离散数学屈婉玲答案解析.docx
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离散数学屈婉玲答案解析
第一章部分课后习题参考答案
16设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。
（1）p∨（q∧r）0∨（0∧1）0
（2）（p↔r）∧（﹁q∨s）（0↔1）∧（1∨1）0∧10.
（3）（p∧q∧r）↔（p∧q∧﹁r）（1∧1∧1）↔（0∧0∧0）0
（4）（r∧s）→（p∧q）（0∧1）→（1∧0）0→01
17．判断下面一段论述是否为真：
“是无理数。
并且，如果3是无理数，则也是无理数。
另外6能被2整除，6才能被4整除。
”
答：
p:
是无理数1
q:
3是无理数0
r:
是无理数1
s:
6能被2整除1
t:
6能被4整除0
命题符号化为：
p∧（q→r）∧（t→s）的真值为1，所以这一段的论述为真。
19．用真值表判断下列公式的类型：
（4）（p→q）→（q→p）
（5）（p∧r）（p∧q）
（6）（（p→q）∧（q→r））→（p→r）
答：
（4）
pqp→qqpq→p（p→q）→（q→p）
0011111
0110111
1001001
1110011
所以公式类型为永真式//最后一列全为1
（5）公式类型为可满足式（方法如上例）//最后一列至少有一个1
（6）公式类型为永真式（方法如上例）//
第二章部分课后习题参考答案
3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.
（1）（p∧q→q）
（2）（p→（p∨q））∨（p→r）
（3）（p∨q）→（p∧r）
答：
（2）（p→（p∨q））∨（p→r）（p∨（p∨q））∨（p∨r）p∨p∨q∨r1
所以公式类型为永真式
（3）Pqrp∨qp∧r（p∨q）→（p∧r）
000001
001001
010100
011100
100100
101111
110100
111111
所以公式类型为可满足式
4.用等值演算法证明下面等值式：
（2）（p→q）∧（p→r）（p→（q∧r））
（4）（p∧q）∨（p∧q）（p∨q）∧（p∧q）
证明
（2）（p→q）∧（p→r）
（p∨q）∧（p∨r）
p∨（q∧r））
p→（q∧r）
（4）（p∧q）∨（p∧q）（p∨（p∧q））∧（q∨（p∧q）
（p∨p）∧（p∨q）∧（q∨p）∧（q∨q）
1∧（p∨q）∧（p∧q）∧1
（p∨q）∧（p∧q）
5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值
（1）（p→q）→（q∨p）
（2）（p→q）∧q∧r
（3）（p∨（q∧r））→（p∨q∨r）
解：
（1）主析取范式
（p→q）→（qp）
（pq）（qp）
（pq）（qp）
（pq）（qp）（qp）（pq）（pq）
（pq）（pq）（pq）
∑（0,2,3）
主合取范式：
（p→q）→（qp）
（pq）（qp）
（pq）（qp）
（p（qp））（q（qp））
1（pq）
（pq）M1
∏
（1）
（2）主合取范式为：
（p→q）qr（pq）qr
（pq）qr0
所以该式为矛盾式.
主合取范式为∏（0,1,2,3,4,5,6,7）
矛盾式的主析取范式为0
（3）主合取范式为：
（p（qr））→（pqr）
（p（qr））→（pqr）
（p（qr））（pqr）
（p（pqr））（（qr））（pqr））
11
1
所以该式为永真式.
永真式的主合取范式为1
主析取范式为∑（0,1,2,3,4,5,6,7）
第三章部分课后习题参考答案
14.在自然推理系统P中构造下面推理的证明：
（2）前提：
pq,（qr）,r
结论：
p
（4）前提：
qp,qs,st,tr
结论：
pq
证明：
（2）
①（qr）前提引入
②qr①置换
③qr②蕴含等值式
④r前提引入
⑤q③④拒取式
⑥pq前提引入
⑦￢p⑤⑥拒取式
证明（4）：
①tr前提引入
②t①化简律
③qs前提引入
④st前提引入
⑤qt③④等价三段论
⑥（qt）（tq） ⑤置换
⑦（qt）⑥化简
⑧q②⑥假言推理
⑨qp前提引入
⑩p⑧⑨假言推理
（11）pq⑧⑩合取
15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理：
（1）前提：
p（qr）,sp,q
结论：
sr
证明
①s附加前提引入
②sp前提引入
③p①②假言推理
④p（qr）前提引入
⑤qr③④假言推理
⑥q前提引入
⑦r⑤⑥假言推理
16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理：
（1）前提：
pq,rq,rs
结论：
p
证明：
①p结论的否定引入
②p﹁q前提引入
③﹁q①②假言推理
④￢rq前提引入
⑤￢r④化简律
⑥r￢s前提引入
⑦r⑥化简律
⑧r﹁r⑤⑦合取
由于最后一步r﹁r是矛盾式,所以推理正确.
第四章部分课后习题参考答案
3.在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为（a）,（b）条件时命题的真值:
（1）对于任意x,均有2=（x+）（x）.
（2）存在x,使得x+5=9.
其中（a）个体域为自然数集合.
（b）个体域为实数集合.
解：
F（x）:
2=（x+）（x）.
G（x）:
x+5=9.
（1）在两个个体域中都解释为，在（a）中为假命题，在（b）中为真命题。
（2）在两个个体域中都解释为，在（a）（b）中均为真命题。
4.在一阶逻辑中将下列命题符号化:
（1）没有不能表示成分数的有理数.
（2）在北京卖菜的人不全是外地人.
解:
（1）F（x）:
x能表示成分数
H（x）:
x是有理数
命题符号化为:
（2）F（x）:
x是北京卖菜的人
H（x）:
x是外地人
命题符号化为:
5.在一阶逻辑将下列命题符号化:
（1）火车都比轮船快.
（3）不存在比所有火车都快的汽车.
解:
（1）F（x）:
x是火车;G（x）:
x是轮船;H（x,y）:
x比y快
命题符号化为:
（2）
（1）F（x）:
x是火车;G（x）:
x是汽车;H（x,y）:
x比y快
命题符号化为:
9.给定解释I如下:
（a）个体域D为实数集合R.
（b）D中特定元素=0.
（c）特定函数（x,y）=xy,x,y.
（d）特定谓词（x,y）:
x=y,（x,y）:
x说明下列公式在I下的含义,并指出各公式的真值:
（1）
（2）
答:
（1）对于任意两个实数x,y,如果x（2）对于任意两个实数x,y,如果x-y=0,那么x10.给定解释I如下：
（a）个体域D=N（N为自然数集合）.
（b）D中特定元素=2.
（c）D上函数=x+y,（x,y）=xy.
（d）D上谓词（x,y）:
x=y.
说明下列各式在I下的含义，并讨论其真值.
（1）xF（g（x,a）,x）
（2）xy（F（f（x,a）,y）→F（f（y,a）,x）
答:
（1）对于任意自然数x,都有2x=x,真值0.
（2）对于任意两个自然数x,y,使得如果x+2=y,那么y+2=x.真值0.
11.判断下列各式的类型:
（1）
（3）yF（x,y）.
解:
（1）因为为永真式；
所以为永真式；
（3）取解释I个体域为全体实数
F（x,y）：
x+y=5
所以,前件为任意实数x存在实数y使x+y=5，前件真；
后件为存在实数x对任意实数y都有x+y=5，后件假，]
此时为假命题
再取解释I个体域为自然数N，
F（x,y）：
:
x+y=5
所以,前件为任意自然数x存在自然数y使x+y=5，前件假。
此时为假命题。
此公式为非永真式的可满足式。
13.给定下列各公式一个成真的解释，一个成假的解释。
（1）（F（x）
（2）x（F（x）G（x）H（x））
解:
（1）个体域:
本班同学
F（x）：
x会吃饭,G（x）：
x会睡觉.成真解释
F（x）：
x是泰安人,G（x）：
x是济南人.
（2）成假解释
（2）个体域:
泰山学院的学生
F（x）：
x出生在山东,G（x）:
x出生在北京,H（x）:
x出生在江苏,成假解释.
F（x）：
x会吃饭,G（x）：
x会睡觉,H（x）：
x会呼吸.成真解释.
第五章部分课后习题参考答案
5.给定解释Ｉ如下:
（a）个体域D={3,4};
（b）为
（c）.
试求下列公式在Ｉ下的真值.
（1）
（3）
解:
（1）
（2）
12.求下列各式的前束范式。
（1）
（5）（本题课本上有错误）
解:
（1）
（5）
15.在自然数推理系统F中,构造下面推理的证明:
（1）前提:
结论:
xR（x）
（2）前提:
x（F（x）→（G（a）∧R（x）））,xF（x）
结论:
x（F（x）∧R（x））
证明
（1）
①前提引入
②F（c）①EI
③前提引入
④①③假言推理
⑤（F（c）∨G（c））→R（c））④UI
⑥F（c）∨G（c）②附加
⑦R（c）⑤⑥假言推理
⑧xR（x）⑦EG
（2）
①xF（x）前提引入
②F（c）①EI
③x（F（x）→（G（a）∧R（x）））前提引入
④F（c）→（G（a）∧R（c））③UI
⑤G（a）∧R（c）②④假言推理
⑥R（c）⑤化简
⑦F（c）∧R（c）②⑥合取引入
⑧x（F（x）∧R（x））
第六章部分课后习题参考答案
5.确定下列命题是否为真：
（1）真
（2）假
（3）真
（4）真
（5）｛a,b｝｛a,b,c,｛a,b,c｝｝真
（6）｛a,b｝｛a,b,c,｛a,b｝｝真
（7）｛a,b｝｛a,b,｛｛a,b｝｝｝真
（8）｛a,b｝｛a,b,｛｛a,b｝｝｝假
6．设a,b,c各不相同，判断下述等式中哪个等式为真:
（1）｛｛a,b｝，c,｝=｛｛a,b｝,c｝假
（2）｛a,b,a｝=｛a,b｝真
（3）｛｛a｝，{b}｝=｛｛a,b｝｝假
（4）｛，｛｝，a,b｝=｛｛,｛｝｝,a,b｝假
8．求下列集合的幂集：
（1）｛a,b,c｝P（A）={,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}
（2）｛1，｛2，3｝｝P（A）={,{1},{{2,3}},{1，{2，3}}}
（3）｛｝P（A）={,｛｝}
（4）｛，｛｝｝P（A）={,{1},{{2,3}},{1，{2，3}}}
14．化简下列集合表达式：
（1）（AB）B）-（AB）
（2）（（ABC）-（BC））A
解:
（1）（AB）B）-（AB）=（AB）B）～（AB）
=（AB）～（AB））B=B=
（2）（（ABC）-（BC））A=（（ABC）～（BC））A
=（A～（BC））（（BC）～（BC））A
=（A～（BC））A=（A～（BC
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