8份高考数学人教A版理科一轮复习练习第8章 立体几何Word格式.docx
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要使三棱锥O-ABC即C-OAB的体积最大,当且仅当点C到平面OAB的距离,即三棱锥C-OAB底面OAB上的高最大,其最大值为球O的半径R,则VO-ABC最大=VC-OAB最大=×
S△OAB×
R=×
R2×
R=R3=36,所以R=6,得S球O=4πR2=4π×
62=144π,选C.
5.(2015·
全国Ⅰ卷)
《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:
“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺,问:
积及为米几何?
”其意思为:
“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?
”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有( )
A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛
解+析 由题意知:
米堆的底面半径为(尺),体积V=×
πR2·
h≈(立方尺).所以堆放的米大约为≈22(斛).
二、填空题
6.
如图所示,E,F分别为正方体ABCD-A1B1C1D1的面ADD1A1、面BCC1B1的中心,则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影可能是________(填序号).
解+析 由正投影的定义,四边形BFD1E在面AA1D1D与面BB1C1C上的正投影是图③;
其在面ABB1A1与面DCC1D1上的正投影是图②;
其在面ABCD与面A1B1C1D1上的正投影也是②,故①④错误.
答案 ②③
7.(2016·
哈尔滨、长春、沈阳、大连四市联考)
如图,半球内有一内接正四棱锥S-ABCD,该四棱锥的体积为,则该半球的体积为________.
解+析 设所给半球的半径为R,则棱锥的高h=R,底面正方形中有AB=BC=CD=DA=R,∴其体积为R3=,则R3=2,于是所求半球的体积为V=πR3=π.
答案 π
8.在三棱锥P-ABC中,D,E分别为PB,PC的中点,记三棱锥D-ABE的体积为V1,P-ABC的体积为V2,则=________.
如图,设点C到平面PAB的距离为h,△PAB的面积为S,则V2=Sh,V1=VE-ADB=×
S×
h=Sh,所以=.
答案
三、解答题
9.如图是一个几何体的正视图和俯视图.
(1)试判断该几何体是什么几何体;
(2)画出其侧视图,并求该平面图形的面积;
(3)求出该几何体的体积.
解
(1)正六棱锥.
(2)其侧视图如图:
其中AB=AC,AD⊥BC,且BC的长是俯视图中的正六边形对边的距离,即BC=a,AD的长是正六棱锥的高,即AD=a,
∴该平面图形的面积S=a·
a=a2.
(3)V=×
6×
a2×
a=a3.
10.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,
AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.
(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);
(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.
解
(1)交线围成的正方形EHGF如图:
(2)作EM⊥AB,垂足为M,则AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.因为EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH==6,AH=10,HB=6.
故S四边形A1EHA=×
(4+10)×
8=56,
S四边形EB1BH=×
(12+6)×
8=72.
因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱,所以其体积的比值为(也正确).
能力提升题组
20分钟)
11.(2016·
郑州质量预测)如图所示是一个几何体的三视图,则这个几何体外接球的表面积为( )
A.8πB.16πC.32πD.64π
解+析 由三视图可知此几何体为一横放的四棱锥,其底为边长为4的正方形,高为2,其中平面SAB⊥平面ABCD,易知SA=SB=2,故可补全为以DA、SA、SB为棱的长方体,故2R===4,∴R=2,∴S表=4πR2=32π.
12.
如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为( )
A.6B.4
C.6D.4
如图,设辅助正方体的棱长为4,三视图对应的多面体为三棱锥A-BCD,最长的棱为AD==6,选C.
13.已知球的直径SC=4,A,B是该球球面上的两点,AB=,∠ASC=∠BSC=30°
,则棱锥S-ABC的体积为________.
解+析 由题意知,如图所示,在棱锥S-ABC中,△SAC,△SBC都是有一个角为30°
的直角三角形,其中SC=4,所以SA=SB=2,AC=BC=2,作BD⊥SC于D点,连接AD,易证SC⊥平面ABD,又易得AD=BD=,由已知AB=,
因此VS-ABC=×
()2×
4=.
14.
如图,在三棱锥A-BCD中,AB⊥平面BCD,CD⊥BD.
(1)求证:
CD⊥平面ABD;
(2)若AB=BD=CD=1,M为AD中点,求三棱锥A-MBC的体积.
法一
(1)证明 ∵AB⊥平面BCD,CD⊂平面BCD,
∴AB⊥CD.
又∵CD⊥BD,AB∩BD=B,
AB⊂平面ABD,BD⊂平面ABD,
∴CD⊥平面ABD.
(2)解 由AB⊥平面BCD,BD⊂平面BCD,得AB⊥BD,
∵AB=BD=1,∴S△ABD=.
∵M是AD的中点,∴S△ABM=S△ABD=.
由
(1)知,CD⊥平面ABD,
∴三棱锥C-ABM的高h=CD=1,因此三棱锥A-MBC的体积VA-MBC=VC-ABM=S△ABM·
h=.
法二
(1)证明 同法一.
(2)解 由AB⊥平面BCD且AB⊂平面ABD知,
平面ABD⊥平面BCD,
又平面ABD∩平面BCD=BD,
如图,过点M作MN⊥BD交BD于点N,则MN⊥平面BCD,
且MN=AB=,
又CD⊥BD,BD=CD=1,∴S△BCD=.
∴三棱锥A-MBC的体积VA-MBC=VA-BCD-VM-BCD
=AB·
S△BCD-MN·
S△BCD=.
1.在下列命题中,不是公理的是( )
A.平行于同一个平面的两个平面相互平行
B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面
C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内
D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共
直线
解+析 选项A是面面平行的性质定理,是由公理推证出来的.
答案 A
2.(2016·
江西七校联考)已知直线a和平面α,β,α∩β=l,a⊄α,a⊄β,且a在α,β内的射影分别为直线b和c,则直线b和c的位置关系是( )
A.相交或平行B.相交或异面
C.平行或异面D.相交、平行或异面
解+析 依题意,直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面,选D.
3.在正方体AC1中,E,F分别是线段BC,CD1的中点,则直线A1B与直线EF的位置关系是( )
A.相交B.异面C.平行D.垂直
解+析 如图所示,
直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1,EF⊂平面A1BCD1,且两直线不平行,故两直线相交.
4.(2016·
深圳调研)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q,R分别是AB,AD,B1C1的中点,那么正方体的过P,Q,R的截面图形是( )
A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形
如图所示,作RG∥PQ交C1D1于G,连接QP并延长与CB延长线交于M,且QP反向延长线与CD延长线交于N,连接MR交BB1于E,连接PE,则PE,RE为截面与正方体的交线,同理连接NG交DD1于F,连接QF,FG,则QF,FG为截面与正方体的交线,∴截面为六边形PQFGRE.
5.(2016·
哈尔滨一模)如图,
在四棱锥P-ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°
,BC=2AD,△PAB和△PAD都是等边三角形,则异面直线CD与PB所成角的大小为( )
A.90°
B.75°
C.60°
D.45°
解+析 如图,过点B作直线BE∥CD,交DA的延长线于点E,连接PE.∴∠PBE(或其补角)是异面直线CD与PB所成角.∵△PAB和△PAD都是等边三角形,∴∠PAD=60°
,DA=PA=AB=PB=AE,∴∠PAE=120°
.设PA=AB=PB=AE=a,则PE=a.又∠ABC=∠BAD=90°
,∴∠BAE=90°
,∴BE=a,∴在△PBE中,PB2+BE2=PE2,∴∠PBE=90°
.即异面直线CD与PB所成角为90°
.故选A.
6.如图所示,平面α,β,γ两两相交,a,b,c为三条交线,且a∥b,则a与b,c的位置关系是________.
解+析 ∵a∥b,a⊂α,b⊄α,∴b∥α.
又∵b⊂β,α∩β=c,∴b∥c.∴a∥b∥c.
答案 a∥b∥c
7.如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB∥CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________.
解+析 取CD的中点H,连接EH,FH.在正四面体CDEF中,由于CD⊥EH,CD⊥HF,所以CD⊥平面EFH,所以AB⊥平面EFH,则平面EFH与正方体的左右两侧面平行,则EF也与之平行,与其余四个平面相交.
答案 4
8.
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,有以下四个结论:
①直线AM与CC1是相交直线;
②直线AM与BN是平行直线;
③直线BN与MB1是异面直线;
④直线AM与DD1是异面直线.
其中正确的结论为________.
解+析 A,M,C1三点共面,且在平面AD1C1B中,但C∉平面AD1C1B,C1∉AM,因此直线AM与CC1是异面直线,同理AM与BN也是异面直线,AM与DD1也是异面直线,①②错,④正确;
M,B,B1三点共面,且在平面MBB1中,但N∉平面MBB1,B∉MB1,因此直线BN与MB1是异面直线,③正确.
答案 ③④
9.
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为正方形ABCD的中心,H为直线B1D与平面ACD1的交点.求证:
D1、H、O三点共线.
证明 如图,连接BD,B1D1,则BD∩AC=O,
∵BB1綉DD1,∴四边形BB1D1D为平行四边形,
又H∈B1D,
B1D⊂平面BB1D1D,
则H∈平面BB1D1D,
∵平面ACD1∩平面BB1D1D=OD1,∴H∈OD1.即D1、H、O三点共线.
10.
如图,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,OA⊥底面ABCD,OA=2,M为OA的中点.
(1)求四棱锥O-ABCD的体积;
(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值的大小.
解
(1)由已知可求得正方形ABCD的面积S=4,
所以四棱锥O-ABCD的体积V=×
4×
2=.
(2)如图,连接AC,设线段AC的中点为E,连接ME,DE,
又M为OA的中点,所以ME∥OC,
则∠EMD(或其补角)为异面直线OC与MD所成的角,
由已知可得DE=,EM=,MD=,
∵()2+()2=()2,
∴△DEM为直角三角形,即∠MED=90°
,
∴tan∠EMD===.
∴异面直线OC与MD所成角的正切值为.
11.以下四个命题中,
①不共面的四点中,其中任意三点不共线;
②若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则点A,B,C,D,E共面;
③若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面;
④依次首尾相接的四条线段必共面.
正确命题的个数是( )
A.0B.1C.2D.3
解+析 ①假设其中有三点共线,则该直线和直线外的另一点确定一个平面.这与四点不共面矛盾,故其中任意三点不共线,所以①正确.②从条件看出两平面有三个公共点A、B、C,但是若A、B、C共线,则结论不正确;
③不正确;
④不正确,因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上,如空间四边形.
12.(2016·
长春一模)已知正四面体ABCD中,E是AB的中点,则异面直线CE与BD所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
解+析 画出正四面体ABCD的直观图,如图所示.设其棱长为2,取AD的中点F,连接EF,
设EF的中点为O,连接CO,
则EF∥BD,
则∠FEC就是异面直线CE与BD所成的角,
△ABC为等边三角形,则CE⊥AB,易得CE=,
同理可得CF=,故CE=CF.因为OE=OF,
所以CO⊥EF.又EO=EF=BD=,
所以cos∠FEC===.
13.对于四面体ABCD,
下列命题
①相对棱AB与CD所在直线异面;
②由顶点A作四面体的高,其垂足是△BCD三条高线的交点;
③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高,则这两条高所在的直线异面;
④分别作三组相对棱中点的连线,所得的三条线段相交于一点.
其中正确的是________(填序号).
解+析 对于①,由四面体的概念可知,AB与CD所在的直线为异面直线,故①正确;
对于②,由顶点A作四面体的高,当四面体ABCD的对棱互相垂直时,其垂足是△BCD的三条高线的交点,故②错误;
对于③,当DA=DB,CA=CB时,这两条高线共面,故③错误;
对于④,设AB、BC、CD、DA的中点依次为E、F、M、N,易证四边形EFMN为平行四边形,所以EM与FN相交于一点,易证另一组对棱中点连线也过它们的交点,故④正确.
答案 ①④
如图,在空间四边形ABCD中,E,F,G分别在AB,BC,CD上,且满足AE∶EB=CF∶FB=2∶1,CG∶GD=3∶1,过E,F,G的平面交AD于点H.
(1)求AH∶HD;
(2)求证:
EH、FG、BD三线共点.
(1)解 ∵==2,∴EF∥AC,
又EF⊄平面ACD,AC⊂平面ACD,
∴EF∥平面ACD,而EF⊂平面EFGH,
平面EFGH∩平面ACD=GH,
∴EF∥GH,∴AC∥GH.
∴==3.∴AH∶HD=3∶1.
(2)证明 ∵EF∥GH,且=,=,
∴EF≠GH,∴EFGH为梯形.令EH∩FG=P,
则P∈EH,而EH⊂平面ABD,∴P∈平面ABD.
又P∈FG,FG⊂平面BCD,∴P∈平面BCD,
∴P∈BD.∴EH,FG,BD三线共点.
1.若直线a平行于平面α,则下列结论错误的是( )
A.a平行于α内的所有直线
B.α内有无数条直线与a平行
C.直线a上的点到平面α的距离相等
D.α内存在无数条直线与a成90°
角
解+析 若直线a平行于平面α,则α内既存在无数条直线与a平行,也存在无数条直线与a异面且垂直,所以A不正确,B、D正确.又夹在相互平行的线与平面间的平行线段相等,所以C正确.
2.在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB和BC上的点,若AE∶EB=CF∶FB=1∶2,则对角线AC和平面DEF的位置关系是( )
A.平行B.相交
C.在平面内D.不能确定
解+析 如图,由=得AC∥EF.又因为EF⊂平面DEF,
AC⊄平面DEF,所以AC∥平面DEF.
3.给出下列关于互不相同的直线l,m,n和平面α,β,γ的三个命题:
①若l与m为异面直线,l⊂α,m⊂β,则α∥β;
②若α∥β,l⊂α,m⊂β,则l∥m;
③若α∩β=l,β∩γ=m.γ∩α=n,l∥γ,则m∥n.
其中真命题的个数为( )
A.3B.2C.1D.0
解+析 ①中当α与β不平行时,也可能存在符合题意的l,m;
②中l与m也可能异面;
③中⇒l∥n,同理,l∥m,则m∥n,正确.
郑州模拟)设α,β,γ为三个不同的平面,m,n是两条不同的直线,在命题“α∩β=m,n⊂γ,且________,则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组,使该命题为真命题.①α∥γ,n⊂β;
②m∥γ,n∥β;
③n∥β,m⊂γ.
可以填入的条件有( )
A.①或②B.②或③C.①或③D.①或②或③
解+析 由面面平行的性质定理可知,①正确;
当n∥β,m⊂γ时,n和m在同一平面内,且没有公共点,所以平行,③正确.故选C.
5.
在四面体ABCD中,截面PQMN是正方形,则在下列结论中,错误的是( )
A.AC⊥BD
B.AC∥截面PQMN
C.AC=BD
D.异面直线PM与BD所成的角为45°
解+析 因为截面PQMN是正方形,
所以MN∥QP,
由于MN⊄平面ABCD,
PQ⊂平面ABC,则MN∥平面ABC,
由线面平行的性质知MN∥AC,
则AC∥截面PQMN,
同理可得MQ∥BD,
又MN⊥QM,
则AC⊥BD,故A、B正确.
又因为BD∥MQ,所以异面直线PM与BD所成的角等于PM与QM所成的角,即为45°
,故D正确.
6.(2016·
泉州一模)如图,
四棱锥P-ABCD的底面是一直角梯形,AB∥CD,BA⊥AD,CD=2AB,PA⊥底面ABCD,E为PC的中点,则BE与平面PAD的位置关系为________.
解+析 取PD的中点F,连接EF,AF,
在△PCD中,EF綉CD.
又∵AB∥CD且CD=2AB,
∴EF綉AB,
∴四边形ABEF是平行四边形,
∴EB∥AF.
又∵EB⊄平面PAD,AF⊂平面PAD,
∴BE∥平面PAD.
答案 平行
7.在四面体A-BCD中,M,N分别是△ACD,△BCD的重心,则四面体的四个面中与MN平行的是________.
解+析 如图,取CD的中点E.
连接AE、BE,由于M、N分别是△ACD、△BCD的重心,所以AE、BE分别过M、N,则EM∶MA=1∶2,
EN∶BN=1∶2,
所以MN∥AB.所以MN∥平面ABD,
MN∥平面ABC.
答案 平面ABD与平面ABC
8.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱AA1的中点,过C,M,D1作正方体的截面,则截面的面积是________.
解+析 由面面平行的性质知截面与面AB1的交线MN是△AA1B的中位线,所以截面是梯形CD1MN,易求其面积为.
9.如图,
ABCD与ADEF为平行四边形,M,N,G分别是AB,AD,EF的中点.
求证:
(1)BE∥平面DMF;
(2)平面BDE∥平面MNG.
证明
(1)如图,连接AE,则AE必过DF与GN的交点O,连接MO,
则MO为△ABE的中位线,所以BE∥MO,
又BE⊄平面DMF,MO⊂平面DMF,
所以BE∥平面DMF.
(2)因为N,G分别为平行四边形ADEF的边AD,EF的中点,所以DE∥GN,
又DE⊄平面MNG,GN⊂平面MNG,
所以DE∥平面MNG.
又M为AB中点,所以MN为△ABD的中位线,所以BD∥MN,
又BD⊄平面MNG,MN⊂平面MNG,所以BD∥平面MNG,
又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线,所以平面BDE∥平面MNG.
10.如图,
几何体E-ABCD是四棱锥,△ABD为正三角形,CB=CD,EC⊥BD.
BE=DE;
(2)若∠BCD=120°
,M为线段AE的中点,
DM∥平面BEC.
证明
(1)如图,取BD的中点O,连接CO,EO.
由于CB=CD,所以CO⊥BD.
又EC⊥BD,EC∩CO=C,
CO,EC⊂平面EOC,
所以BD⊥平面EOC,
又EO⊂平面EOC,因此BD⊥EO.
又O为BD的中点,所以BE=DE.
(2)法一 如图,取AB的中点N,连接DM,DN,MN.
因为M是AE的中点,
所以MN∥BE.
又MN⊄平面BEC,
BE⊂平面BEC,
所以MN∥平面BEC.
又因为△ABD为正三角形,
所以∠BDN=30°
.
又CB=CD,∠BCD=120°
因此∠CBD=30°
所以DN∥BC.
又DN⊄平面BEC,BC⊂平面BEC,
所以DN∥平面BEC.又MN∩DN=N,
所以平面DMN∥平面BEC.
又DM⊂平面DMN,所以DM∥平面BEC.
法二 如图,延长AD,BC交于点F,连接EF.
因为CB=CD,∠BCD=120°
所以∠CBD=30°
因为△ABD为正三角形,
所以∠BAD=∠ABD=60°
∠ABC=90°
因为∠AFB=30°
,所以AB=AF.
又AB=AD,所以D为线段AF的中点.
连接DM,由于点M是线段AE的中点,
因此DM∥EF.
又DM⊄平面BEC,EF⊂平面BEC,
所以DM∥平面BEC.
广东七校联考)设a,b是两条不同直线,α,β是两个不同的平面,则α∥β的一个充分条件是( )
A.存在一条直线a,a∥α,a∥β
B.存在一条直线a,a⊂α,a∥β
C.存在两条平行直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α
D.存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α
解+析 对于A,两个平面还可以相交,若α∥β,则存在一条直线a,a∥α,a∥β,所以A是α∥β的一个必要条件;
同理,B也是α∥β的一个必要条件;
易知C不是α∥β的一个充分条件,而是一个必要条件;
对于D,可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中,成为相交直