六年级奥数杂题构造与论证ABC级学生版Word格式.docx

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【巩固】在2009张卡片上分别写着数字1、2、3、4、……、2009，现在将卡片的顺序打乱，让空白面朝上，并在空白面上又分别写上1、2、3、4、……、2009．然后将每一张卡片正反两个面上的数字相加，再将这2009个和相乘，所得的积能否确定是奇数还是偶数？

【例2】在某市举行的一次乒乓球邀请赛上，有3名专业选手与3名业余选手参加.比赛采用单循环方式进行，就是说每两名选手都要比赛一场．为公平起见，用以下方法记分：

开赛前每位选手各有10分作为底分，每赛一场，胜者加分，负者扣分，每胜专业选手一场加2分，每胜业余选手一场加1分；

专业选手每负一场扣2分，业余选手每负一场扣1分．问：

一位业余选手最少要胜几场，才能确保他的得分比某位专业选手高?

【巩固】n支足球队进行比赛，比赛采用单循环制，即每对均与其他各队比赛一场.现规定胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分.如果每一队至少胜一场，并且所有各队的积分都不相同，问：

（1）n=4是否可能？

（2）n=5是否可能？

【例3】如图35-1，将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数分别填入图中的10个圆圈内，使任意连续相邻的5个圆圈内的各数之和均不大于某个整数M.求M的最小值并完成你的填图.

【巩固】如图，在时钟的表盘上任意作

个

的扇形，使得每一个扇形都恰好覆盖

个数，且每两个扇形覆盖的数不全相同，求证：

一定可以找到

个扇形，恰好覆盖整个表盘上的数．并举一个反例说明，作

个扇形将不能保证上述结论成立．

【例4】在1997×

1997的正方形棋盘上的每格都装有一盏灯和一个按钮．按钮每按一次，与它同一行和同一列方格中的灯泡都改变一次状态，即由亮变为不亮，或由不亮变为亮．如果原来每盏灯都是不亮的，请说明最少需要按多少次按钮才可以使灯全部变亮?

【例5】1998名运动员的码依次为1至1998的自然数．现在要从中选出若干名运动员参加仪仗队，使得剩下的运动员中没有一个人的码等于另外两人的码的乘积．那么，选为仪仗队的运动员最少有多少人?

【巩固】一组互不相同的自然数，其中最小的数是1，最大的数是25，除1之外，这组数中的任一个数或者等于这组数中某一个数的2倍，或者等于这组数中某两个数之和.问：

这组数之和的最小值是多少?

当取到最小值时，这组数是怎样构成的?

【例6】2004枚棋子，每次可以取1、3、4、7枚，最后取的获胜。

甲、乙轮流取，如果甲先取，如何才能保证赢？

【巩固】桌子上放着55根火柴，甲、乙二人轮流每次取走1～3根．规定谁取走最后一根火柴谁获胜．如果双方采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？

【巩固】桌子上放着55根火柴，甲、乙二人轮流每次取走1～3根．规定谁取走最后一根火柴谁输．如果双方采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？

【例7】桌上有两堆棋子，分别有12粒和28粒，甲乙两人轮流从其中的一堆里取出若干粒，不能同时在两堆中都取，也不能不取．且取出的棋子数必须是另一堆棋子数的约数．取到最后一粒者为胜．如果甲先取，____________采用正确的策略，必胜．

【巩固】有两堆火柴，一堆35根，另一堆24根．两人轮流在其中任一堆中拿取,取的根数不限,但不能不取.规定取得最后一根者为胜者.如果都采用最佳方法，那么谁将获胜？

【例8】小明的左衣袋和右衣袋中分别装有6枚和8枚硬币，并且两衣袋中硬币的总钱数相等。

当任意从左边衣袋取出两个硬币与右边衣袋的任意两个硬币交换时，左边衣袋的钱总数要么比原来的钱数多2分，要么比原来的钱数少2分，那么两个衣袋中共有多少分钱？

【例9】在10×

19方格表的每个方格内，写上0或1，然后算出每行及每列的各数之和．问最多能得到多少个不同的和数?

【例10】在8×

8的国际象棋盘上最多能够放置多少枚棋子，使得棋盘上每行、每列及每条斜线上都有偶数枚棋子?

【巩固】【巩固】在下图中有16个黑点，它们排成了一个4×

4的方阵．用线段连接其中4点，就可以画出各种不同的正方形．现在要去掉某些点，使得其中任意4点都不能连成正方形，那么最少要去掉多少个点?

【例11】用数字0和1组成的88个数围成一圈，使得其中任意连续的32个数中最多有9个1。

求证:

这88个数中至多有24个1。

二、染色与赋值问题

【例12】某学校的学生中，没有一个学生读过学校图书馆的所有图书，又知道图书馆内任何两本书都至少被一个同学都读过．问：

能否找到两个学生甲、乙和三本书4、B、C，使得甲读过A、B，没读过C，乙读过B、C，没读过A?

说明判断过程．

【巩固】4个人聚会，每人各带2件礼品，分赠给其余3个人中的2人．试证明：

至少有2对人，每对人是互赠过礼品的．

【例13】有9位数学家，每人至多能讲3种语言，每3个人中至少有2个人有共通的语言.求证：

在这些数学家中至少有3人能用同一种语言交谈。

【例14】将5×

9的长方形分成10个边长为整数的长方形．证明：

无论怎样分法．分得的长方形中必有两个是完全相同的．

【巩固】将15×

15的正方形方格表的每个格涂上红色、蓝色或绿色．证明：

至少可以找到两行，这两行中某一种颜色的格数相同．

【例15】在一个6×

6的方格棋盘中，将若干个1×

1的小方格染成红色．如果随意划掉3行3列，在剩下的小方格中必定有一个是红色的．那么最少要涂多少个方格?

【巩固】如图，把正方体的6个表面剖分成9个相等的正方形．现用红、黄、蓝3种颜色去染这些小正方形，要求有公共边的正方形所染的颜色不同．那么染成红色的正方形的个数最多是多少个?

【例16】试着把边长为

的这99个小正方形不重叠地放入1个边长为l的正方形内。

能做到就画出一种放法，不能，请说明理由。

【例17】有10个整数克的砝码（允许砝码重量相同），将其中一个或几个放在天平的右边，待称的物品放在天平的左边，能称出1，2，3，…，200的所有整数克的物品来；

那么，这10个砝码中第二重的砝码最少是______克．

【例18】小明和8个好朋友去李老师家玩．李老师给每人发了一顶帽子，并在每个人的帽子上写了一个两位数，这9个两位数互不相同，且每个小朋友只能看见别人帽子上的数．老师在纸上又写了一个数A，问这9位同学：

“你知不知道自己帽子上的数能否被A整除？

知道的请举手．”结果有4人举手．老师又问：

“现在你知不知道自己帽子上的数能否被24整除？

知道的请举手．”结果有6人举手．已知小明两次都举手了，并且这9个小朋友都足够聪明且从不说谎，那么小明看到的别人帽子上的8个两位数的总和是　　　．

【随练1】在黑板上写上

、

、……、

，按下列规定进行“操怍”：

每次擦去其中的任意两个数

和

，然后写上它们的差（大数减小数），直到黑板上剩下一个数为止．问黑板上剩下的数是奇数还是偶数？

为什么？

【随练2】在平面上有7个点，其中任意3个点都不在同一条直线上．如果在这7个点之字连结18条线段，那么这些线段最多能构成多少个三角形？

【随练3】证明：

在6×

6×

6的正方体盒子中最多可放入52个1×

l×

4的小长方体，这里每个小长方体的面都要与盒子的侧面平行．

【作业1】将1、2、3、4、5、6写在一个圆周上，然后把圆周上连续三个数之和写下来，则可以得到六个数

，将这六个数中最大的记为

．请问在所有填写方式中，

的最小值是什么？

【作业2】吝啬的卖酒老板老钱招聘卖酒伙计，他只给伙计两个分别为5升和3升的盛酒杯，要求满足所有顾客的买酒需求（当然顾客只需要整数升的酒），这下难倒了很多前来应聘的人，可是有一个聪明的放牛娃娃却做到了，你知道放牛娃娃是怎么样卖出一升酒的吗？

【作业3】黑板上写着一排相连的自然数1，2，3，…，51．甲、乙两人轮流划掉连续的3个数．规定在谁划过之后另一人再也划不成了，谁就算取胜．问：

甲有必胜的策略吗？

【作业4】1111个空格排成一行，最左端空格中放有一枚棋子，甲先乙后轮流向右移动棋子，每次移动1～7个格．规定将棋子移到最后一格者输．甲为了获胜，第一步必须向右移多少格？

【作业5】售货员把29个乒乓球分装在5个盒子里，使得只要顾客所买的乒乓个数小于30，他总可以恰好把其中的一盒或几盒卖出，而不必拆盒。

问这5个盒子里分别装着多少个乒乓球？

【作业6】如图，圆周上顺序排列着1，2，3，……，12这12个数。

我们规定：

把圆周上某相邻4个数的顺序颠倒过来，称为一次变换，例如1，2，3，4可变为4，3，2，1，而11，12，1，2可变为2，1，12，11。

问能否经过有限变换，将12个数的顺序变为如图10-4所示的9，1，2，3，……，8，10，11，12？

【作业7】一城镇共有5000户居民，每户居民的小孩都不超过两个。

其中一部分家庭每户有一个小孩，余下家庭的一半每户有两个小孩，则此城镇共有个小孩。

学生对本次课的评价

○特别满意○满意○一般

家长意见及建议

家长签字：