二项式系数的性质及应用.ppt

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二项式系数的性质及应用,一.复习回顾,1.（a+b）n的二项展开式是_.,2.通项公式是_.,Tr+1=,3.第r+1项的二项式系数是什么？

二、新课,二项展开式中的二项式系数指的是哪些？

共有多少个？

下面我们来研究二项式系数的有关性质。

我们先通过观察n为特殊值时，二项式系数有什么特点？

1“杨辉三角”的来历及规律,杨辉三角,展开式中的二项式系数，如下表所示：

11,121,1331,14641,15101051,1615201561,二项式系数的性质,展开式的二项式系数依次是：

从函数角度看，可看成是以r为自变量的函数,其定义域是：

当时，其图象是右图中的7个孤立点,二项式系数的性质,2二项式系数的性质,

（1）对称性,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,这一性质可直接由公式得到,图象的对称轴：

（2）增减性与最大值,由于：

所以相对于的增减情况由决定,二项式系数的性质,

（2）增减性与最大值,由：

二项式系数是逐渐增大的。

可知，当时，,二项式系数的性质,由对称性可知：

它的后半部分是逐渐减小的；且中间项取得最大值。

（2）增减性与最大值,因此，当n为偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值；,当n为奇数时，中间两项的二项式系数、相等，且同时取得最大值。

二项式系数的性质,（3）各二项式系数的和,在二项式定理中，令，则：

这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于：

同时由于，上式还可以写成：

这是组合总数公式,二项式系数的性质,一般地，展开式的二项式系数有如下性质：

（1）,

（2）,（3）当时，,（4）,当时，,（对称性）,二项式系数的性质,例1证明在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和,例2用二项式定理证明：

能被1000整除。

例3的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项。

变式引申：

1、的展开式中，系数绝对值最大的项是（）A.第4项B.第4、5项C.第5项D.第3、4项2、若展开式中的第6项的系数最大，则不含x的项等于（）A.210B.120C.461D.416,例4已知（1-2x）7=a0+a1x+a2x2+a7x7,则

（1）a1+a2+a3+a7=_

（2）a1+a3+a5+a7=_（3）a0+a2+a4+a6=_（4）a0-a1+a2-a3+-a7=_,赋值法,变式：

若已知（1+2x）200=a0+a1（x-1）+a2（x-1）2+a200（x-1）200求a1+a3+a5+a7+a199的值。

余数是1，,所以是星期六,例5、今天是星期五，那么天后的这一天是星期几？

1.二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握;,小结,2.要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆;只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项;,3.尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。

练习：

课本P35练习1-5,作业：

1.课本P35习题2，5，72.课课练第11课时,杨辉三角,九章算术,杨辉,杨辉三角,详解九章算法中记载的表,