初中数学最值问题典型例题含答案分析.docx

1、初中数学最值问题典型例题含答案分析考查知识点：1、“两点之间线段最短”（2、代数计算最值问题问题原型：饮马问题造桥选址问题（完全平方公式 出题背景变式：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、 解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直” 几何基本模型：条件问题方法中考数学最值问题总结,“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。3、二次函数中最值问题）配方求多项式取值 二次函数顶点）圆、坐标轴、抛物线等。如下左图， A、B是直线I同旁的两个定点.在直线I上确定一点P，使PA PB的值最小. 作点 A关于直线I的对称点A，连结AB交I于点P，则PA PB AB的值最小例1、如图，四边形

2、 ABCD是正方形， ABE是等边三角形，M为对角线BD （不含B点）上任意一点，将 BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连接EN、AM、CM .(1)求证： AMB ENB ;(2)当M点在何处时，AM+CM的值最小;当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由;(3)当AM+BM+CM 的最小值为 I时，求正方形的边长。例2、如图13,抛物线y=ax2+ bx + c（a丰（的顶点为（1,4 ）,交x轴于A B,交y轴于D, 其中B点的坐标为（3,0 ）（1） 求抛物线的解析式（2） 如图14,过点A的直线与抛物线交于点 E，交y轴于点F，其中E点的横坐标为2， 若直线PQ为抛物线的

3、对称轴，点 G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点 H，使D、G、 F、H四点围成的四边形周长最小 若存在，求出这个最小值及 G、H的坐标；若不存在，请 说明理由（3） 如图15,抛物线上是否存在一点 T，过点T作x的垂线，垂足为 M，过点M作直线 MN/ BD,交线段AD于点N,连接MD使厶DNWA BMD若存在，求出点 T的坐标；若不存 在，说明理由.例3、如图1，四边形AEFG与ABCD都是正方形，它们的边长分别为 a,b(b 2a且点F在AD上(以下问题的结果可用 a,b表示)(1) 求 dbf;(2) 把正方形AEFG绕点A逆时针方向旋转 45得图2,求图2中的Sdbf;(3) 把正

4、方形AEFG绕点A旋转任意角度，在旋转过程中dbf是否存在最大值，最小值？如果存在，试求出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由。B两点，A, B重使这两个1 2例4、如图，在平面直角坐标系中，直线 y=_x+1与抛物线y=ax2+bx 3交于A,2点A在x轴上，点B的纵坐标为3。点P是直线AB下方的抛物线上一动点(不与 合)，过点P作x轴的垂线交直线 AB与点C,作PD丄AB于点D(1) 求a, b及sin ACP的值(2) 设点P的横坐标为m1 用含m的代数式表示线段 PD的长，并求出线段 PD长的最大值；2 连接PB,线段PC把厶PDB分成两个三角形，是否存在适合的 m值,三角形的面积之

5、比为 9: 10?若存在，直接写出 m值；若不存在，说明理由3例5、如图，OC的内接 AOB中，AB=A0=4tan / AOB=_ ,抛物线y ax2 bx经过点A(4,0)4与点(-2,6 ).(1) 求抛物线的函数解析式；(2) 直线m与O C相切于点A,交y于点D.动点P在线段0B上，从点0出发向点B运 动；同时动点Q在线段DA上，从点D出发向点A运动；点P的速度为每秒1个单 位长，点Q的速度为每秒2个单位长，当PQ! AD时，求运动时间t的值；(3) 点R在抛物线位于x轴下方部分的图象上，当 ROB面积最大时，求点 R的坐标.例1、证明：（1 ） ABE是等边三角形, BA=BE，/

6、 ABE=60/ MBN=60 , MBN- / ABN= / ABE- / ABN .即/ MBA= / NBE .又 MB=NB , AMB ENB （ SAS ）.（ 5 分）解：（7 分）（2）当 M点落在BD的中点时，A、M、C三点共线，AM+CM 的值最小.如图，连接 CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小.（、9 分）理由如下：连接MN，由（1 ）知， AMB ENB , AM=EN ,/ MBN=60,MB=NB, BMN是等边三角形. BM=MN AM+BM+CM=EN+MN+CM.（10 分）根据两点之间线段最短”，得 EN+MN+CM=EC 最短当

7、M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM 的值最小，即等于 EC的长.（11 分）入，得：a(3 1)2 4 0 解得：a=- 1二所求抛物线的解析式为： y (x 1)2 4(2)如图6，在y轴的负半轴上取一点I，使得点F与点I关于x轴对称，在x轴上取一点 H，连接HF、HI、HG、GD、GE,贝U HF = HI 设过A、E两点的一次函数解析式为： y= kx + b ( k丰0),点E在抛物线上且点 E的横坐标为2,将x= 2代入抛物线y (x 1)2 4，得y (2 1)2 4 3点E坐标为(2, 3)又抛物线y(x 1)2 4图像分别与x轴、y轴交于点A、B、D2当 y= 0

8、时，(x 1) 4 0 , x=- 1 或 x= 3当 x = 0 时，y= 1+ 4= 3,点 A ( 1, 0),点 B (3, 0),点 D (0, 3)又抛物线的对称轴为：直线 x= 1,点D与点E关于PQ对称，GD = GE 分别将点A ( 1, 0)、点E (2, 3)代入y= kx + b,得：k b 0 k 1解得：2k b 3 b 1过A、E两点的一次函数解析式为： y= x+ 1当 x= 0 时，y= 1 点 F 坐标为(0, 1) DF =2 又点F与点I关于x轴对称，点 I 坐标为(0, 1)ei VDEDT7 42 42 2屈 又要使四边形 DFHG的周长最小，由于

9、DF是一个定值, 只要使DG + GH + HI最小即可 由图形的对称性和、，可知，DG + GH + HF = EG+ GH + HI只有当EI为一条直线时，EG+ GH + HI最小y Kx DK 0),设过E (2, 3)、I ( 0, 1)两点的函数解析式为:分别将点E (2, 3)、点I (0， 1)代入y k1x b1，得:2k1 bb 1k1 2解得：b, 1过A、E两点的一次函数解析式为： y= 2x 11当 x= 1 时，y= 1;当 y= 0 时，x=一 一 1点G坐标为（1, 1）,点H坐标为（一，0）2四边形 DFHG的周长最小为： DF + DG + GH + HF

10、= DF + EI 由和，可知：DF + EI = 2 2、5四边形DFHG的周长最小为2 2、5。（3）如图7,由题意可知，/ NMD =Z MDB ,NM MD要使， DNM BMD，只要使 即可,MD BD2即：MD NM BD 设点M的坐标为(a, 0),由MN / BD，可得 AMN ABD , nm am BD AB再由（1）、(2)可知，AM = 1 + a, BD = 3,2 , AB = 4MNAM BDAB41 氓 a)4 4/ MD2OD2OMa2 9,式可写成:a29 312 (1 a) 3.243解得：a 或a23 （不合题意，舍去）点M的坐标为（1，0)又点T在抛物

11、线2(x 1) 4图像上,3评当 x =时，y=2 2 一 3点T的坐标为（，解：(1 厂点 F 在 AD 上， AF2=a2+ a2,即卩 AF= 2a。:.DF b 2a。- SDBF 1 DF AB 1 (b 2a) b 1 b2 -3 ab。DBF 2 2 2 2(2)连接DF , AF，由题意易知 AF / BD ,四边形AFDB是梯形。 DBF与厶ABD等高同底，即 BD为两三角形的底。由AF / BD，得到平行线间的距离相等，即高相等,第一种情况：当b 2a时，存在最大值及最小值,/ BFD 的边 BD= 2b ,如图，当DF丄BD时,Sabfd的最大值1 屈(#b 2a)b2

12、2ab1 |_Sa bfd的最小值=-.2b22a)b2 2ab2当F点到BD的距离取得最大、最小值时， Sabfd取得最大、最小值。锦兀数学工作室绘制第二种情况：当b=2a时，存在最大值，不存在最小值,Sa bfd的最大值_ b2 2ab = 。(2, 0)。例 4、解：（1）由 x+1=0，得到 x= 2,. A21由x+ 仁3，得到 x=4 , B (4, 3) o2y=ax2 +bx3经过A、B两点,4a 2b16a+4b3=0，解得3=31a=2o12b=设直线AB与y轴交于点则 E (0, 1)o根据勾股定理，得 AE= 5 o/ PC / y 轴，/ ACP= / AEO。- s

13、in ACP=sin AEO=OA 牛AE 5（2）由（1）可知抛物线的解析式为1y= _x2由点P的横坐标为m，m，m，1m+1 o2 PC= 1 m+121 -m22+m+4 o在 Rt PCD 中,PDPC sin ACP= 1 m2+m+422-51 +T，5 9 5了 0，当m=1时，PD有最大值-F o5 32存在满足条件的 m值，m=5或32 o2 9例5、解：（1）将点A（4, 0）和点（-2 , 6）的坐标代入y=ax2+bx中，得方程组 -4a-2b=61y=x2 -2x.2a=解之，得 2. 抛物线的解析式为b=-2(2)连接AC交OB于E.直线 m切OC 于 A ACLm ；弦 AB=AO, Ab Ao . AC丄 OB, m/ QB3 3/ OAD=Z AOB T OA=4 tan/ AOB= , OD=OAtan / OAD=4 =3.4 43作 OFL AD于 F.贝U OF=OA sin / OAD=4 =2.4.5t 秒时,OP=t,DQ=2t ,若 PCL AD 贝U FQ=OP= t.DF=DQ- FQ= t.ODF中,t=DF= OD2 OF 2 =1.8 秒.1 2(3) 令 R(x, -x - 2x) (0 v xv 4).21 2作 RGLy 轴于 G 作 RHLOB于 H交 y 轴于 I.贝U RG= x ,