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教学设计（续页）

教学活动设计

补充内容

课堂引入

目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。

我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。

这个事实可以说明勾股定理的重大意义。

尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。

让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。

以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：

“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。

”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。

再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长。

你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42=52，52+122=132，那么就有勾2+股2=弦2。

对于任意的直角三角形也有这个性质吗？

五、例习题分析

例1（补充）已知：

在△ABC中，∠C=90°

，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。

求证：

a2＋b2=c2。

分析：

⑴让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。

⑵拼成如图所示，其等量关系为：

4S△+S小正=S大正

审阅人

年月日

4×

ab＋（b－a）2=c2，化简可证。

例2已知：

左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。

左边S=4×

ab＋c2右边S=（a+b）2左边和右边面积相等，即

ab＋c2=（a+b）2

化简可证。

勾股定理的内容：

（）

课堂练习：

已知：

如图，在△ABC中，AB=AC，D在CB的延长线上。

⑴AD2－AB2=BD·

CD

⑵若D在CB上，结论如何，试证明你的结论

作业布置：

习题17.1第1.2.题

数学八年级教师：

17．1勾股定理

（二）

1．会用勾股定理进行简单的计算。

2．树立数形结合的思想、分类讨论思想。

勾股定理的简单计算。

勾股定理的灵活运用

探究讲授

例：

在Rt△ABC，∠C=90°

⑴已知a=b=5,求c。

⑵已知a=1,c=2,求b。

⑶已知c=17,b=8,求a。

⑷已知a：

b=1：

2,c=5,求a。

⑸已知b=15，∠A=30°

，求a，c。

复习勾股定理的文字叙述；

勾股定理的符号语言及变形。

例习题分析

例1在Rt△ABC，∠C=90°

刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。

2知两直角边，求斜边直接用勾股定理。

⑵⑶已知斜边和一直角边，求另一直角边，用勾股定理的便形式。

⑷⑸已知一边和两边比，求未知边。

通过前三题让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。

后两题让学生明确已知一边和两边关系，也可以求出未知边，学会见比设参的数学方法，体会由角转化为边的关系的转化思想。

例2（补充）已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边

已知两边中较大边12可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种情况分别进形计算。

让学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。

例3（补充）已知：

如图，等边△ABC的边长是6cm。

⑴求等边△ABC的高。

⑵求S△ABC。

勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要

创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做

法。

欲求高CD，可将其置身于Rt△ADC或Rt△BDC中，

但只有一边已知，根据等腰三角形三线合一性质，可求

AD=CD=

AB=3cm，则此题可解。

课堂练习

1．填空题

⑴在Rt△ABC，∠C=90°

，a=8，b=15，则c=。

⑵在Rt△ABC，∠B=90°

，a=3，b=4，则c=。

⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为。

⑸直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，，则第三边长为。

⑹已知等边三角形的边长为2cm，则它的高为，面积为。

2．已知：

如图，在△ABC中，∠C=60°

，AB=

，AC=4，AD是BC边上的高，求BC的长。

3．已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积。

布置作业：

习题17.1第3.4.题

17．1勾股定理（三）

1．会用勾股定理解决简单的实际问题。

2．树立数形结合的思想。

勾股定理的应用。

实际问题向数学问题的转化

1.在△AOB中，已知AB=3，AO=2.5，利用勾股定理计算OB。

2.在△COD中，已知CD=3，CO=2，利用勾股定理计算OD。

3.探究AC和BD的关系，给AC不同的值，计算BD。

勾股定理在实际的生产生活当中有着广泛的应用。

勾股定理的发现和使用解决了许多生活中的问题，今天我们就来运用勾股定理解决一些问题，你可以吗？

试一试。

例1（教材探究1）

⑴在实际问题向数学问题的转化过程中，注意勾股定理的使用条件，即门框为长方形，四个角都是直角。

⑵让学生深入探讨图中有几个直角三角形？

图中标字母的线段哪条最长？

⑶指出薄木板在数学问题中忽略厚度，只记长度，探讨以何种方式通过？

⑷转化为勾股定理的计算，采用多种方法。

⑸注意给学生小结深化数学建模思想，激发数学兴趣。

例2（教材探究2）

⑴在△AOB中，已知AB=3，AO=2.5，利用勾股定理计算OB。

⑵在△COD中，已知CD=3，CO=2，利用勾股定理计算OD。

则BD=OD－OB，通过计算可知BD≠AC。

⑶进一步让学生探究AC和BD的关系，给AC不同的值，计算BD。

1．小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是米。

2．如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是4

米，则这两株

树之间的垂直距离是

米，水平距离是米。

2题图3题图4题图

3．如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是。

4．如图，原计划从A地经C地到B地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由A地到B地直接修建，已知高速公路一公里造价为300万元，隧道总长为2公里，隧道造价为500万元，AC=80公里，BC=60公里，则改建后可省工程费用是多少？

课后练习

1．如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B、C两点，在江对岸取一点A，使AC垂直江岸，测得BC=50米，

∠B=60°

，则江面的宽度为。

2．有一个边长为1米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞口，则圆形盖半径至少为米。

3．一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P、Q两点，PQ=16厘米，且RP⊥PQ，则RQ=厘米。

4．如图，钢索斜拉大桥为等腰三角形，支柱高24米，∠B=∠C=30°

，E、F分别为BD、CD中点，试求B、C两点之间的距离，钢索AB和AE的长度。

（精确到1米）

习题17.1第5.6.7..题

数学八年级教师：

17．2勾股定理的逆定理

（一）

1．体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。

2．探究勾股定理的逆定理的证明方法。

3．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。

掌握勾股定理的逆定理及证明。

勾股定理的逆定理的证明。

一般步骤：

1.判断那条边最大。

2.分别用代数方法计算出a2+b2和c2的值。

3.判断a2+b2和c2是否相等，若相等，则是直角三角形；

若不相等，则不是直角三角形。

创设情境：

⑴怎样判定一个三角形是等腰三角形？

⑵怎样判定一个三角形是直角三角形？

和等腰三角形的判定进行对比，从勾股定理的逆命题进行猜想。

例1（补充）说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？

⑴同旁内角互补，两条直线平行。

⑵如果两个实数的平方相等，那么两个实数平方相等。

⑶线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

⑷直角三角形中30°

角所对的直角边等于斜边的一半。

⑴每个命题都有逆命题，说逆命题时注意将题设和结论调换即可，但要分清题设和结论，并注意语言的运用。

⑵理顺他们之间的关系，原命题有真有假，逆命题也有真有假，可能都真，也可能一真一假，还可能都假。

解略。

例2证明：

如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。

⑴注意命题证明的格式，首先要根据题意画出图形，然后写已知求证。

⑵如何判断一个三角形是直角三角形，现在只知道若有一个角是直角的三角形是直角三角形，从而将问题转化为如何判断一个角是直角。

⑶利用已知条件作一个直角三角形，再证明和原三角形全等，使问题得以解决。

⑷先做直角，再截取两直角边相等，利用勾股定理计算斜边A1B1=c，则通过三边对应相等的两个三角形全等可证。

⑸先让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合，激发学生的兴趣和求知欲，再探究理论证明方法。

充分利用这道题锻炼学生的动手操作能力，由实践到理论学生更容易接受。

证明略。

在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，a=n2－1，b=2n，c=n2＋1（n＞1）

∠C=90°

。

⑴运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：

①先判断那条边最大。

②分别用代数方法计算出a2+b2和c2的值。

③判断a2+b2和c2是否相等，若相等，则是直角三角形；

⑵要证∠C=90°

，只要证△ABC是直角三角形，并且c边最大。

根据勾股定理的逆定理只要证明a2+b2=c2即可。

⑶由于a2+b2=（n2－1）2＋（2n）2=n4＋2n2＋1，c2=（n2＋1）2=n4＋2n2＋1，从而a2+b2=c2，故命题获证。

1．判断题。

⑴在一个三角形中，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对的角是直角。

⑵命题：

“在一个三角形中，有一个角是30°

，那么它所对的边是另一边的一半。

”的逆命题是真命题。

⑶勾股定理的逆定理是：

如果两条直角边的平方和等于斜边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

3ABC的三边之比是1：

1：

，则△ABC是直角三角形。

4

2．下列四条线段不能组成直角三角形的是（）

A．a=8，b=15，c=17

B．a=9，b=12，c=15

C．a=

，b=

，c=

D．a：

b：

c=2：

3：

4

1．填空题。

⑴任何一个命题都有，但任何一个定理未必都有。

⑵“两直线平行，内错角相等。

”的逆定理是。

⑶在△ABC中，若a2=b2－c2，则△ABC是三角形，是直角；

若a2＜b2－c2，则∠B是。

⑷若在△ABC中，a=m2－n2，b=2mn，c=m2＋n2，则△ABC是三角形。

2．若三角形的三边是⑴1、

、2；

⑵

；

⑶32，42，52⑷9，40，41；

⑸（m＋n）2－1，2（m＋n），（m＋n）2＋1；

则构成的是直角三角形的有（）

A．2个B．３个　Ｃ．４个　　　Ｄ．５个

4．已知：

在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？

并指出那一个角是直角？

⑴a=9，b=41，c=40；

⑵a=15，b=16，c=6；

⑶a=2，b=

，c=4；

⑷a=5k，b=12k，c=13k（k＞0）。

习题17.2第1.2.3..题

17．2勾股定理的逆定理

（二）

1．灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

2．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。

灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状。

在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而使用一些数学知识和数学方法。

例1（见教材）

⑴了解方位角，及方位名词；

⑵依题意画出图形；

⑶依题意可得PR=12×

1.5=18，PQ=16×

1.5=24，QR=30；

⑷因为242+182=302，PQ2+PR2=QR2，根据勾股定理的逆定理，知∠QPR=90°

⑸∠PRS=∠QPR-∠QPS=45°

小结：

让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识。

例2（补充）一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状。

⑴若判断三角形的形状，先求三角形的三边长；

⑵设未知数列方程，求出三角形的三边长5、12、13；

⑶根据勾股定理的逆定理，由52+122=132，知三角形为直角三角形。

1．小强在操场上向东走80m后，又走了60m，再走100m回到原地。

小强在操场上向东走了80m后，又走60m的方向是。

2．如图，在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿，早晨测得它的影长为4米，中午测得它的影长为1米，则A、B、C三点能否构成直角三角形？

为什么？

3．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截。

已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40°

，问：

甲巡逻艇的航向？

1．一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为，此三角形的形状为。

2．一根12米的电线杆AB，用铁丝AC、AD固定，现已知用去铁丝AC=15米，AD=13米，又测得地面上B、C两点之间距离是9米，B、D两点之间距离是5米，则电线杆和地面是否垂直，为什么？

3．如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。

小明找了一卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知∠B=90°

习题17.2第4.5.6..题

17．2勾股定理的逆定理（三）

1．应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形。

2．灵活应用勾股定理及逆定理解综合题。

3．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。

利用勾股定理及逆定理解综合题。

如图，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3。

求：

四边形ABCD的面积。

⑴作DE∥AB，连结BD，则可以证明

△ABD≌△EDB（ASA）；

勾股定理和它的逆定理是黄金搭档，经常综合应用来解决一些难度较大的题目。

在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c。

试判断△ABC的形状。

⑴移项，配成三个完全平方；

⑵三个非负数的和为0，则都为0；

⑶已知a、b、c，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形。

例2（补充）已知：

⑴作DE∥AB，连结BD，则可以证明△ABD≌△EDB（ASA）；

⑵DE=AB=4，BE=AD=3，EC=EB=3；

⑶在△DEC中，3、4、5勾股数，△DEC为直角三角形，DE⊥BC；

⑷利用梯形面积公式可解，或利用三角形的面积。

如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·

BD。

△ABC是直角三角形。

∵AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2

∴AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2

=AD2+2AD·

BD+BD2

=（AD+BD）2=AB2

1．若△ABC的三边a、b、c，满足（a－b）（a2＋b2－c2）=0，则△ABC是（）

A．等腰三角形；

B．直角三角形；

C．等腰三角形或直角三角形；

D．等腰直角三角形。

2．若△ABC的三边a、b、c，满足a：

c=1：

，试判断△ABC的形状。

3．已知：

如图，四边形ABCD，AB=1，BC=

，CD=

，AD=3，且AB⊥BC。

在△ABC中，∠ACB=90°

，CD⊥AB于D，

且CD2=AD·

△ABC中是直角三角形。

课后练习，

1．若△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，求△ABC的面积。

2．在△ABC中，AB=13cm，AC=24cm，中线BD=5cm。

△ABC是等腰三角形。

如图，∠1=∠2，AD=AE，D为BC上一点，且BD=DC，AC2=AE2+CE2。

AB2=AE2+CE2。

4．已知△ABC的三边为a、b、c，且a+b=4，ab=1，c=

，试判定△ABC的形状。

习题17.2第8.9.题