中考数学三轮复习专项练习《三角形》.docx

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中考数学三轮复习专项练习《三角形》

备战2020中考数学三轮复习专项练习：

《三角形》

1．如图，▱ABCD中，AE⊥BC于点E，F是AE上一点，∠FBE＝45°，FC⊥CD于点C．

（1）若AB＝2，BF＝2，求△ABF的面积；

（2）如图2，连接AC，求证：

AF+BC＝AC．

2．如图，点A的坐标为（﹣6，6），AB⊥x轴，垂足为B，AC⊥y轴，垂足为C，点D，E分别是射线BO、OC上的动点，且点D不与点B、O重合，∠DAE＝45°．

（1）如图1，当点D在线段BO上时，求△DOE的周长；

（2）如图2，当点D在线段BO的延长线上时，设△ADE的面积为S1，△DOE的面积为S2，请猜想S1与S2之间的等量关系，并证明你的猜想．

3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E是∠ACB内部一点，连接CE，作AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为点D，E．

（1）求证：

△BCE≌△CAD；

（2）若BE＝5，DE＝7，则△ACD的周长是　　．

4．点C为线段AB上一点，以AC为斜边作等腰Rt△ADC，连接BD，在Rt△ABD外侧，以BD为斜边作等腰Rt△BED，连接EC．

（1）如图1，当∠DBA＝30°时：

①求证：

AC＝BD；

②判断线段EC与EB的数量关系，并证明；

（2）如图2，当0°＜∠DBA＜45°时，EC与EB的数量关系是否保持不变？

对于以上问题，小牧同学通过观察、实验，形成了解决该问题的几种思路：

想法1：

尝试将点D为旋转中心，过点D作线段BD垂线，交BE延长线于点G，连接CG；通过证明△ADB≌△CDG解决以上问题；

想法2：

尝试将点D为旋转中心，过点D作线段AB垂线，垂足为点G，连接EG．通过证明△ADB∽△GDE解决以上问题；

想法3：

尝试利用四点共圆，过点D作AB垂线段DF，连接EF，通过证明D、F、B、E四点共圆，利用圆的相关知识解决以上问题．

请你参考上面的想法，证明EC＝EB（一种方法即可）．

5．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D是△ABC外一点，点D与点C在直线AB的异侧，且点D，A，C不共线，连接AD，BD，CD．

（1）如图1，当α＝60°．∠ADB＝30°时，画出图形，直接写出AD，BD，CD之间的数量关系；

（2）当α＝90°，∠ADB＝45°时，利用图2，继续探究AD，BD，CD之间的数量关系并证明；

（提示：

尝试运用图形变换，将要研究的有关线段尽可能转移到一个三角形中）

（3）当∠ADB＝时，进一步探究AD，BD，CD之间的数量关系，并用含α的等式直接表示出它们之间的关系．

6．已知△ABC是等边三角形，点D为平面内一点，连接DB、DC，∠BDC＝120°．

（1）如图①，当点D在BC下方时，连接AD，延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE．

①求证：

△ABD≌△ACE；

②如图②，过点A作AF⊥DE于点F，直接写出线段AF、BD、DC间的数量关系；

（2）若AB＝2，DC＝6，直接写出点A到直线BD的距离．

7．如图1，等边三角形ABC中，D为BC边上一点，满足BD＜CD，连接AD，以点A为中心，将射线AD顺时针旋转60°，与△ABC的外角平分线BM交于点E．

（1）依题意补全图1；

（2）求证：

AD＝AE；

（3）若点B关于直线AD的对称点为F，连接CF．

①求证：

AE∥CF；

②若BE+CF＝AB成立，直接写出∠BAD的度数为　　°．

8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O，M分别是Rt△ABC的内心和外心，连接OA，OB，OM．

（1）求∠AOB的度数；

（2）延长AC至点D，使AD＝AB，连接BD，求证：

AO⊥BD；

（3）在

（2）中，延长BC至点E，使BE＝AB，连接DE，找出DE与OM之间的等量关系，并证明这个结论．

9．若一个三角形一边长的平方等于另两边长的乘积的2倍，我们把这个三角形叫做好玩三角形．

（1）在△ABC中，AB＝1，BC＝，AC＝3，求证：

△ABC是好玩三角形．

（2）一个等腰三角形的腰长为m，底边长为n，当这个等腰三角形为好玩三角形时，求的值．

（3）如图1，△CDE是以DE为斜边的等腰直角三角形，点A，B都在直线DE上，连结AC，BC．若∠A+∠B＝45°，求证：

线段AD，DE，BE三条线段组成的三角形是好玩三角形．

（4）如图2，在Rt△ABC中，点D，E，F，G都在线段AB上，以DE，EF，FG为边分别向上作正方形，H，K，M，N分别落在Rt△ABC的边上．以DE，EF，FG为三边长恰好能组成好玩三角形，直接写出的值．

10．如图，△ABC是等边三角形，过AB边上点D作DG∥BC，交AC于点G，在GD的延长线上取点E，使ED＝CG，连接AE，CD．

（1）求证：

AE＝DC；

（2）过E作EF∥DC，交BC于点F，求证：

∠AEF＝∠ACB．

11．已知：

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4．D是边AB的中点，点E为边AC上的一个动点（与点A、C不重合），过点E作EF∥AB，交边BC于点F．联结DE、DF，设CE＝x．

（1）当x＝1时，求△DEF的面积；

（2）如果点D关于EF的对称点为D′，点D′恰好落在边AC上时，求x的值；

（3）以点A为圆心，AE长为半径的圆与以点F为圆心，EF长为半径的圆相交，另一个交点H恰好落在线段DE上，求x的值．

12．如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D．

（1）点E、F分别在DA、DC的延长线上，且AE＝CF，连接BE、AF，猜想线段BE和AF的数量关系和位置关系，并证明你的结论；

（2）如图2，连接EF，将△DEF绕点D顺时针旋转角α（0°＜α＜90°），连接AE、CE，若四边形ABCE恰为平行四边形，求DA与DE的数量关系；

（3）如图3，连接EF，将△DEF绕点D逆时针旋转，当点A落在线段EF上时，设DE与AB交于点G，若AE：

AF＝3：

4，求的值．

13．在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，

（1）若∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，求∠BOC的度数；

（2）若∠ABC＝60°，OB＝4，且△ABC的周长为16，求△ABC的面积．

14．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，AD⊥BC于点D．点G是射线AD上一点．

（1）若GE⊥GF，点E，F分别在AB，AC上，当点G与点D重合时，如图①所示，容易证明AE+AF＝AD．当点G在线段AD外时，如图②所示，点E与点B重合，猜想并证明AE，AF与AG存在的数量关系．

（2）当点G在线段AD上时，AG+BG+CG的值是否存在最小值？

若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

15．已知△ABC，AB＝AC，BD是∠ABC的角平分线，EF是BD的中垂线，且分别交BC于点E，交AB于点F，交BD于点K，连接DE，DF．

（1）证明：

DE∥AB．

（2）若CD＝3，求四边形BEDF的周长．

16．如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．

（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；

（2）如图②，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．

（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出∠A的度数．

17．如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，D为BC边的中点，∠MDN＝90°，将∠MDN绕点D顺时针旋转，它的两边分别交AB、AC于点E、F．

（1）求证：

△ADE≌△CDF；

（2）求四边形AEDF的面积；

（3）如图2，连接EF，设BE＝x，求△DEF的面积S与x之间的函数关系式．

18．如图，在等边△ABC中，延长AB至点D，延长AC交BD的中垂线于点E，连接BE，DE．

（1）如图1，若DE＝3，BC＝2，求CE的长；

（2）如图2，连接CD交BE于点M，在CE上取一点F，连接DF交BE于点N，且DF＝CD，求证：

AB＝EF；

（3）在

（2）的条件下，若∠AED＝45°，直接写出线段BD，EF，ED的等量关系．

参考答案

1．解：

（1）∵AE⊥BC，∠FBE＝45°，

∴∠FEB＝∠BFE＝45°，

∴BE＝EF，

∵BE2+EF2＝BF2＝4，

∴BE＝EF＝，

∴AE＝＝＝3，

∴AF＝AE﹣EF＝2，

∴△ABF的面积＝×AF×BE＝2；

（2）∵AB∥CD，

∴∠ABC+∠BCD＝180°，

∵FC⊥CD，

∴∠FCD＝90°，

∴∠ABC+∠FCE＝90°，

∵AE⊥BC，

∴∠ABC+∠BAE＝90°，

∴∠BAE＝∠ECF，

又∵BE＝EF，∠AEB＝∠CEF＝90°，

∴△ABE≌△CFE（AAS），

∴AE＝CE，

∴AC＝AE，

∵AF+BC＝AF+BE+EC＝AF+EF+AE＝2AE，

∴AF+BC＝AC．

2．解：

（1）∵点A的坐标为（﹣6，6），AB⊥x轴，AC⊥y轴，

∴AB＝AC＝OC＝OB＝6，

如图1，将△ACE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，

∴BF＝CE，AF＝AE，∠BAF＝∠CAE，

∵∠DAE＝45°，

∴∠BAD+∠CAE＝45°，

∴∠BAD+∠BAF＝45°＝∠DAF＝∠DAE，

又∵AF＝AE，AD＝AD，

∴△ADF≌△ADE（SAS），

∴DE＝DF，

∴△DOE的周长＝DE+OD+OE＝BD+CE+OD+OE＝OB+OC＝12；

（2）猜想：

S1＝18+，

理由如下：

如图2，将△ACE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，

∴BF＝CE，AF＝AE，∠BAF＝∠CAE，

∵∠DAE＝45°，

∴∠CAD+∠CAE＝45°，

∴∠CAD+∠BAF＝45°＝∠DAF＝∠DAE，

又∵AF＝AE，AD＝AD，

∴△ADF≌△ADE（SAS），

∴DE＝DF，

设BF＝CE＝x，OD＝y，则OE＝6+x，DF＝6﹣x+y＝DE，

∵DE2＝OE2+OD2，

∴（6﹣x+y）2＝（6+x）2+y2，

∴xy＝6y﹣12x，

∴S2＝×OD×OE＝×（6+x）y＝6y﹣6x，

∵S1＝DF×AB＝×（6﹣x+y）×6＝18+，

∴S1＝18+．

3．

（1）证明：

∵BE⊥CE，AD⊥CE，

∴∠E＝∠ADC＝90°，

∴∠EBC+∠BCE＝90°．

∵∠BCE+∠ACD＝90°，

∴∠EBC＝∠DCA．

在△BCE和△CAD中，

，

∴△BCE≌△CAD（AAS）；

（2）解：

∵：

△BCE≌△CAD，BE＝5，DE＝7，

∴BE＝DC＝5，CE＝AD＝CD+DE＝5+7＝12．

∴由勾股定理得：

AC＝13，

∴△ACD的周长为：

5+12+13＝30，

故答案为：

30．

4．解：

（1）①如图1，

过点D作DF⊥AC于F，则∠DFC＝90°，

∵△ADC是AC为斜边作等腰Rt△ADC，

∴AC＝2DF，

在Rt△DFB中，∠DBA＝30°，

∴BD＝2DF，

∴AC＝BD；

②∵△ADC是等腰直角三角形，

∴∠ACD＝45°，

∵∠DBA＝30°，

∴∠CDB＝∠ACD﹣∠DBA＝15°，

∵△BDE是等腰直角三角形，

∴∠BDE＝45°，

∴∠CDE＝∠CDB+∠BDE＝60°，

在Rt△ADC中，AC＝DC，

在Rt△BDE中，BD＝BE＝DE，

由①知，AC＝BD，

∴BE＝CD＝ED，

∴△CDE是等边三角形，

∴DE＝CE，

∴EC＝EB；

（2）如图2，

过点D作