人教A版必修四高中数学第一章 三角函数 章末检测A 同步习题及答案.docx

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人教A版必修四高中数学第一章三角函数章末检测A同步习题及答案

第一章　三角函数（A）

（时间：

120分钟　满分：

150分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．sin600°＋tan240°的值是（　　）

A．－B.

C．－＋D.＋

2．已知点P落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π），则θ的值为（　　）

A.B.C.D.

3．已知tanα＝，α∈，则cosα的值是（　　）

A．±B.C．－D.

4．已知sin（2π－α）＝，α∈（，2π），则等于（　　）

A.B．－C．－7D．7

5．已知函数f（x）＝sin（2x＋φ）的图象关于直线x＝对称，则φ可能取值是（　　）

A.B．－C.D.

6．若点P（sinα－cosα，tanα）在第一象限，则在[0,2π）内α的取值范围是（　　）

A.∪B.∪

C.∪D.∪

7．已知a是实数，则函数f（x）＝1＋asinax的图象不可能是（　　）

8．为了得到函数y＝sin的图象，可以将函数y＝cos2x的图象（　　）

A．向右平移个单位长度

B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度

D．向左平移个单位长度

9．电流强度I（安）随时间t（秒）变化的函数I＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0,0<φ<）的图象如右图所示，则当t＝秒时，电流强度是（　　）

A．－5AB．5AC．5AD．10A

10．已知函数y＝2sin（ωx＋θ）（0<θ<π）为偶函数，其图象与直线y＝2的某两个交点横坐标为x1、x2，若|x2－x1|的最小值为π，则（　　）

A．ω＝2，θ＝B．ω＝，θ＝

C．ω＝，θ＝D．ω＝2，θ＝

11．设ω>0，函数y＝sin（ωx＋）＋2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（　　）

A.B.C.D．3

12．如果函数y＝3cos（2x＋φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（　　）

A.B.C.D.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r＝20cm，则扇形的周长为________．

14．方程sinπx＝x的解的个数是________．

15．已知函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）的图象如图所示，则f（）＝________.

16．已知函数y＝sin在区间[0，t]上至少取得2次最大值，则正整数t的最小值是________．

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17．（10分）求函数y＝3－4sinx－4cos2x的最大值和最小值，并写出函数取最值时对应的x的值．

18．（12分）已知函数y＝acos＋3，x∈的最大值为4，求实数a的值．

19.（12分）如右图所示，函数y＝2cos（ωx＋θ）（x∈R，ω>0,0≤θ≤）的图象与y轴交于点（0，），且该函数的最小正周期为π.

（1）求θ和ω的值；

（2）已知点A（，0），点P是该函数图象上一点，点Q（x0，y0）是PA的中点，当y0＝，x0∈[，π]时，求x0的值．

20．（12分）已知α是第三象限角，f（α）＝.

（1）化简f（α）；

（2）若cos＝，求f（α）的值；

（3）若α＝－1860°，求f（α）的值．

21．（12分）在已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ），x∈R的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为M.

（1）求f（x）的解析式；

（2）当x∈时，求f（x）的值域．

22．（12分）已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A>0且ω>0,0<φ<）的部分图象，如图所示．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）若方程f（x）＝a在上有两个不同的实根，试求a的取值范围．

第一章　三角函数（A）

答案

1．B　2.D　3.C

4．A　[sin（2π－α）＝－sinα＝，∴sinα＝－.又α∈（，2π），∴cosα＝.

∴＝，故选A.]

5．C　[检验f＝sin是否取到最值即可．]

6．B　[sinα－cosα>0且tanα>0，

∴α∈或α∈.]

7．D　[当a＝0时f（x）＝1，C符合，

当0<|a|<1时T>2π，且最小值为正数，A符合，

当|a|>1时T<2π，B符合．

排除A、B、C，故选D.]

8．B　[y＝sin＝cos＝cos＝cos＝cos2.]

9．A　[由图象知A＝10，＝－＝，

∴T＝，∴ω＝＝100π.

∴I＝10sin（100πt＋φ）．

（，10）为五点中的第二个点，

∴100π×＋φ＝.

∴φ＝.∴I＝10sin（100πt＋），

当t＝秒时，I＝－5A，故选A.]

10．A　[∵y＝2sin（ωx＋θ）为偶函数，∴θ＝.

∵图象与直线y＝2的两个交点横坐标为x1，x2，

|x2－x1|min＝π，即Tmin＝π，

∴＝π，ω＝2，故选A.]

11．C　[由函数向右平移π个单位后与原图象重合，得π是此函数周期的整数倍．又ω>0，

∴·k＝π，∴ω＝k（k∈Z），∴ωmin＝.]

12．A　[∵y＝3cos（2x＋φ）的图象关于点（，0）中心对称，即3cos（2×＋φ）＝0，

∴＋φ＝＋kπ，k∈Z.

∴φ＝－＋kπ.∴当k＝2时，|φ|有最小值.]

13．（6π＋40）cm

解析　∵圆心角α＝54°＝，∴l＝|α|·r＝6π.

∴周长为（6π＋40）cm.

14．7

解析　在同一坐标系中作出y＝sinπx与y＝x的图象观察易知两函数图象有7个交点，所以方程有7个解．

15．0

解析　方法一　由图可知，T＝－＝π，即T＝，

∴ω＝＝3.∴y＝2sin（3x＋φ），

将（，0）代入上式sin（＋φ）＝0.

∴＋φ＝kπ，k∈Z，则φ＝kπ－.

∴f（）＝2sin（＋kπ－）＝0.

方法二　由图可知，T＝－＝π，即T＝.

又由正弦图象性质可知，若f（x0）＝f（x0＋）＝0，∴f（）＝f（＋）＝f（）＝0.

16．8

解析　

T＝6，则≤t，

∴t≥，∴tmin＝8.

17．解　y＝3－4sinx－4cos2x＝4sin2x－4sinx－1

＝42－2，令t＝sinx，则－1≤t≤1，

∴y＝42－2（－1≤t≤1）．

∴当t＝，即x＝＋2kπ或x＝＋2kπ（k∈Z）时，

ymin＝－2；

当t＝－1，即x＝＋2kπ（k∈Z）时，ymax＝7.

18．解　∵x∈，∴2x＋∈，

∴－1≤cos≤.

当a>0，cos＝时，y取得最大值a＋3，

∴a＋3＝4，∴a＝2.

当a<0，cos＝－1时，y取得最大值－a＋3，

∴－a＋3＝4，∴a＝－1，

综上可知，实数a的值为2或－1.

19．解　

（1）将x＝0，y＝代入函数y＝2cos（ωx＋θ）中，得cosθ＝，

因为0≤θ≤，所以θ＝.

由已知T＝π，且ω>0，得ω＝＝＝2.

（2）因为点A（，0），Q（x0，y0）是PA的中点，

y0＝，所以点P的坐标为（2x0－，）．

又因为点P在y＝2cos（2x＋）的图象上，且≤x0≤π，

所以cos（4x0－）＝，且≤4x0－≤，

从而得4x0－＝，或4x0－＝，即x0＝，或x0＝.

20．解　

（1）f（α）＝＝＝cosα.

（2）∵cos＝cos＝－sinα，

又cos＝，∴sinα＝－.

又α是第三象限角，

∴cosα＝－＝－，

∴f（α）＝－.

（3）f（α）＝f（－1860°）＝cos（－1860°）＝cos1860°＝cos（5×360°＋60°）＝cos60°＝.

21．解　

（1）由最低点为M得A＝2.

由x轴上相邻两个交点之间的距离为，

得＝，即T＝π，∴ω＝＝＝2.

由点M在图象上得2sin＝－2，

即sin＝－1，

故＋φ＝2kπ－（k∈Z），

∴φ＝2kπ－（k∈Z）．

又φ∈，∴φ＝，

故f（x）＝2sin.

（2）∵x∈，∴2x＋∈，

当2x＋＝，即x＝时，f（x）取得最大值2；

当2x＋＝，即x＝时，f（x）取得最小值－1，

故f（x）的值域为[－1,2]．

22．解　

（1）由图象易知函数f（x）的周期为

T＝4×＝2π，A＝1，所以ω＝1.

方法一　由图可知此函数的图象是由y＝sinx的图象向左平移个单位得到的，故φ＝，

所以函数解析式为f（x）＝sin.

方法二　由图象知f（x）过点，则sin＝0，∴－＋φ＝kπ，k∈Z.

∴φ＝kπ＋，k∈Z，

又∵φ∈，∴φ＝，

∴f（x）＝sin.

（2）方程f（x）＝a在上有两个不同的实根等价于y＝f（x）与y＝a的图象在上有两个交点，在图中作y＝a的图象，如图为函数f（x）＝sin在上的图象，当x＝0时，f（x）＝，当x＝时，f（x）＝0，由图中可以看出有两个交点时，a∈∪（－1,0）．