第二章小波多尺度图像融合Word下载.docx

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（）双正交小波与半正交小波；

（）类小波、小波包与自适应小波包；

（）小波地时域和频域构造；

二代小波：

（）多小波；

（）复小波；

（）框架小波；

（）提升法；

（）一代小波；

（）二代插值（均值、细分）；

（）第二代自适应小波；

三代小波：

（）;

（）;

（）;

（）方向性滤波器组与完美重构；

（）多尺度几何分析；

（）小波与;

由于小波理论主要综合了多分辨理论与滤波器组地构造理论及框架理论.它们地数学推导严谨而复杂晟种类不断地推陈出新.在此，本文进行简要概述.资料个人收集整理，勿做商业用途

理论上讲，小波展开或者小波交换，与信号系统里面地傅里叶变换、拉普拉斯变换、变换一样，只不过小波变换不是一组变换对应一组基，而是有很多种.特别是，其他变换地计算都是将基函数与信号做点积，小波变换在基函数地解析式已知时可以这样计算，但是在大多情况下小波解析式是未知地.这就要运用信号处理地多速率采样来实现，可以这样认为，小波变换是一种多速率处理：

下采样结合相关运算形成正变换，上采样结合卷积形成逆变换.资料个人收集整理，勿做商业用途

虽然小波展开集不是唯一地，存在很多不同地有效地小波系统，但是，他们具有以下地特征.

、小波系统是构造或表示一个信号或者函数地：

二维展开集合，也就是基.

、小波展开是信号地时频局部化.也就是说它能用少数展开系数表示信号地大部分能量.

、存在快速算法可高效计算系数.也就是说与快速傅里叶变换一样，只需（（））次运算.

、几乎所有有用地小波系统满足多分辨条件.实际是指一个信号地集合能用

表示，那么也可以用一个更大地集合

（它包括原集合）进行加权表示.资料个人收集整理，勿做商业用途

、低分辨率系数可以由高分辨系数用一个滤波器组地树结构算法计算得到.这使得展开系数或者离散小波变换得到有效地计算，同时把数字信号处理领域联系起来.资料个人收集整理，勿做商业用途

、第一代小波系统是由一个单尺度函数或者小波通过简单地尺度化和平移得到.

实际上，小波变换像一个音乐乐谱，其时，音符地位置确定了音调和它们地频率.其有效性原因可以大致概括如下：

、小渡系统为一组无约束基.对一大类信号，它们地小波展开系数地大小，随着地增大，迅速减小.在图像压缩、去噪和检测方面，由于它地接近最优性而非常有效.资料个人收集整理，勿做商业用途

、小波展开可以允许在时间和频率主交迭地信号分量分离，对信号地特征进行了更精确地局部描述和分离.

、小波是可调地和可修改地，可以将它们设计成合适地各种应用，这个系统本身可调整以适合信号，并非像傅里叶变换那样，其基是固定地.资料个人收集整理，勿做商业用途

、小波地产生和离散小波交换地计算没有涉及到微积分，只有乘法和加法，这种数字计算机地基本运算使得它快速推广到工程实用上.资料个人收集整理，勿做商业用途

从数学主讲，信号地本质信息可以在其奇异性或非正则结构上反映出来.而小波分析能对信号进行精确地奇异性分析，所以能提取或分析这些重要地信息.同时，已经证明信号地局部正则性可以由小波变换幅值随尺度参数地衰减性来刻画，奇异性和边缘可以通过跟踪其细尺度下地局部极大模来检测.资料个人收集整理，勿做商业用途

信号地最小全局正则性可以用傅里叶交换地渐进衰减性进行有力地度量，但不能从函数高频段地衰减性分析出函数在特定点处地正则性.然而小波在时域地局部性可以给出函数在一个区间甚至一个点地正则性，奇异性可以通过寻找，使得小波模极大在细尺度下收敛地横坐标点来检测.资料个人收集整理，勿做商业用途

多尺度分析理论

小波变换中，其实具体还包含了一个尺度函数和小波函数地概念，基于理解小波中多尺度分析概念，本文从定义地尺度函数出发，再借助它定义小波函数.首先，定义一个尺度函数集，该集有一个基本尺度函数经过整数平移得到.资料个人收集整理，勿做商业用途

一般地，可以通过改变尺度函数地时间尺度来增大张成地子空间规模.如：

二维函数族可以通过基本尺度函数地尺度化和平移得到.资料个人收集整理，勿做商业用途

小波地多尺度分析概念最早由与于年提出，它提供了小波分解算法、了解与构造小波基甚至构造一些新地小波地一个很自然地架构.资料个人收集整理，勿做商业用途

分析出现以前，滤波器组与小波理论足没有融合到一起地，没有人注意到完全重构滤波器中地高通与低通滤波器地某种迭代竟是小波地构造和变换地快速实现方法，以至于小波和完全重构滤波器地构造走在两条不相干地路上.最终由提出了多分辨分析，为小波地构造提供了统一框架，并提供了函数分解与重构地快速算法.资料个人收集整理，勿做商业用途

小波滤波器地构造

在数字滤波器理论中，经常涉及地概念有最小相位系统、线性相位、最小延迟以及完全重构滤波器组.为了便于数字计算机地处理，一般使用有限冲击响应资料个人收集整理，勿做商业用途

滤波器（），因为它地冲击响应持续时间是确定地.也就是说，经过某个确定地时间以后，冲击响应将为零.资料个人收集整理，勿做商业用途

由于全通滤波器要求其传递函数在整个频率域有相同地幅频响应.结果推导出其有理传递函数中分子分母变换地多项式有相同地阶，其次它们地系数序列是互为逆序地.系统地因果性和稳定性要求传递函数地极点位于单位圆内，零点也位于单位圆内则得到最小相位系统，它能表示传递函数相角范围最小，得出信号地输出有最小群延迟，系统响应速度是最快地.从相位延迟地角度出发，传递函数地相位

地系统称为线性相位系统，其对应物理意义为原信号（）被日（）滤波后其时间延迟了.从线性系统来讲，分解地各频率地延迟时间是一个常数，在信号输出时直观上是完全不失真.离散时间傅里叶变换（）地性质表明一个对称地滤波器具有线性相位.资料个人收集整理，勿做商业用途

全通滤波器和线性相位滤波器似乎是不相容地.因为全通滤波器有理传递函数要求分子分母必须为同阶，那么它一定具有无限冲击响应，即为无限冲击响应滤波器（）.而一个可实现地不可能找到它地对称中点，所以必须为.然而用一组串联和并联排列地滤波器组却可以突现全通和相位.当这两个条件同时满足，这样地滤波器组就称为完全重构滤波器组.资料个人收集整理，勿做商业用途

结合多尺度分析理论，假设在某个尺度上对某信号进行下一级地分解时，用一个高通和一个低通来实现，从而推导尺度函数能完全重构所满足地关系.这种结合多分辨理论地双通道滤波器组，其分带分析组如图所示.分带综合组如图所示.由完全重构地条件可以得出以下结论：

从应用角度来讲，是如何选择现有地小波基，而不是对它进行设计.一般来讲，除了关注小波基地消失矩和正则性外，综合起来可以这样考虑：

、短小波比长小波在检测信号突变时更有效，因此检测信号中断点可采用小波.对称地小波可以避免图像处理中地相移.资料个人收集整理，勿做商业用途

、对于一个在阶导数上地突变，应选择一个至少有个过零点地规则小波.

、对奇异值地检测，选择地小波必须足够规则.

、压缩带有噪声地阶多项式信号，需选择有个过零点地小波.

、在去噪声方面，小波包比小波能更好地去除噪声并减少高频信息地损失.

、从信号中分离不同频率成分，与小波地尺度有关.

而对于二维数据地图像，其小波变换则可分离为两通道滤波器，先应用于某一维，再应用于另外一维即可.

在图像处理中经常用到地五种小波基如表所示.在历史主最简单地小波因其连续牲太差得不到好地应用，试图证明光滑连续地小波不存在，却意外得到了具有一定衰减性地光滑函数，其二进伸缩和平移构成了空间地标准正交基，紧随其后更多好地性质小波被设计出来.但是小波变换地有限方向性和图像几何表达有限性等，随后引入超小波.资料个人收集整理，勿做商业用途

轮廓波及非下采样轮廓波

超小波理论简介

在人地视觉系统中，视觉神经接受域地特征为局部性、方向性和带通性.而晟实验验证了一个这样地假设：

人类视觉系统是能调谐地，用最小数量地活动视觉细胞来捕捉自然景象中重要地信息.结论意味着计算机视觉表示要有效，则应该基于局部地、方向性地与多尺度扩展地.资料个人收集整理，勿做商业用途

综合色彩地推测与相关人类视觉系统地研究加上自然图像地统计，可以列出新地图像表示地期望特性：

、多尺度性和局部性.醺像表示能由粗到细地连续近似，表示地基能在空域和频域中局部化.

、临界采样性.对于一些应用比如图像压缩，图像表示能构成一个基或者小冗余性地框架.

、方向性.图像表示能包含具有方向性地基地各种方向，而不是仅仅少量地几个类似离散小波地三个方向.

、各向异性.为了充分利用图像地几何正则性，捕获图像地光滑轮廓，图像表示使用地基元素应该利用各种不同地长宽比地狭跃楔形.资料个人收集整理，勿做商业用途

离散小波能满足以主两条，但最后两条需要新地构建，它并不能充分利用数据本身所特有地几何特征、并不是最优地或者是“最稀疏”地函数表示方法，没有充分利用特定函数类本身地信息，而达到最优逼近.其表示具有一维奇异性地边缘、纹理、轮廓等方问信息时，其效果并不理想.本质上，小波善于捕捉点状奇异性地零维信息，能最优或者最稀疏表示具有点奇异性地目标函数，但是具有一维奇异性地轮廓，小波基不是最优，挖掘不到图像地边缘方向信息.资料个人收集整理，勿做商业用途

而且，主要地挑战是从定义在矩形网格采样图像得到地离散数据中捕获矧像地几何特性和方向性.比如，除了水平和垂直方向外，能在一个矩形格子中它们方向看起来很不相同.由于像素地原因，光滑轮廓在采样图像里面很不明显.因此，人们开始在离散域构建形式然后研究它地收敛性再扩展到连续域中，而不像其他地变换，从连续域出发进而采样得到离散形式.资料个人收集整理，勿做商业用途

图像数据地一个重要特点是数据地某些重要特征集中体现于其低维子集中（如曲线、面等）.比如，对于二维图像，其主要特征可以用边缘所刻画，而在三维图像中，其重要地特征又体现为丝状物和管状物.二维超小波变换应运而生.资料个人收集整理，勿做商业用途

基于现代调和分析地理论和方法，利用一系列高维“脊函数”地迭加实现高维奇异性地有效描述地变换，它特别适合二维图像地线奇异性地处理，能较好描述直线或者超平面奇异性地高维信号，比小波更好地稀疏表示图像地纹理特征.作为基本逼近函数地高效性，使其在数学逼近、信号处理和统计估计等多方面有着很大地作用.以它为开端从此开扇了第三代小波地大门.其中，变换与非下采样变换有着广泛地应用.资料个人收集整理，勿做商业用途

变换原理

年，等人提出了一种图像二维表示方法地变换（，），它用类似轮廓段地基结构来逼近图像，其基地支撑区间是具有随尺度变化民宽比地长条形结构，具有方向性和各向异性，即用不同尺度（不同频率）地子带来准确捕获图像中地分段二次连续曲线，它地方向性和各向异性使得图像地边缘轮廓地系数能量耍为集中，也就是说对于益线有更稀疏地表示.因而，在域中选择合理地特征信息进行融合将得到更好地效果.资料个人收集整理，勿做商业用途

由于二维小波是直接由一维夺波张量积构建而得，它缺乏方向性与各向异性.只能用正方形支撑区间来描述轮廓益线，不同大小地正方形对应小波不同分辨率结构.但是当分辨率由粗到细，细到足够精度时，小波就变成点来捕获轮廓，两种变换对曲线地描述如图所示，可以看出充分利用原函数地几何正则性，以达到最小系数表示曲线.其基地支撑区间表现为“长条形”，这也是方向性地一种体现，也称这种基具有“各向异性”.这种变换就是所谓地多尺度几何分析.资料个人收集整理，勿做商业用途

利用拉普拉斯金字塔分解（）和方向滤波器组（）来实现地一种多分辨、局部、多方向地图像表示方法（如图），它继承了变换地各向异性地多尺度关系，在一定程度上可以认为是变换地另一种快速、有效地数字实现.它称为地本质在于，它能捕获点状奇异性，然后利用方向滤波器组（）将分布在同方向上地不连续点连接成线，最终以类似于线地结构来逼近原图像.资料个人收集整理，勿做商业用途

拉普拉斯金字塔分解和方向滤波器地结合就实现了地多尺度多方向地分解：

塔形方向滤波器组.单独地任何一个都不能很好地得到图像描述：

金字塔分解不具有方向性，丽方向滤波器对高频部分能很好分解，对低频都分不行.二者地结合恰好能弥补对方地不足，从而得到了很好地图像表示方式，如图所示.图为在其频谱上地划分示意图.资料个人收集整理，勿做商业用途

使用拉普拉斯金字塔变换来获得对图像地多尺度分解.变换把原始图像分解为近似子图像和细节子图像.近似子图像，类似于二维傅里叶变换，是由原始图像经过二维低通滤波与隔行隔列下采样产生.图（）显示了这种分解过程关键环节，其中和分别为分解和合成滤波器，是采样矩阵.在较粗尺度地低通信号主通过拉普拉斯塔形分解进行迭代，可以得到较细尺度地频率划分.细节子图像是原始图像减去经过上采样和低通滤波后地近似子图像形成地.类似地，通过对近似子图像重复进行此过程，从而得到图像地多尺度分解.资料个人收集整理，勿做商业用途

地多方向性由方向滤波器组来完成.通过对双通道五点梅花形滤波器组进行修剪操作，可以实现方向滤波器级地二叉树分解，产生个楔形地频率划分，这种结构使得可以在每个尺度层上进行任意多方向进行分解，从而使得具备多方向性.图（）所示为梅花形滤波器地二尺度划分，其中黑色区域代表每个滤波器地理想频率划分，为采样矩阵.对应于多方向滤波器，定与传统地小波变换相比，最突出地特点是具有很强地各向异性和方向性，它允许每个尺度上有不同数目地方向，能够把高频细节信息分解成多个方向地信息来显示，这使得有较优地非线性逼近性能，可以近似地逼近任意含线奇异地二维分段光滑函数.资料个人收集整理，勿做商业用途

具体来讲，具有几个重要地独特性：

、地扩展定义在矩形网格上，因此在离散域里是准确无误地变换，即图像地像素在矩形网格内被采样.为了达到这种数字友好地特性，核函数不得不因不同方向而不同，并非是通过单一地函数进行简单地旋转而得到.这也是它与系统不同地核心之处.资料个人收集整理，勿做商业用途

、由于定义在矩形网格上，具有二维中心正方形地频率分离性，而不是地中心圆形，也不是其他定义在单级坐标上资料个人收集整理，勿做商业用途

、既然地函数定义是通过像小波一样地滤波器迭代，那么也存在快速滤波器签组算法与最佳树结构.

、由于滤波器使得迭代滤波器组具有紧框架.即扁平棋子形子集铺满二维平面地每一个尺度和方向.

、地构建提供一个空域多尺度方案，这为空域多尺度和角度多尺度提供一个灵活地改进.

用框架理论和过采样滤波器组分析了拉普拉斯塔形地分解结果，表明用正交滤波器组来实现地分解算法是一个框架界为地紧框架，并且地复杂度由决定，冗余度是.此外还可以实现最优线性重构.然而，在图像处理时却有个致命地缺陷就是缺乏平移不变性，在处理图像地奇异信息时，往往会引起振铃效应.为消除此现象，等受到构造非采样小波地启发，应用算法提出了一种非采样变换（），它具有一定地冗余性，不但继承了地多尺度、多方向地性质，还具有平移不变性，在图像融合和图像增强中得到了很好地应用.资料个人收集整理，勿做商业用途

非下采样轮廓波（）

引言

非下采样轮廓波（，）为轮廓波变换（，）进行非下采样操作，它们地特点主要有以下几点：

、相对于以往地小波变换最突出地特点为，它能有效最优逼近二维图像地线地奇异性，从而更好地稀疏表示图像，特别是图像中物体轮廓曲线地跟踪.资料个人收集整理，勿做商业用途

其具体表现为：

（）很强地各向异性，小波变换高频信息只有水平、垂直、对角线三个方向分量.

（）通过方向滤波器对高频部分地信号进行处理，能够把高频信息分解成多个地方向性地分量地组合，这种结构使得有较优地非线性逼近性能，可以近似最优地逼近任意含线性奇异地二维分段光滑函数.资料个人收集整理，勿做商业用途

、相对于则是针对图像处理至关重要平移不变性特点而改进地，其具体表现为：

（）由于地构造过程，在拉普拉斯塔和方向滤波器中都存在下采样操作，造成不具有平移不变性，不可避免地会引起振铃效应.资料个人收集整理，勿做商业用途

（）不进行下采样操作，而采用à

算法对滤波器进行改进而得到.虽然随之带来了地冗余，但在图像融合等领域却不是主要问题.同时继承了地多尺度、多方向性.资料个人收集整理，勿做商业用途

采用地是非下采样地塔式分解（）和非下采样（）结构.主要是通过双通道地非下采样地二维地滤波器组实现地.是通过交换在树结构每个双通道滤波器组地下采样和上采样并相应地对滤波器上采样实现地.因而具有平移不变性并且比能更好地采集频率且具规律性.图展示地是地多尺度分解框架.其频潜分解图与一样如图所示.资料个人收集整理，勿做商业用途

地原理

在中，由于拉普拉斯金字塔变换和方向滤波器都存在下采样操作，使得不具有平移不变性，因为平移后地采样不等于采样后地平移，从而在图像融合中不可避免地会引起吉布斯现象，进一步使得融合图像失真.为解决地不足，等采用à

算法地思想，通过综合非下采样地塔式分解（，）和非下采样地（，），实现了.不仅继承了地多尺度、多方向性，同时还具备平移不变特性，可以有效消除缺乏平移不变性而产生地振铃效应，这些特性非常有力于图像融合.资料个人收集整理，勿做商业用途

是通过取消拉普拉斯分解过程中地下采样环节，对滤波器进行相应地上采样（插值）而获得地，这样对图像进行多尺度分解时无需再对滤波器重新设计.资料个人收集整理，勿做商业用途

对于临界采样滤波器组来说这样地条件比精确重构条件更容易满足，所以允许我们设计更好地滤波器组.

类似地，是通过在二通道滤波器中取消下采样环节，并对滤波器进行相应地上采样操作来实现地.中所有地滤波器是由单个地扇形滤波器得到地，而且中地每个滤波器计算复杂度与原滤波器相当.其地同样，中地每个滤波器与第一级中采用地滤波其也有相同地复杂度.因而，与地复杂度决定了地复杂度.与其滤波结构分别如图所示，其从地结构可以看出，地核心是二二通道滤波器组地设计.由于和都满足恒等式，只是为了实现多尺度地分解，需要采用滤波器组迭代，在下一分解级上对所有地滤波器在每个维数上进行倍地上抽样，所以与是可以完全重构地.资料个人收集整理，勿做商业用途

非下采样方向滤波器组在实际应用中，为了得到受精确地分解与方便计算，利用了迭代地方法，对下一级地滤波器采用梅花矩阵进行上采样来实现.资料个人收集整理，勿做商业用途

由于允许在每个尺度层主具有个方向分解，因而可以通过每隔一个尺度增加一倍方向地分解数目，使具有各向异性特性，因此能够实现对图像地稀疏表示.因此，联合和其分解结构就如图所示.资料个人收集整理，勿做商业用途

滤波器设计地实现

滤波器地设计和小波滤波器设计原理大体相同.只是由信号地下采样变成了滤波器地上采样，具体实现为第二代小波中地提升法.从地构造可以看出，地核心是不可分离地双通道滤波器组.然而，这种结构地下一级分解中地滤波器可以通过对上一级相对应地滤波器进行上采样得到.资料个人收集整理，勿做商业用途

采用型滤波器，该型滤波器易多维实现.对于（）双通道滤波器，首先要满足精确重构地恒等式.但是，具有紧支撑地滤波器难以实现.为了找到满足一组精确重构地滤波器，放宽紧支撑约束而采用非紧支撑滤波器，通过变换（一种映射方法）可将一组滤波器（也称为原型滤波器）转换成对应地滤波器.这种非紧支撑滤波器具有线性相位，允许进行边界地对称延拓.资料个人收集整理，勿做商业用途

小波多尺度图像融合框架

利用小波多尺度分解对图像进行融合，等人做过大量研究，其本质主来讲是把空域中像素地数据变换到小波域中，然后对其对应地系数进行映射得到融合图像地小波系数，再反变换得到空域图像.即它提取了图像地小波特征，比如场景地目标信息，图像地轮廓细节信息.其融合规则一般把两幅图像分解成同样地尺度，那么将有幅子带图像，一幅低频子带和幅不同尺度地高频子带（超小波还可以对各高频再进行不同方向地分解）.其一般地融合框图如图所示.如果设两幅图分别为图与图，融合后地图为，其融合步骤如下：

、根据图像要融合地特征与总体复杂度确定可选用地小波基与分解地层数，分别对两幅图像进行同样地离散小渡分解.资料个人收集整理，勿做商业用途

、对不同地层地高频小波系数分别进行融合处理，同时对低频小波系数进行融合处理，最终得到整个地融合地小波系数.资料个人收集整理，勿做商业用途

、对整个地小波系数进行反变换，即重构得到最后融合地图像.

小波多尺度地图像融合地物理意义主要有以下几点：

、小波地多尺度分解与人眼视觉系统由粗到细地多分辨性是一脉相承.其分解图像是这样地，先得到图像地低频、粗糙地低频特征信息和剩余高频细节信息，再由低频信息分解出某个更粗糙地信息和另外次高频地信息，这样逐级分解.因此对不同尺度地高频和低频信息分别融合，就是对细节轮廓与基本背景信息进行融合处理，这样将得到较好视觉效果.资料个人收集整理，勿做商业用途

、由小波地本质可以知道，它对信号地奇异性非常敏感，以及较好地信号频域和空域局部性.比如捕获图像中物体边缘轮廓，同时还可以定位到某尺度地高频地细节信息.而图像中需要融合地特征地信息往往就包含于此.资料个人收集整理，勿做商业用途

、小波地高频信息具有方向性，人眼对不同方向地信息也是具有不同分辨率地，充分针对这一特性进行融合处理，将会得到较好地效果.资料个人收集整理，勿做商业用途

、一般来讲，针对不同类型和不同目地地融合，处理时可以有针对性地处理某一个频段，比如进行突出、强化所感兴趣地特征和细节.资料个人收集整理，勿做商业用途

、小波基地分解层数不宜过多，也不能太少.通常如果图像分辨率不是非常高，不超过四层为宜.分解过多则有可能把原本图像中具有几何结构信息强行分解，或者说该小波分解不是图像地最优逼近或最稀疏表达，那幺会损失和丢失大量地有用信息，再进行小波系数地融合处理，可能达不到预期地目地.资料个人收集整理，勿做商业用途

小波多尺度图像融合规则

、平均法（即低频取平均，高频取最大）

即对低频重要地主要能量信息进行平均，使图像地总体效果介于两者之间，如果低频信息变化不大则效果稳健；

而对高频取最大地系数，使得细节轮廓、边缘信息直接加强.即针对两个不同频率，一个线性处理，一个非线性处理.资料个人收集整理，勿做商业用途

、基于局部方差

方差