由

（1）知DE∥A1C，因为A1C⊥BC1，

所以BC1⊥DE.（8分）

又因为BC1⊥AB1，AB1∩DE＝D，AB1，DE平面ADE，所以BC1⊥平面ADE.

又因为AE平面ADE，所以AE⊥BC1.（10分）

在△ABC中，AB＝AC，E是BC的中点，

所以AE⊥BC.（12分）

因为AE⊥BC1，AE⊥BC，BC1∩BC＝B，

BC1，BC平面BCC1B1，

所以AE⊥平面BCC1B1.（14分）

17.过点O作OH垂直于AB，垂足为H.

在直角三角形OHA中，OA＝20，∠OAH＝α，

所以AH＝20cosα，因此AB＝2AH＝40cosα.（4分）

由图可知，点P处的观众离点O最远．（5分）

在三角形OAP中，由余弦定理可知

OP2＝OA2＋AP2－2OA·

AP·

cos（7分）

＝400＋（40cosα）2－2×

20×

40cosα·

（－cosα－sinα）

＝400（6cos2α＋2sinαcosα＋1）

＝400（3cos2α＋sin2α＋4）

＝800sin＋1600.（10分）

因为α∈，所以当2α＝，即α＝时，

（OP2）max＝800＋1600，

即OPmax＝20＋20.（12分）

因为20＋20<

60，所以观众席内每一个观众到舞台O处的距离都不超过60米．（13分）

故对于任意α，上述设计方案均能符合要求．（14分）

18.

（1）依题意得解得

所以b2＝a2－c2＝1，

所以椭圆C的方程为＋y2＝1.（2分）

（2）解法一：

设直线的方程为y＝k（x－2），

代入椭圆C的方程，消去y，得（1＋2k2）x2－8k2x＋8k2－2＝0.

因为直线l交椭圆C于两点，

所以Δ＝（－8k2）2－4（1＋2k2）（8k2－2）>

解得－<

k<

.（4分）

设点A（x1，y1），B（x2，y2），

则x1＋x2＝，x1x2＝.

①设AB的中点为M（x0，y0），

则x0＝＝，y0＝k（x0－2）＝－.（6分）

当k≠0时，因为QA＝QB，所以QM⊥l，

即kQM·

k＝·

k＝－1.

解得m＝.（8分）

当k＝0时，可得m＝0，符合m＝.

因此m＝.

由0≤k2＝<

，解得0≤m<

.（10分）

②因为点Q为△FAB的外心，且点F（－1，0），

所以QA＝QB＝QF.

由（12分）

消去y，得x2－4mx－4m＝0，

所以x1，x2也是此方程的两个根，

所以x1＋x2＝4m，x1x2＝－4m.（14分）

又因为x1＋x2＝，x1x2＝，

所以＝－，解得k2＝，

所以m＝＝.（16分）

解法二：

①设点A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点为M（x0，y0）．

依题意两式作差，

得×

＝－（x0≠0）．

又因为＝kAB＝，

所以y＝－x0（x0－2）．

当x0＝0时，y0＝0，

符合y＝－x0（x0－2）．（ⅰ）（4分）

又因为QA＝QB，所以QM⊥l，

所以（x0－m）（x0－2）＋（y0－0）（y0－0）＝0，

即y＝－（x0－m）（x0－2）．（ⅱ）（6分）

由（ⅰ）（ⅱ），解得x0＝2m，

因此y＝2m－2m2.（8分）

因为直线l与椭圆C相交，所以点M在椭圆C内，

所以＋（2m－2m2）<

1，解得m<

.

又y＝2m－2m2≥0，所以0≤m≤1.

综上，实数m的取值范围是.（10分）

由消去y，

得x2－4mx－4m＝0.（ⅲ）（12分）

当y0≠0时，则直线l为y＝－（x－2），代入椭圆的方程，

得（2y＋x）x2－4xx＋4x－4y＝0.

将（ⅰ）代入上式化简得x2－2x0x＋3x0－2＝0.（ⅳ）

当y0＝0时，此时x0＝0，x1＝－，x2＝也满足上式．（14分）

由①可知m＝，代入（ⅲ）化简得x2－2x0x－2x0＝0.（ⅴ）

因为（ⅳ）（ⅴ）是同一个方程，

所以3x0－2＝－2x0，解得x0＝，

19.

（1）当a＝2时，f（x）＝lnx－，f′（x）＝－，则f′

（1）＝.

又因为f

（1）＝0，所以函数f（x）的图象在x＝1处的切线方程为y＝（x－1），

即x－2y－1＝0.（2分）

（2）因为f（x）＝lnx－，

所以f′（x）＝－

＝＝，（4分）

且f

（1）＝0.因为a>

0，所以1－2a<

1.

①当4a2－4a≥0，即a≥1时，

因为f′（x）>

0在区间（1，＋∞）上恒成立，

所以函数f（x）在区间（1，＋∞）上单调递增．

当x∈[1，＋∞）时，f（x）≥f

（1）＝0，

所以a≥1满足条件．（6分）

②当4a2－4a<

0，即0<

a<

1时，

由f′（x）＝0，得x1＝1－2∈（0，1），

x2＝1＋2∈（1，＋∞），

当x∈（1，x2）时，f′（x）<

则函数f（x）在区间（1，x2）上单调递减，

所以当x∈（1，x2）时，f（x）<

f

（1）＝0，这与x∈[1，＋∞）时，f（x）≥0恒成立矛盾，

所以0<

1不满足条件．

综上，实数a的取值范围为[1，＋∞）．（8分）

（3）①当a≥1时，

因为函数f′（x）≥0在区间（0，＋∞）上恒成立，

所以函数f（x）在区间（0，＋∞）上单调递增，

所以函数f（x）不存在极值，

所以a≥1不满足条件；

（9分）

②当<

1时，1－2a<

所以函数f（x）的定义域为（0，＋∞），

x2＝1＋2∈（1，＋∞）．

列表如下：

由于函数f（x）在区间（x1，x2）是单调减函数，此时极大值大于极小值，不合题意，

所以<

1不满足条件．（11分）

③当a＝时，由f′（x）＝0，得x＝2.

此时函数f（x）仅存在极小值，不合题意，

所以a＝不满足条件．（12分）

④当0<

时，函数f（x）的定义域为（0，1－2a）∪（1－2a，＋∞），

且0<

x1＝1－2<

1－2a，

x2＝1＋2>

1－2a.

所以函数f（x）存在极大值f（x1）和极小值f（x2），（14分）

此时f（x1）－f（x2）＝lnx1－－lnx2＋＝ln－.

x1<

1－2a<

x2，

所以ln<

0，x1－x2<

0，x1－1＋2a<

0，x2－1＋2a>

所以f（x1）－f（x2）<

0，即f（x1）<

f（x2），

满足条件．

综上，实数a的取值范围为.（16分）

20.

（1）因为（a1a2）2＝aa3，所以a＝a1a3，

因此a1，a2，a3成等比数列．（2分）

设公比为t，因为a1，2a2，3a3成等差数列，

所以4a2＝a1＋3a3，即4×

＝1＋3×

，

于是4t＝1＋3t2，解得t＝1或t＝，

所以＝1或.（4分）

（2）①因为（a1a2…an）2＝aa，

所以（a1a2…anan＋1）2＝aa，

两式相除得a＝a1·

即a＝a1a，（*）（6分）

由（*），得a＝a1a，（**）

（*）（**）两式相除得＝，

即a＝aa，

所以a＝an＋1an＋3，

即a＝anan＋2，n≥2，n∈N*，（8分）

由

（1）知a＝a1a3，所以a＝anan＋2，n∈N*，

因此数列{an}为等比数列．（10分）

②当0<

q≤2时，

由n＝1时，可得0<

a1≤1，

所以an＝a1qn－1≤2n－1，

因此a1＋a2＋…＋an≤1＋2＋…＋2n－1＝2n－1，

q≤2满足条件．（12分）

当q>

2时，

由a1＋a2＋…＋an≤2n－1，得≤2n－1，

整理得a1qn≤（q－1）2n＋a1－q＋1.（14分）

因为q>

2，0<

a1≤1，所以a1－q＋1<

因此a1qn<

（q－1）2n，即<

由于>

1，因此n<

log，与任意n∈N*恒成立相矛盾，

所以q>

2不满足条件．

综上，公比q的取值范围为（0，2]．（16分）