高考数学一轮复习配套讲义第5篇 第1讲 数列的概念与简单表示法.docx

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高考数学一轮复习配套讲义第5篇第1讲数列的概念与简单表示法

第1讲　数列的概念与简单表示法

[最新考纲]

1．了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）．

2．了解数列是自变量为正整数的一类函数.

知识梳理

1．数列的概念

（1）数列的定义

按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为这个数列的第1项，通常也叫做首项．

（2）数列的通项公式

如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．

（3）数列的前n项和

在数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列的前n项和．

2．数列的表示方法

（1）表示方法

列表法

列表格表达n与f（n）的对应关系

图象法

把点（n，f（n））画在平面直角坐标系中

公

式

法

通项公式

把数列的通项使用通项公式表达的方法

递推

公式

使用初始值a1和an＋1＝f（an）或a1，a2和an＋1＝f（an，an－1）等表达数列的方法

（2）数列的函数特征：

上面数列的三种表示方法也是函数的表示方法，数列可以看作是定义域为正整数集（或它的有限子集{1,2，…，n}的函数an＝f（n））当自变量由小到大依次取值时所对应的一列函数值．

*

3．数列的分类

分类原则

类型

满足条件

按项数分类

有穷数列

项数有限

无穷数列

项数无限

单

调

性

递增数列

an＋1＞an

其中

n∈N*

递减数列

an＋1＜an

常数列

an＋1＝an

摆动数列

从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列

周期性

∀n∈N*，存在正整数常数k，an＋k＝an

4.an与Sn的关系

若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝

辨析感悟

1．对数列概念的认识

（1）数列1,2,3,4,5,6与数列6,5,4,3,2,1表示同一数列．（×）

（2）1,1,1,1，…不能构成一个数列．（×）

2．对数列的性质及表示法的理解

（3）（教材练习改编）数列1,0,1,0,1,0，…的通项公式，只能是an＝.（×）

（4）任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．（×）

（5）（·开封模拟改编）已知Sn＝3n＋1，则an＝2·3n－1.（×）

[感悟·提升]

1．一个区别　“数列”与“数集”

数列与数集都是具有某种属性的数的全体，数列中的数是有序的，而数集中的元素是无序的，同一个数在数列中可以重复出现，而数集中的元素是互异的，如

（1）、

（2）．

2．三个防范　一是注意数列不仅有递增、递减数列，还有常数列、摆动数列，如（4）．

二是数列的通项公式不唯一，如（3）中还可以表示为an＝

三是已知Sn求an时，一定要验证n＝1的特殊情形，如（5）.

学生用书第79页

考点一　由数列的前几项求数列的通项

【例1】根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：

（1）－1,7，－13,19，…；

（2），，，，，…；

（3），2，，8，，…；

（4）5,55,555,5555，….

解　

（1）偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式（－1）n，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为an＝（－1）n（6n－5）．

（2）这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积．知所求数列的一个通项公式为an＝.

（3）数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察．即，，，，，…，从而可得数列的一个通项公式为an＝.

（4）将原数列改写为×9，×99，×999，…，易知数列9,99,999，…的通项为10n－1，

故所求的数列的一个通项公式为an＝（10n－1）．

规律方法根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：

分式中分子、分母的各自特征；相邻项的变化特征；拆项后的各部分特征；符号特征．应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想．

【训练1】根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：

（1），，－，，－，，…；

（2），1，，，….

解　

（1）各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－，原数列可化为－，，－，，…，因此可得数列的一个通项公式为an＝（－1）n·.

（2）将数列统一为，，，，…，对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn＝2n＋1，对于分母2,5,10,17，…，联想到数列1,4,9,16，…，即数列{n2}，可得分母的通项公式为cn＝n2＋1，因此可得数列的一个通项公式为an＝.

考点二　由an与Sn的关系求通项an

【例2】（·广东卷节选）设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝1，＝an＋1－n2－n－，n∈N*.

（1）求a2的值；

（2）求数列{an}的通项公式．

解　

（1）依题意，2S1＝a2－－1－，

又S1＝a1＝1，所以a2＝4；

（2）由题意2Sn＝nan＋1－n3－n2－n，

所以当n≥2时，

2Sn－1＝（n－1）an－（n－1）3－（n－1）2－（n－1）

两式相减得2an＝nan＋1－（n－1）an－（3n2－3n＋1）－（2n－1）－，

整理得（n＋1）an－nan＋1＝－n（n＋1），

即－＝1，又－＝1，

故数列是首项为＝1，公差为1的等差数列，

所以＝1＋（n－1）×1＝n，所以an＝n2.

规律方法给出Sn与an的递推关系，求an，常用思路是：

一是利用Sn－Sn－1＝an（n≥2）转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.

【训练2】设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn－n2，n∈N*.

（1）求a1的值；

（2）求数列{an}的通项公式．

解　

（1）令n＝1时，T1＝2S1－1，

∵T1＝S1＝a1，∴a1＝2a1－1，∴a1＝1.

（2）n≥2时，Tn－1＝2Sn－1－（n－1）2，

则Sn＝Tn－Tn－1＝2Sn－n2－[2Sn－1－（n－1）2]

＝2（Sn－Sn－1）－2n＋1＝2an－2n＋1.

因为当n＝1时，a1＝S1＝1也满足上式，

所以Sn＝2an－2n＋1（n≥1），

当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2（n－1）＋1，

两式相减得an＝2an－2an－1－2，

所以an＝2an－1＋2（n≥2），所以an＋2＝2（an－1＋2），

因为a1＋2＝3≠0，

所以数列{an＋2}是以3为首项，公比为2的等比数列．

所以an＋2＝3×2n－1，∴an＝3×2n－1－2，

当n＝1时也成立，

所以an＝3×2n－1－2.

学生用书第80页

考点三　由递推公式求数列的通项公式

【例3】在数列{an}中，

（1）若a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则通项an＝________；

（2）若a1＝1，an＋1＝3an＋2，则通项an＝________.

审题路线　

（1）变形为an＋1－an＝n＋1⇒用累加法，即an＝a1＋（a2－a1）＋（a3－a2）＋…＋（an－an－1）⇒得出an.

（2）变形为an＋1＋1＝3（an＋1）⇒再变形为＝⇒用累乘法或迭代法可求an.

解析　

（1）由题意得，当n≥2时，an＝a1＋（a2－a1）＋（a3－a2）＋…＋（an－an－1）＝2＋（2＋3＋…＋n）＝2＋＝＋1.

又a1＝2＝＋1，符合上式，

因此an＝＋1.

（2）an＋1＝3an＋2，即an＋1＋1＝3（an＋1），即＝3，

法一　＝3，＝3，＝3，…，＝3.将这些等式两边分别相乘得＝3n.

因为a1＝1，所以＝3n，即an＋1＝2×3n－1（n≥1），所以an＝2×3n－1－1（n≥2），又a1＝1也满足上式，故an＝2×3n－1－1.

法二　由＝3，即an＋1＋1＝3（an＋1），

当n≥2时，an＋1＝3（an－1＋1），

∴an＋1＝3（an－1＋1）＝32（an－2＋1）＝33（an－3＋1）＝…＝3n－1（a1＋1）＝2×3n－1，

∴an＝2×3n－1－1；

当n＝1时，a1＝1＝2×31－1－1也满足．

∴an＝2×3n－1－1.

答案　

（1）＋1　

（2）2×3n－1－1

规律方法数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：

①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．

【训练3】设{an}是首项为1的正项数列，且（n＋1）a－na＋an＋1·an＝0（n＝1,2,3，…），则它的通项公式an＝________.

解析　∵（n＋1）a＋an＋1·an－na＝0，

∴（an＋1＋an）[（n＋1）an＋1－nan]＝0，

又an＋1＋an＞0，∴（n＋1）an＋1－nan＝0，

即＝，∴····…·＝××××…×，∴an＝.

答案　

1．求数列通项或指定项，通常用观察法（对于交错数列一般用（－1）n或（－1）n＋1来区分奇偶项的符号）；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法．

2．由Sn求an时，an＝注意验证a1是否包含在后面an的公式中，若不符合要单独列出，一般已知条件含an与Sn的关系的数列题均可考虑上述公式．

3．已知递推关系求通项：

对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握．一般有三种常见思路：

（1）算出前几项，再归纳、猜想；

（2）“an＋1＝pan＋q”这种形式通常转化为an＋1＋λ＝p（an＋λ），由待定系数法求出λ，再化为等比数列；

（3）利用累加、累乘法或迭代法可求数列的通项公式．　　　　　　　　　　　　　　　　　

思想方法4——用函数的思想解决数列问题

【典例】（·新课标全国Ⅱ卷）等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则nSn的最小值为________．

解析　由题意及等差数列的性质，

知a1＋a10＝0，a1＋a15＝.

两式相减，得a15－a10＝＝5d，所以d＝，a1＝－3.

所以nSn＝n·[na1＋d]＝.

令f（x）＝，x＞0，

则f′（x）＝x（3x－20），由函数的单调性，可知函数f（x）在x＝时取得最小值，检验n＝6时，6S6＝－48，而n＝7时，7S7＝－49，故nSn的最小值为－49.

答案　－49

[反思感悟]

（1）本题求出的nSn的表达式可以看做是一个定义在正整数集N*上的三次函数，因此可以采用导数法求解．

（2）易错分析：

由于n为正整数，因而不能将代入求最值，这是考生容易忽略而产生错误的地方．

【自主体验】

1．设an＝－3n2＋15n－18，则数列{an}中的最大项的值是

（　　）．

A.B.

C．4D．0

解析　∵an＝－32＋，由二次函数性质，得当n＝2或3时，an最大，最大为0.

答案　D

2．已知{an}是递增数列，且对于任意的n∈N*，an＝n2＋λn恒成立，则实数λ的取值范围是________．

解析　设f（n）＝an＝n2＋λn，其图象的对称轴为直线n＝－，要使数列{an}为递增数列，只需使定义在正整数上的函数f（n）为增函数，故只需满足－＜，即λ＞－3.

答案　（－3，＋∞）

对应学生用