初中数学最值问题典型例题含答案分析.docx
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初中数学最值问题典型例题含答案分析
考查知识点：
1、“两点之间线段最短”
（2、代数计算最值问题
问题原型：
饮马问题造桥选址问题（完全平方公式出题背景变式：
角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、解题总思路：
找点关于线的对称点实现“折”转“直”几何基本模型：
条件
问题
方法
中考数学最值问题总结
“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。
3、二次函数中最值问题）
配方求多项式取值二次函数顶点）
圆、坐标轴、抛物线等。
如下左图，A、B是直线I同旁的两个定点.
在直线I上确定一点P，使PAPB的值最小.作点A关于直线I的对称点A，连结AB交I于
点P，则PAPBAB的值最小
例1、如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三
角形，M为对角线BD（不含B点）
上任意一点，将BM
绕点B逆时针旋转60°得到BN，
连接
EN、AM、CM.
（1）
求证：
△AMBENB;
（2）
①当M点在何处时，AM+CM
的值最小;
②当
M点在何处时，AM+BM+CM
的值最小，并说明理由;
（3）
当AM+BM+CM的最小值为
■■■■■I时，求正方形的边长。
例2、如图13,抛物线y=ax2+bx+c（a丰（的顶点为（1,4）,交x轴于AB,交y轴于D,其中B点的坐标为（3,0）
（1）求抛物线的解析式
（2）如图14,过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小•若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理由•
（3）如图15,抛物线上是否存在一点T，过点T作x的垂线，垂足为M，过点M作直线MN//BD,交线段AD于点N,连接MD使厶DNWABMD若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由.
例3、如图1，四边形AEFG与ABCD都是正方形，它们的边长分别为a,b（b>2a且点F在
AD上（以下问题的结果可用a,b表示）
（1）求dbf;
（2）把正方形AEFG绕点A逆时针方向旋转45°得图2,求图2中的S^dbf;
（3）把正方形AEFG绕点A旋转任意角度，在旋转过程中dbf是否存在最大值，最小值？
如果存在，试求出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由。
B两点，
A,B重
使这两个
12
例4、如图，在平面直角坐标系中，直线y=_x+1与抛物线y=ax2+bx3交于A,
2
点A在x轴上，点B的纵坐标为3。
点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与合），过点P作x轴的垂线交直线AB与点C,作PD丄AB于点D
（1）求a,b及sinACP的值
（2）设点P的横坐标为m
1用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；
2连接PB,线段PC把厶PDB分成两个三角形，是否存在适合的m值,
三角形的面积之比为9:
10?
若存在，直接写出m值；若不存在，说明理由•
3
例5、如图，OC的内接△AOB中，AB=A0=4tan/AOB=_,抛物线yax2bx经过点A（4,0）
4
与点（-2,6）.
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）直线m与OC相切于点A,交y于点D.动点P在线段0B上，从点0出发向点B运动；同时动点Q在线段DA上，从点D出发向点A运动；点P的速度为每秒1个单位长，点Q的速度为每秒2个单位长，当PQ!
AD时，求运动时间t的值；
（3）点R在抛物线位于x轴下方部分的图象上，当△ROB面积最大时，求点R的坐标.
例1、证明：
（1）•••△ABE是等边三角形,•••BA=BE，/ABE=60
•••/MBN=60,MBN-/ABN=/ABE-/ABN.即/MBA=/NBE.
又•••MB=NB,AMB◎△ENB（SAS）.（5分）
解：
（7分）
（2）①当M点落在BD的中点时，A、M、C三点共线，AM+CM的值最小.
②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，
AM+BM+CM
的值最小.（
'、9分）
理由如下：
连接
MN，由（
1）知，
△AMB◎△ENB,
•AM=EN,
•••/MBN=60
MB=NB
••
△BMN是等边三角形.
•BM=MN
•AM+BM+CM=EN+MN+CM
.
（10分）
根据两点之间线段最短”，
得EN+MN+CM=EC最短
•••当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长.（11分）
入，得：
a（31）240解得：
a=-1二所求抛物线的解析式为：
y（x1）24
（2）如图6，在y轴的负半轴上取一点I，使得点F与点I关于x轴对称，
在x轴上取一点H，连接HF、HI、HG、GD、GE,贝UHF=HI①
设过A、E两点的一次函数解析式为：
y=kx+b（k丰0）,
•••点E在抛物线上且点E的横坐标为2,将x=2代入抛物线y（x1）24，得
y（21）243
•••点E坐标为（2,3）
又•••抛物线y
（x1）24图像分别与x轴、y轴交于点A、B、D
2
•••当y=0时，（x1）40,•x=-1或x=3
当x=0时，y=—1+4=3,
•点A（—1,0）,点B（3,0）,点D（0,3）
又•••抛物线的对称轴为：
直线x=1,
•••点D与点E关于PQ对称，GD=GE②
分别将点A（—1,0）、点E（2,3）代入y=kx+b,得：
kb0k1
解得：
2kb3b1
过A、E两点的一次函数解析式为：
y=x+1
•••当x=0时，y=1•••点F坐标为（0,1）
•DF=2③
又•••点F与点I关于x轴对称，
••点I坐标为（0,—1）
eiVDE~DT742422屈④
又•••要使四边形DFHG的周长最小，由于DF是一个定值,•只要使DG+GH+HI最小即可由图形的对称性和①、②、③，可知，
DG+GH+HF=EG+GH+HI
只有当EI为一条直线时，EG+GH+HI最小
yKxDK0）,
设过E（2,3）、I（0,—1）两点的函数解析式为:
分别将点E（2,3）、点I（0，—1）代入yk1xb1，得:
2k1b
b1
k12
解得：
b,1
过A、E两点的一次函数解析式为：
y=2x—1
1
•••当x=1时，y=1;当y=0时，x=
一一1
•••点G坐标为（1,1）,点H坐标为（一，0）
2
•四边形DFHG的周长最小为：
DF+DG+GH+HF=DF+EI由③和④，可知：
DF+EI=22、5
•四边形DFHG的周长最小为22、、5。
（3）如图7,由题意可知，/NMD=ZMDB,
NMMD
要使，△DNMBMD，只要使即可,
MDBD
2
即：
MDNMBD⑤
设点M的坐标为（a,0）,由MN//BD，可得
△AMNABD,
•nmam
•BDAB
再由
（1）、
（2）可知，AM=1+a,BD=3,2,AB=4
MN
AMBD
AB
4^1氓a）
44
•/MD2
OD2
OM
a29,
•⑤式可写成:
a2
9312（1a）3.2
4
3
解得：
a或a
2
3（不合题意，舍去）
•••点M的坐标为（
1，0）
又•••点T在抛物线
2
（x1）4图像上,
3评
•••当x=时，y=
22一3
•••点T的坐标为（，
解：
（1厂••点F在AD上，•••AF2=a2+a2,即卩AF=2a。
:
.DFb2a。
•-SDBF1DFAB1（b2a）b1b2-3ab。
DBF2222
（2）连接DF,AF，由题意易知AF//BD,
•四边形AFDB是梯形。
•△DBF与厶ABD等高同底，即BD为两三角形的底。
由AF//BD，得到平行线间的距离相等，即高相等,
第一种情况：
当b>2a时，存在最大值及最小值,
•/△BFD的边BD=2b,
如图，当DF丄BD时,
Sabfd的最大值
1屈（#b>''2a）
b22ab
1|_
Sabfd的最小值=-.2b
2
2a）
b22ab
2
•••当F点到BD的距离取得最大、最小值时，Sabfd取得最大、最小值。
锦兀数学工作室绘制
第二种情况：
当
b=2a时，存在最大值，不存在最小值,
Sabfd的最大值
_b22ab=。
（—2,0）。
例4、解：
（1）由x+1=0，得到x=—2,「.A
2
1
由—x+仁3，得到x=4,•B（4,3）o
2
y=ax2+bx
3经过A、
B两点,
4a2b
16a+4b
3=0
，解得
3=3
1
a=—
2
o
1
2
b=
设直线AB与y轴交于点
则E（0,1）o
•根据勾股定理，得AE=5o
•/PC//y轴，•••/ACP=/AEO。
•-sinACP=sinAEO=OA牛
AE<5
（2）①由
（1）可知抛物线的解析式为
1
y=_x
2
由点P的横坐标为m，
m，
m，
1
—m+1o
2
•PC=1m+1
2
1-m
2
2
+m+4o
在Rt△PCD中,
PD
PCsinACP=1m2+m+4
2
2-5
1+T，
595
了<0，•当m=1时，PD有最大值-Fo
532
②存在满足条件的m值，m=5或32o
29
例5、解：
（1）将点A（4,0）和点（-2,6）的坐标代入y=ax2+bx中，得方程组-
4a-2b=6
1
y=^x2-2x.
2
a=—
解之，得2.•••抛物线的解析式为
b=-2
（2）连接AC交OB于E.
•••直线m切OC于A•ACLm；弦AB=AO,•AbAo.•AC丄OB,•m//QB
33
•••/OAD=ZAOBTOA=4tan/AOB=,•OD=OAtan/OAD=4=3.
44
3
作OFLAD于F.贝UOF=OAsin/OAD=4=2.4.
5
t秒时,OP=t,DQ=2t,若PCLAD贝UFQ=OP=t.DF=DQ-FQ=t.
"ODF中,t=DF=OD2OF2=1.8秒.
12
（3）令R（x,-x-2x）（0vxv4）.
2
12
作RGLy轴于G作RHLOB于H交y轴于I.贝URG=x,
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