第3章图象变换技术.docx
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第3章图象变换技术
第3章图象变换技术
3.1傅里叶变换
为了有效地和快速地对图象进行处理和分析，常常需要将原定义在图象空间的图象以某种形式转换到另外一些空间（正变换），并利用在这些空间的特有性质方便地进行一定的加工，最后再转换回图象空间以得到所需的效果（反变换或逆变换）。
1.1-D傅里叶变换
先考虑1-D傅里叶变换。
对1个连续函数f（x等间隔采样可得到1个离散序列。
设共采了N个样，则这个离散序列可表示为{f（0，f（1，f（2，…，f（N–1}。
借助这种表达，并令x为离散实变量，u为离散频率变量，可将离散傅里叶变换对定义为：
上式中的指数项可借助欧拉公式写为：
每个u值都确定所对应的正弦和余弦对的频率，所以称为频率变量。
2.2-D傅里叶变换
图象的2-D傅里叶变换为：
例图象函数和傅里叶频谱的显示
下图（a给出一个简单2-D图象函数的透视图，这里有Z=f（x,y。
这个函数在以原点为中心的一个正方形内为正值常数，而在其它地方为零。
图（b是它的灰度图（这里是二值图）显示。
图（c给出这个2-D图象函数傅里叶频谱幅度的灰度图显示。
（a（b（c
例实际图象的傅里叶频谱
下图给出两幅实际图象和他们的傅里叶频谱图。
图（a的图象反差比较柔和，反映在傅里叶频谱上低频分量较多，频谱图中心值较大（中心为频域原点）。
图（b的图象中有较规则的线状物，反映在傅里叶频谱上也有比较明显的射线状条带。
（a（b
演示:
2-D傅立叶变换频谱
3.1傅里叶变换练习（ABD
3.3快速傅里叶变换
一种称为逐次加倍法的快速傅里叶变换算法介绍如下。
将傅里叶变换写成：
其中：
设N为2的正整数次幂，令M为正整数，且：
并定义：
就可将傅里叶变换简化为：
上两式表明1个N点的变换可通过将原始表达式分成两半来计算，这个分解可迭代进行。
实现该算法的关键是将输入数据排列成满足连续运用上两式的次序。
例输入数据排序
要计算1个8点{f（0,f（1,…,f（7}的快速傅里叶变换，需要将它们排列成{f（0,f（4,f（2,f（6,f（1,f（5,f（3,f（7}，见下图。
3.3快速傅里叶变换练习（B
3.4沃尔什变换
1.可分离变换
1-D可分离变换的一般形式可用下式表示：
其中T（u为f（x的变换，g（x,u称为正向变换核。
同理，反变换可表示为：
其中h（x,u称为反向变换核。
对2-D的情况，正变换和反变换可分别表示为：
同样，g（x,y,u,v和h（x,y,u,v分别称为正向变换核和反向变换核。
2.可分离变换的性质
可分离变换有一些共同特点。
以下以正向变换核为例讨论一些对正向变换核和反向变换核都适用的性质。
如果下式成立：
则称变换核是可分离的。
进一步如果g1与g2的函数形式一样，则称变换核是对称的。
此时有：
具有可分离变换核的2-D变换都可分成2个步骤计算，每个步骤用1个1-D变换。
首先沿f（x,y的每1列进行1-D变换得到：
然后沿T（x,v的每1行进行1-D变换得到：
3.1-D沃尔什变换
沃尔什（Walsh）变换是一种可分离变换。
当N=2n时，变换核为：
离散沃尔什变换W（u为：
bk（z是z的二进制表达中的第k位。
例如n=3，则对z=6（1102），有b0（z=0，b1（z=1，b2（z=1。
例沃尔什变换核的值
下表给出N=8时1-D的沃尔什变换核的值（常数1/N略去，+1或–1只用+或–表示）。
0
1
2
3
4
5
6
7
0
+
+
+
+
+
+
+
+
1
+
+
+
+
–
–
–
–
2
+
+
–
–
+
+
–
–
3
+
+
–
–
–
–
+
+
4
+
–
+
–
+
–
+
–
5
+
–
+
–
–
+
–
+
6
+
–
–
+
+
–
–
+
7
+
–
–
+
–
+
+
–
由沃尔什变换核组成的矩阵是一个对称矩阵并且其行和列正交（即各行向量与各列向量的内积为0，互相独立）。
这些性质表明反变换核与正变换核只差1个常数1/N，即：
所以离散沃尔什反变换为：
4.2-D沃尔什变换
2-D的沃尔什正变换核和反变换核由以下2式给出：
这2个核完全相同，所以下面2式给出的2-D沃尔什正变换和反变换也具有相同形式：
沃尔什变换可用类似于FFT的算法快速地计算，只需将那里的指数项设为1即可。
快速沃尔什变换简写为FWT。
例沃尔什变换基本函数
正向变换核和反向变换核均只依赖于x,y,u,v而与f（x,y或F（u,v的值无关。
这些核可看作1组基本函数，一旦图象尺寸确定这些函数也完全确定。
下图给出N=4时沃尔什基本函数的图示，其中白色表示1，而阴影表示–1。
每个大方块对应固定的u和v，内部小方块对应的x和y从0变到3。
3.4沃尔什变换练习（B
3.5哈达玛变换
哈达玛（Hadamard）变换也是一种可分离变换。
2-D的哈达玛正变换核和反变换核由以下2式给出：
其中指数上的求和是以2为模的。
这2个核完全相同，所以下面2式：
给出的2-D的哈达玛正变换和反变换也具有相同形式。
哈达玛正变换核和反变换核都是可分离的和对称的。
由：
可知，2-D的哈达玛正变换和反变换都可分成2个步骤计算，每个步骤用1个1-D变换实现。
例哈达玛变换核的值
下表给出N=8时1-D的哈达玛变换核的值（常数1/N略去）。
0
1
2
3
4
5
6
7
0
+
+
+
+
+
+
+
+
1
+
–
+
–
+
–
+
–
2
+
+
–
–
+
+
–
–
3
+
–
–
+
+
–
–
+
4
+
+
+
+
–
–
–
–
5
+
–
+
–
–
+
–
+
6
+
+
–
–
–
–
+
+
7
+
–
–
+
–
+
+
–
最小阶（N=2）的哈达玛矩阵是：
如果用HN代表N阶矩阵，下式给出计算高阶哈达玛矩阵的迭代关系：
例哈达玛变换基本函数
下图给出N=4时的哈达玛基本函数的图示。
3.5哈达玛变换练习（B
3.6离散余弦变换
2-D离散余弦变换（DCT）和其反变换由以下2式定义：
其中a（u由下式定义：
2-DDCT的正变换核表达式为：
DCT的变换核具有可分离性和对称性，即
例离散余弦变换基本函数
下图给出N=4时DCT基本函数的图示（不同阴影代表不同数值）。
例离散余弦变换示例
下两图给出离散余弦变换的一个示例，其中左图是一幅原始图象，右图是对左图的离散余弦变换结果（变换幅值）。
右图左上角对应低频分量，由图可见，左图中的大部分能量在低频部分。
3.6离散余弦变换练习（AB
3.7小波变换
对实函数u（t来说，如果它的傅里叶变换U（s满足下式：
那么就称u（t为“基小波”。
对基小波进行平移和放缩可得到一组小波基函数{Us,p（t}，也称积分核：
其中尺度参数s为正实数，指示某个小波基函数的宽度，定位参数p为实数，指示沿t轴的平移位置。
函数f（t的相对于小波u（t的连续小波正变换和反变换分别为
小波变换具有时间-频率都局部化的特点。
在小波变换中，时间窗函数的宽度与频率（变换域）窗函数的宽度都是s的函数，其乘积根据“测不准原理”是一个常数。
在对低频分析时可加宽时间窗，减小频率窗；而对高频分析时可加宽频率窗，减小时间窗。
这可以借助下图来解释，图中每个窗口的面积是个常数，对应较高频率的窗比较窄（时间范围小）但比较高（频率范围大）；而对应较低频率的窗比较宽（时间范围大）但比较低（频率范围小）。
例图象的二级小波分解示意
下图将2-D图象在每个尺度上分解为四个频道，即LL，HL，LH，HH。
这也称为金字塔结构小波分解。
一般所说的小波变换常仅对低通滤波器的输出递归进行，如图左上角。
例图象的多级小波分解示例
下图给出对两幅图象进行三级小波分解得到的结果。
最左上角的是一个低频子图象，它是原图象在低分辨率上的一个近似，其余各个不同分辨率的子图象均是高频子图象，它们在不同的分辨率和不同的方向上反映了原图象的高频细节。
其中在各个LH频道，主要结构均是沿水平方向的，反映了图象中的水平边缘情况；在各个HL频道，主要结构均是沿垂直方向的，反映了图象中的垂直边缘情况；而在各个HH频道，沿水平方向的和沿垂直方向的高频细节均有体现。
3.7小波变换练习（AC
3.8霍特林变换
霍特林（Hotelling）变换也常称为特征值变换、主分量变换或离散KL变换，它基于图象的统计特性。
设从同一个随机母体得到了M个矢量采样，则其均值矢量和协方差矩阵可分别由以下2式利用采样来近似：
例协方差矩阵计算示例
设有1组随机矢量x=[x1x2x3]T，其中x1=[001]T，x2=[010]T，x3=[100]T，均值矢量为：
协方差矩阵为
现令ei和⎣i（i=1,2,…,N分别为Cx的特征矢量和对应的特征值，并且这些特征值单调排列，即⎣i≥⎣i+1（i=1,2,…,N–1。
再令A为由Cx的特征矢量组成其各行的矩阵，并且A的第1行为对应最大特征值的特征矢量，A的最后1行为对应最小特征值的特征矢量。
如果设A是将x转换为y的变换矩阵，则：
上式就称为霍特林变换
例利用霍特林变换对角化的例子
将左图的物体看作1个2-D分布，则其上每个点都用1个2-D矢量表示为x=[a,b]T，其中a和b是物体上该点对应x1和x2轴的坐标值。
用霍特林变换将x映射到y实际上是建立了1个新的坐标系，其坐标轴在Cx的特征矢量方向上（如中图所示）。
借助这个坐标系可看出，变换是1个将物体沿特征矢量对齐的旋转变换（如右图所示），这个变换将数据解除了相关。
3.8霍特林变换练习（C
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