导数在多变量问题中的应用1.docx

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导数在多变量问题中的应用1

导数在多变量问题中的应用（１）

一．结构相同“视一”法．

已知函数．

（１）求证：

；

（２）若对恒成立，求的最大值与的最小值．

巩固练习：

已知函数．

（１）讨论函数的单调性；

（２）设.如果对任意，，求的取值范围．

二．利用相关变量“消元”法．

已知常数,函数．

（１）讨论在区间上的单调性;

（２）若存在两个极值点,且,求的取值范围．

则函数在区间单调递减,在单调递增的.

上单调递减,则,即恒成立,

综上的取值范围为.

练习：

已知函数．

（１）如，求的单调区间；

（２）若在单调增加，在单调减少，证明＜6．

三．利用换元“消元”法．

已知函数．

（１）若直线y＝kx＋1与f（x）的反函数的图像相切,求实数k的值；

（２）设x>0,讨论曲线y＝f（x）与曲线公共点的个数；

（３）设a

练习：

已知函数=，其中a≠0．

（１）若对一切x∈R，≥1恒成立，求a的取值集合．

（２）在函数的图像上取定两点，，记直线AB的斜率为，问：

是否存在x0∈（x1，x2），使成立？

若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．

综上所述，存在使成立.且的取值范围为．

四．转化为线性规划问题来“整体”处理．

已知a＞0，bR，函数．

（１）证明：

当0≤x≤1时，

（ⅰ）函数的最大值为|2a－b|﹢a；（ⅱ）＋|2a－b|﹢a≥0；

（２）若﹣1≤≤1对x[0，1]恒成立，求a＋b的取值范围．

取b为纵轴，a为横轴．

则可行域为：

和，目标函数为z＝a＋b．

作图如下：

导数在多变量问题中的应用（２）

五．利用集合关系来转化处理．

已知，函数．

（１）记求的表达式；

（２）是否存在，使函数在区间内的图像上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？

若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．

．

练习：

已知函数，，其中．

（１）设函数．若在区间上不单调，求的取值范围；

（２）设函数是否存在，对任意给定的非零实数，存在惟一的非零实数（），使得成立？

若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

六．利用均值不等式来“放缩”消元．

已知函数，的导函数是，对任意两个不相等的正数，证明：

（１）当时，

（２）当时，

证明：

（１）由

得

而①

又　，∴②

∵∴

∵∴③

由①、②、③得

即

（２）由，得

∴

下面证明对任意两个不相等的正数,有恒成立

即证成立

∵，设，

则，令得，列表如下：

极小值

∴

∴对任意两个不相等的正数，恒有

七．齐次结构“作商”消元．

已知函数f（x）＝lnx，g（x）＝ax2＋bx，a≠0．

（１）若b＝2，且h（x）＝f（x）－g（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；

（２）设函数f（x）的图象C1与函数g（x）图象C2交于点P、Q，过线段PQ中点作x轴的垂线分别交C1，C2于点M、N，证明C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行．

解：

（１），则

因为函数h（x）存在单调递减区间，所以<0有解．

又因为x>0时，则ax2+2x－1>0有x>0的解．

①当a>0时，y=ax2+2x－1为开口向上的抛物线，ax2+2x－1>0总有x>0的解；

②当a<0时，y=ax2+2x－1为开口向下的抛物线，而ax2+2x－1>0总有x>0的解；

则△=4+4a>0,且方程ax2+2x－1=0至少有一正根.此时，－1

综上所述，a的取值范围为（－1，0）∪（0，+∞）．

（２）设点P、Q的坐标分别是（x1,y1），（x2,y2），0

则点M、N的横坐标为

C1在点M处的切线斜率为

C2在点N处的切线斜率为

假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则k1=k2.

即，则

=

所以设则①

令则

因为时，，所以在）上单调递增.故

则.这与①矛盾，假设不成立．

故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行．

八．利用“选主元”来消元．

已知函数f（x）=ln（1+x）－x，g（x）=xlnx.

（１）求函数f（x）的最大值；

（２）设0

解：

（１）函数的定义域为.

令

当当又

故当且仅当x=0时，取得最大值，最大值为0.

（２）

由（１）结论知

由题设

因此

所以

又

综上

证法二：

设

则

当在此内为减函数.

当上为增函数.

从而，当有极小值

因此即

设则

当因此上为减函数.

因为

即