用Matlab实现AHP的算法Word下载.docx
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0.72120.44430.5315
-0.68630.56210.4615
-0.0937-0.69760.7103
D=
-0.016600
01.48010
002.5365
求得的3个特征值是-0.0166、1.4801和2.5365，各特征值对应的特征向量为V的各列构成的向量。
1.2MATLAB的M文件
用MATLAB语言编写的程序称为M文件。
M文件是由若干MATLAB命令组成在一起构成的，它可以完成某些操作，也可以实现某种算法。
M文件可以根据调用方式的不同分为两类：
命令文件（ScriptFile）和函数文件（FunctionFile）。
它们的扩展名均为.m。
函数文件由function语句引导，其基本结构为：
function输出形参表=函数名（输入形参表）
注释说明部分
函数体语句
我们通过举例说明如下：
例2-2分别建立命令文件和函数文件，将求矩阵的一致性指标CI：
CI=（λmax-n）/（n-1）
程序1建立命令文件并以文件名CI.m存盘：
max=input（'
pleaseinputmax:
'
）;
n=input（'
pleaseinputn:
CI=（max-n）/（n-1）
然后在MATLAB的命令窗口中输入CI即可。
程序2建立函数文件CI.m。
functionc=CI（max,n）
c=（max-n）/（n-1）
然后在MATLAB的命令窗口调用该函数文件。
c=CI（max,n）
2．基于MATLAB的AHP实现
2．1AHP的MATLAB的计算流程框图
根据层次分析法的一般步骤我们得到在MATLAB工具上实现的计算程序流程框图，如图2所示[16]
图2以MATLAB实现的层次分析法的计算流程框图
通过流程框图，层次分析的基本步骤如下：
第一步：
准则层对目标层的判断矩阵归一化且判断是否满足一致性；
第二步：
第一步满足时，将方案层对准则层的判断矩阵归一化并判断其一致性；
第三步：
当第一、二步满足时，求方案层的总排序权值与总CR并判断一致性。
2．2平均随机一致性指标的MATLAB实现
运用层次分析法决策者需要通过反复地解决决策问题，将同一层次的各元素与上一层次中某一准则的重要性进行比较，从而构造出两两判断比较矩阵A=（aij）nn（称为成对比较矩阵）。
前面已经描述了九级标度法，此处运用其他描述，则这些成对比较矩阵应满足如下条件：
（l）
>
0
（2）
·
=l（3）
=l
按照事物逻辑要求，该矩阵还应具备一致性，即满足：
=
前面已经给出由于客观事物的复杂性与决策者的认识的多样性，实际问题的成对比较矩阵不可能做到严格上的一致性，因而，借助平均随机一致性指标RI来相对判定其一致性程度。
其中表1-4是已经计算好的1~15阶矩阵的RI值表，但未给出其实现过程，且各文献的RI值表不完全相同。
究其原因除没有太大必要介绍外，真正去实现它却有如下三个难度：
（1）随机两两判断矩阵中的元素要求是1~9和它们对应的倒数共17个整数与小数的均匀分布很难处理。
（2）一般高级编程语言实现成对比较矩阵及相关计算，非常复杂，且占用内存巨大，耗时多。
（3）随机种子源不能控制。
本文使用数学软件包MATLAB对其进行计算。
其设计解决思路为：
先用软件包中随机函数产生数1~17的均匀分布的n阶矩阵，然后在软件包中采用不同技巧将它转化为成对比较矩阵，最后用循环语句计算出RI值。
结果如下表：
表3-1计算的RI值
阶数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
RI
0.5440
0.8980
1.1313
1.2515
1.3495
1.4190
1.4542
以n=4为例，过程详见如下程序清单，其中随机成对比较矩阵的实现见相应注释部分。
[15]
MATLAB的程序M文件：
functionri%计算RI值的命令文件
n=4;
ri=0;
m=100;
rand（'
seed'
21）%控制随机发生器
fori=1:
m
a=ceil（17*rand（n））;
%产生n阶l~17的随机阵
a（find（a=8））=8.1;
%消除0为分母
b=1./（a-8）;
%产生一个辅助阵
a（find（a>
9））=b（find（a>
9））;
%借助b，将9~17分别转化为
~
a（find（a=8.1））=8;
e=eye（n）;
%产生一个4阶单位阵
c=1./a;
%将a中每个元素换成相应倒数
c=c'
;
%将c转置
c=tril（c,-1）;
%抽取c的下三角（不含主对角线）
a=triu（a,1）;
%抽取a的上三角（不含主对角线）
a=a+c+e;
%实现随机成对比较阵a
k=size（a,1）;
%计算a的行维数
ri=ri+（max（abs（eig（a）））-k）/（k-1）;
%计算100次RI值
end
ri/m%计算平均RI值
2．3AHP各环节的MATLAB实现
以目标矩阵A=
准则层矩阵为P1=
P2=
，P3=
为例，运用MATLAB进行数据处理。
2.3.1特征向量及其归一化的MATLAB实现
MATLAB中求矩阵特征值和特征向量的函数是eig，其调用的格式为[V,D]=eig（A）,其中，V为特征向量矩阵，D为特征值矩阵。
层次分析法中需要求得是最大特征值及对应的归一化特征向量，而且考虑到eig函数在求得的特征值中可能会存在复数。
因此，运用直接输入程序代码会产生一定的误差。
在此需要对求得的V、D进行适当选择，定义一个M-filemaxeigvalvec.m来实现。
function[maxeigval,w]=maxeigvalvec（A）%求最大特征值及对应的归一化特征向量
%A为判断矩阵
[eigvec,eigval]=eig（A）;
eigval=diag（eigval）;
%特征向量
eigvalmag=imag（eigval）;
realind=find（eigvalmag<
eps）;
realeigval=eigval（realind）;
%实特征根
maxeigval=max（realeigval）%最大特征值
index=find（eigval==maxeigval）;
vecinit=eigvec（:
index）;
%最大特征值对应的特征向量
w=vecinit./sum（vecinit）%特征向量归一化
在MATLAB中键入如下指令：
A=[1,3,5;
1/3,1,3;
1/5,1/3,1];
P1=[1,2;
1/2,1];
P2=[1,3,5;
P3=[1,2;
[max
（1）,wA]=maxeigvalvec（A）;
[max
（2）wP1]=maxeigvalvec（P1）;
[max（3）,wP2]=maxeigvalvec（P2）;
[max（4）,wP3]=maxeigvalvec（P3）;
MATLAB运行结果如下：
maxeigval=
3.0385
w=
0.6370
0.2583
0.1047
2
w=
0.6667
0.3333
2.3.2一致性检验及单排序的MATLAB实现
由AHP的MATLAB的计算流程图知，必须对各层次间的判断矩阵进行层次单排序和一致性检验。
因此，定义sglsortexamine.m函数来实现层次单排序的一致性检验。
function[RI,CI]=sglsortexamine（maxeigval,A）
%层次分析法单排序一致性检验
%maxeigval为最大特征值，A为判断矩阵
n=size（A,1）;
RIT=[0,0,0.58,0.90,1.12,1.24,1.32,1.41,1.45,1.49,1.51];
RI=RIT（n）;
CI=（maxeigval-n）/（n-1）;
CR=CI/RI;
ifCR>
=0.10
disp（[input（'
矩阵没通过一致性检验，请重新调整判断矩阵'
）]
else
矩阵通过一致性检验'
）]）;
[RIA,CIA]=sglsortexamine（max
（1）,A）;
[RIP1,CIP1]=sglsortexamine（max
（2）,P1）;
[RIP2,CIP2]=sglsortexamine（max（3）,P2）;
[RIP3,CIP3]=sglsortexamine（max（4）,P3）;
运行结果如下：
矩阵通过一致性检验
2.3.3一致性检验及总排序的MATLAB实现
通过层次单排序（权重）计算后，进行层次合成计算，在此本文定义tolsortvec.m函数计算层次总排序的权重并进行一致性检验。
functiontw=tolsortvec（utw,dw,CIC,RIC）
%求层次总排序权重并进行一致性检验
%utw为上一层因素的总排序权重行向量
%dw为下一层因素相对于上一层各因素的层次单排序权重矩阵
%CIC为一致性指标列向量
%RIC为随机一致性指标列向量
tw=dw*utw
CR=utw'
*CIC/（utw'
*RIC）;
层次总排序没通过一致性检验，请重新调整判断矩阵'
层次总排序通过一致性检验'
在MATLAB中输入如下指令：
dw=zeros（7,3）;
dw=（1:
2,1）=wP1;
dw=（3:
5,2）=Wp2;
dw=（6:
7,3）=wP3;
CIC=[CIP1;
CIP2;
CIP3];
RIC=[RIP1;
RIP2;
RIP3];
tw=tolsortvec（wA,dw,CIC,RIC）’;
tw=
0.4247
0.2123
0.0667
0.1646
0.0270
0.0698
0.0349
层次总排序通过一致性检验
其中tw是层次总排序结果。
因此，根据数据建立如下的层次总排序表。
表3-3层次总排序表（权重）
A
P
层次P的
总排序结果注
0.6370
0.2583
0.1047
P1
P2
0.6370
P3
注：
按概率乘法，P层次总排序指标的权重值为N—P层次指标的权重
与相应上一层次指标A—N层权重的积，且总排序权重值的和为1。
2.3.4选择最优排序
计算出层次总排序后，为了使决策者能迅速得出结果，本文对层次总排序进行最优排序。
运用MATLAB键入如下指令：
n=length（tw）;
n
t=max（tw）;
b（i）=t;
[mn]=find（a==t）;
tw（n）=[];
b
b=
0.0276
利用MATLAB大大缩短了计算复杂矩阵的时间，为决策者节省了宝贵的时间，从而有更多的精力投入其他事务。
3．基于MATLAB的AHP应用
3．1挑选合适工作问题
某毕业生选择工作，经双方恳谈，假设已有三个单位C1,C2,C3表示愿意录用他。
该生对三个单位进行了解后，选取了一些中间指标进行考察，例如单位的研究课题，发展前途，待遇，同事情况，地理位置，单位名气等。
根据层次分析法，试求该生工作优先排序（给出权值、计算程序），并给出最终选择决策。
现以A、B、C表示选择工作的三个层次，建立如下结构模型：
图3选择单位层次结构图
根据成对比较法，得到相应判断矩阵如下表：
表4-1A-B判断矩阵
B1
B2
B3
B4
B5
B6
1/2
1/4
1/5
1/3
表4-2B1~C判断矩阵
表4-3B2~C判断矩阵
C1
C2
C3
表4-4B3~C判断矩阵
1/7
表4-5B4~C判断矩阵
表4-6B5~C判断矩阵
表4-7B6~C判断矩阵
1/9
现在在MATLAB中分别用直接输入程序法和M—文件方法求解。
1）、直接输入代码法：
在MATLAB中输入如下程序：
A=[1,1,1,4,1,1/2;
1,1,2,4,1,1/2;
1,1/2,1,5,3,1/2;
1/4,1/4,1/5,1,1/3,1/3;
1,1,1/3,3,1,1;
2,2,2,3,3,1];
B1=[1,1/4,1/2;
4,1,3;
2,1/3,1];
B2=[1,1/4,1/5;
4,1,1/2;
5,2,1];
B3=[1,3,1/3;
1/3,1,1/7;
3,7,1];
B4=[1,1/3,5;
3,1,7;
1/5,1/7,1];
B5=[1,1,7;
1,1,7;
1/7,1/7,1];
B6=[1,7,9;
1/7,1,1;
1/9,1,1];
BS=[B1,B2,B3,B4,B5,B6];
m=length（B1）;
n=length（A）;
%随机一致性指标RI
RI=[0,0,0.58,0.90,1.12,1.24,1.32,1.41,1.45,1.49,1.51];
[Wa,LA]=eig（A）%求A的特征向量WA和特征根LA
Maxn=input（'
pleaseinputlargesteigenvalue:
%输入最大特征根
CIn=（Maxn-n）/（n-1）;
CRn=CIn/RI（n）;
%A的一致性比率CRn
WA=Wa（:
1）/sum（Wa（:
1））;
%特征向量归一化
ifCRn<
0.10
fprintf（'
A的CR%f通过一致性检验!
\n'
CRn）;
%控制文本格式
else
A的CR%f未通过一致性检验!
end
fork=1:
n%求B的特征向量WK和特征根LK
[WB,LK]=eig（BS（1:
3,（k-1）*m+1:
（k-1）*m+3））
Max（k）=input（'
CIm（k）=（Max（k）-m）/（m-1）;
RIm（k）=RI（m）;
CRm（k）=CIm（k）/RIm（k）;
%B的一致性比率CRm
WK（:
k）=WB（:
1）/sum（WB（:
n
ifCRm（k）<
B%d的CR%f通过一致性检验!
k,CRm（1,k））;
B%d的CR%f未通过一致性检验!
disp（'
准则层对目标层权向量'
disp（WA）;
方案层对准则层权向量'
disp（WK）;
E=WK*WA
方案层组合权向量'
disp（E）;
CI=CIm*WA;
RI=RIm*WA;
CR=CI/RI;
%组合一致性比率CR
ifCR<
组合一致性比率CR%f通过一致性检验!
组合一致性比率CR%f未通过一致性检验!
[MAX,CHOICE]=max（E）;
%最佳选择
CHOICE
MATLAB运行结果如下：
Wa=
-0.3396-0.1255-0.0563i-0.1255+0.0563i0.7354-0.1896+0.3838i-0.1896-0.3838i
-0.4038-0.1884-0.5736i-0.1884+0.5736i-0.6464-0.4476-0.2693i-0.4476+0.2693i
-0.42490.67240.67240.08340.3884-0.0605i0.3884+0.0605i
-0.1063-0.0138+0.0429i-0.0138-0.0429i-0.0405-0.0592-0.0922i-0.0592+0.0922i
-0.3298-0.1384+0.3417i-0.1384-0.3417i-0.12170.0035+0.1640i0.0035-0.1640i
-0.6488-0.1467-0.0710i-0.1467+0.0710i0.13370.59200.5920
LA=
6.617800000
0-0.1557+1.2808i0000
00-0.1557-1.2808i000
000-0.060300
0000-0.1230+0.5461i0
00000-0.1230-0.5461i
6.6178
A的CR0.099645通过一致性检验!
WB=
0.19990.1000+0.1731i0.1000-0.1731i
0.9154-0.9154-0.9154
0.34930.1747-0.3025i0.1747+0.3025i
LK=
3.018300
0-0.0091+0.2348i0
00-0.0091-0.2348i
0.1999
0.14600.0730+0.1265i0.0730-0.1265i
0.49940.2497-0.4325i0.2497+0.4325i
0.8540-0.8540-0.8540
3.024600
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