线性规划Word文件下载.docx

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，利用数形结合思想，把

看作斜率为

的平行直线系在y轴上的截距．平移直线

，使其与y轴的交点最高，观察图象直线经过M（4，2），得出最优解x＝4，y＝2．

　　三、教学问题诊断分析

线性规划问题的难点表现在三个方面：

一是将实际问题抽象为线性规划模型；

二是线性约束条件和线性目标函数的几何表征；

三是线性规划最优解的探求．其中第一个难点通过第1课时已基本克服；

第二个难点线性约束条件的几何意义也在第2课时基本解决，本节将继续巩固；

第三个难点的解决必须在二元一次不等式（组）表示平面区域的基础上，继续利用数形结合的思想方法把目标函数直观化、可视化，以图解的形式解决之．

将决策变量x，y以有序实数对（x，y）的形式反映，沟通问题与平面直角坐标系的联系，一个有序实数对就是一个决策方案．借助线性目标函数的几何意义准确理解线性目标函数在y轴上的截距与z的最值之间的关系；

以数学语言表述运用数形结合得到求解线性规划问题的过程。

●可行解（含最优解）的几何表征

●可行域（约束条件）的几何表征

●目标函数的几何表征

　　四、学习行为分析

通过前两课时，学生对于物资调运问题、产品安排问题、下料问题等已初步学会了如何分析实际应用问题，能根据实际数据假设变量，从中抽象出二元一次不等式（组）作为约束条件；

能联想其几何意义，用相应的平面区域行表示它们．

在巩固二元一次不等式（组）所表示的平面区域的基础上，使学生能从实际优化问题中抽象出约束条件和目标函数；

对于目标函数学生未必能一下子想到相应的直线系，教学中，教师需引导学生把z看成常数，把z＝2x＋3y看成关于x，y的二元一次方程；

然后引导学生关注z与直线z＝2x＋3y的纵截距的关系，借助直线的截距概念，把较为复杂的线性规划问题变成易于理解和易于操作的图形变换，直观地运用数形结合方法求出最优解和线性目标函数的最大（小）值；

通过这种从点与数对的对应，线与方程的对应，到平面区域与不等式组的对应的过渡和提升，使学生进一步理解数形结合思想方法的实质及其重要性．

　　五、教学支持条件分析

考虑到学生的知识水平和消化能力，教师可借助计算机或图形计算器，从激励学生探究入手，讲练结合，精准的直观演示能使教学更富趣味性和生动性．

通过让学生观察、讨论、辨析、画图，亲身实践，调动多感官去体验数学建模、用模的思想，让学生学会用“数形结合”思想方法建立起代数问题和几何问题间的密切联系．

　　六、教学过程设计

　　1．问题引入

引例：

某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品．每生产一件甲产品使用4个A配件，耗时1h；

每生产一件乙产品使用4个A配件，耗时2h．已知该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？

问题1：

该厂生产什么？

怎么生产？

设计意图：

引导学生读题，完成实际问题数学化的过程．承前一课时，使学生进一步熟练如何从实际问题中抽象出不等式组（约束条件）并用平面区域表示．

设甲、乙两种产品每日分别生产x，y件，生产甲产品需满足

；

生产乙产品需满足

生产时间需满足

，从而得出二元一次不等式组：

（1）

问题2：

可能的日安排，什么意思？

让学生了解日生产方案的数学符号表示，不等式组

（1）的整数解

的实际意义，并顺势给出“可行解”、“可行域”概念．

教学中，可以结合几何画板，让学生“读出”可行解，即可行域中的18个整点：

（0，0），（0，1），（0，2），（0，3）；

（1，0），（1，1），（1，2），（1，3）；

（2，0），（2，1），（2，2），（2，3）；

（3，0），（3，1），（3，2）；

（4，0），（4，1），（4，2）．

对于边界附近的点，如（3，3），（4，3，），（4，4）是否可行域中，需引导学生配合不等式

来判断，这将有助于学生手绘解决问题时的慎密思考．

问题3：

若每生产一件甲产品获利2万元，每生产一件乙产品获利3万元，如何安排生产利润最大？

通过添加最优化问题转入对新知识的探究，使学生体会知识生成的自然和线性规划模型的价值．

　　2．问题的深入

利润函数模型的建立．设生产利润为z（万元），则z＝2x＋3y．

这是一个二元函数，甲、乙两种产品的数量共同影响生产利润，不是学生熟悉的问题．

教学时，可引导学生分别求各种可能安排的利润（列举）：

z＝？

x

y

z=2x+3y

1

3

…

4

11

2

14

观察得到，当x＝4，y＝2时，z最大，z的最大值为14万元．引出最优化问题，顺势给出“最优解”概念．

问题4：

如何看待利润函数的解析式z＝2x＋3y?

得出利润函数z＝2x＋3y后，学生多会与一元函数求最值的问题进行类比，考虑定义域（这里是可行域）的作用，求最值的代数的或几何的方法．在学生活跃的思维中，寻求数形结合思想方法应用的契机．

由利润函数的解析式z＝2x＋3y，视z为常数，则z＝2x＋3y就是关于x，y的二元一次方程，在平面直角坐标系中，方程z＝2x＋3y表示斜率为

，在y轴上的截距为

的一组平行直线（直线

是其中的一个代表）．

由于z＝2x＋3y中的（x，y），来自于可行域，所以直线z＝2x＋3y与可行域有公共点．

可追问以下问题：

当直线z＝2x＋3y经过可行域中的哪个（些）点时，z最大？

当直线

经过可行域中的哪个（些）点时，

最大？

经过可行域中的哪个（些）点时，与y轴的交点最高？

故求z的最大值，可转化为求

的最大值，而

是直线z＝2x＋3y在y轴上的截距，只要看直线系z＝2x＋3y与y轴的交点

的最高即可．

从（一元）函数的观点来看，z是以直线z＝2x＋3y与y轴的交点的纵坐标为自变量的（一元）函数．

由于y的系数为正，故z是直线的纵截距的增函数，即当直线的纵截距最大（与y轴的交点最高）时，目标函数有最大值．（熟练之后，就不必化直线方程为斜截式了！

）

问题5：

怎样求解线性规划问题？

通过这个具体例子，让学生梳理问题解决的思路，归纳最优化问题的求解思路：

第1步：

依题意，列出不等式组

第2步：

画出可行域（实际上也就找到了可行解）．

第3步：

依题意，求出目标函数

第4步：

作出目标函数所表示的某条直线（通常选作过原点的直线），平移此直线并观察此直线经过可行域的哪个（些）点时，函数有最大（小）值．

第5步：

求（写）出最优解和相应的最大（小）值．

由

解得点M的坐标（4，2）．

当x＝4，y＝2时，z最大，zmax＝2×

4＋3×

2＝14（万元）．

教师可作以下示范解答

解：

设……，依题意，得不等式组：

作平面区域（如图），

设……，依题意，得目标函数z＝2x＋3y．

作直线2x＋3y＝0，平移之，经过点M时，z最大．

由x＝4，x＋2y＝8得点M的坐标（4，2）．

因此，当x＝4，y＝2时，z最大，zmax＝2×

　　3．线性规划概念组

问题6：

什么是线性规划问题？

在学生已经获得感性认识的基础上，给出线性规划的相关概念．

在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题．线性规划问题的模型由目标函数和可行域组成，其中可行域是可行解的集合，可行解是满足约束条件的解．使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解．

结合本例，让学生思考最优解、可行解、可行域有怎样的关系？

教师总结，最优解一定是可行解，可行解的集合即可行域；

最优解一般位于可行域的边界上．并进一步概括解线性规划问题的步骤，可简化为5个字：

建、画、移、求、答．

建：

建立线性规划的数学模型（约束条件和目标函数）

画：

画出线性约束条件所表示的可行域；

移：

在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；

求：

通过解方程组求出最优解；

答：

回归问题，写出答案．

　　4．问题的变式

通过目标函数的不同变式，让学生熟悉最优解的求法，尤其是y的系数为负的情况．借助“几何画板”软件集中呈现目标函数的图形变化，能提高课堂效率，建立精准的数形联系．

问题7：

如果每生产一件甲产品获利3万元，每生产一件乙产品获利2万元，如何安排生产利润最大？

目标函数为

，直线

与y轴的交点的横坐标为

．

作出直线

，并平移，观察知，当直线

经过点（4，2）时，直线

与y轴的交点最高，即x＝4，y＝2时，z取最大值，且zmax＝16．

问题8：

如果每生产一件甲产品获利2万元，每生产一件乙产品获利4万元，如何安排生产利润最大？

经过点（2，3）或（4，2）时，直线

与y轴的交点最高，即x＝2，y＝3或x＝4，y＝2时，z取最大值，且zmax＝16．

问题9：

如果每生产一件甲产品获利1万元，每生产一件乙产品获利4万元，如何安排生产利润最大？

经过点（2，3）时，直线

与y轴的交点最高，即x＝2，y＝3时，z取最大值，且zmax＝14．

问题10：

如果每生产一件甲产品获利3万元，每生产一件乙产品亏损2万元，如何安排生产利润最大？

让学生先猜测；

注意：

z的最大值→直线z＝3x－2y在y轴上的截距－z/2的最小值．

经过点（4，0）时，直线

与y轴的交点最低，即x＝4，y＝0时，z取最大值，且zmax＝12．

猜测与实际运算结果相符吗？

问题出在哪？

教师可借助Exel针对对所有可行解，求出生产利润．

z=3x－2y

-2

10

8

教学时，对于每一种变式，都需要学生首先明确：

（1）问题满足的不等式组是什么？

对应怎样的可行域？

（2）目标函数是什么？

对应怎样的直线（系）？

（3）求目标函数的最大值，还是最小值？

关注对应的直线（系）与y轴的交点的最高点，还是最低点？

　　七、评价设计

小结：

1.请谈谈你对“线性规划”的理解？

“线性规划”中的线性和规划的数学意义是什么？

教师根据学生的回答，强调以下两个方面：

①线性：

约束条件是线性的，目标函数也是线性的！

②规划：

规划就是求最优解，求可行域中使目标函数取得最值的可行解．

2.解决线性规划问题时是怎样体现数形结合思想方法的？

课堂练习（P103，第1题）

（1）求

的最大值，使

满足约束条件

（2）求

课下作业

（1）补充：

解决线性规划问题需要哪些主要步骤？

（2）教科书P105，习题3.3，A3

这里是两个练习和一个作业题都是纯数学问题，主要是运用数形结合思想，熟练求出线性目标函数的最值．