导数在多变量问题中的应用1.docx

1、导数在多变量问题中的应用1导数在多变量问题中的应用（）一结构相同“视一”法已知函数（）求证：；（）若对恒成立，求的最大值与的最小值巩固练习：已知函数（）讨论函数的单调性；（）设.如果对任意，求的取值范围 二利用相关变量“消元”法已知常数,函数（）讨论在区间上的单调性;（）若存在两个极值点,且,求的取值范围,则函数在区间单调递减,在单调递增的.上单调递减,则,即恒成立,综上的取值范围为.练习：已知函数（）如，求的单调区间；（）若在单调增加，在单调减少，证明6三利用换元“消元”法已知函数（）若直线ykx1与f (x)的反函数的图像相切, 求实数k的值；（）设x0, 讨论曲线yf (x) 与曲线 公

2、共点的个数；（）设ab, 比较与的大小, 并说明理由练习：已知函数=，其中a0（）若对一切xR，1恒成立，求a的取值集合（）在函数的图像上取定两点，记直线AB的斜率为，问：是否存在x0（x1，x2），使成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由 综上所述，存在使成立.且的取值范围为四转化为线性规划问题来“整体”处理已知a0，bR，函数（）证明：当0x1时，（)函数的最大值为|2ab|a；（)|2ab|a0；（）若11对x0，1恒成立，求ab的取值范围 取b为纵轴，a为横轴则可行域为：和，目标函数为zab作图如下：导数在多变量问题中的应用（）五利用集合关系来转化处理已知，函数（）记求的表达

3、式；（）是否存在，使函数在区间内的图像上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由练习：已知函数，其中（）设函数若在区间上不单调，求的取值范围；（）设函数 是否存在，对任意给定的非零实数，存在惟一的非零实数（），使得成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由六利用均值不等式来“放缩”消元已知函数，的导函数是，对任意两个不相等的正数，证明：（）当时，（）当时，证明：（）由得 而 又， 由、得即（）由，得下面证明对任意两个不相等的正数,有恒成立即证成立，设，则，令得，列表如下：极小值 对任意两个不相等的正数，恒有七齐次结构“作商”消元已知函数f(x)lnx，g(

4、x)ax2bx，a0 （）若b2，且h(x)f(x)g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围； （）设函数f(x)的图象C1与函数g(x)图象C2交于点P、Q，过线段PQ中点作x轴的垂线分别交C1，C2于点M、N，证明C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行解：（），则因为函数h(x)存在单调递减区间，所以0时，则ax2+2x10有x0的解当a0时，y=ax2+2x1为开口向上的抛物线，ax2+2x10总有x0的解；当a0总有x0的解；则=4+4a0,且方程ax2+2x1=0至少有一正根.此时，1a0.综上所述，a的取值范围为（1，0）（0，+） （）设点P、Q的坐标分别是（x1, y1）

5、，（x2, y2），0x1x2.则点M、N的横坐标为C1在点M处的切线斜率为 C2在点N处的切线斜率为 假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则k1=k2. 即，则 = 所以 设则 令则 因为时，所以在）上单调递增. 故 则. 这与矛盾，假设不成立故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行八利用“选主元”来消元已知函数f(x)=ln(1+x)x，g(x)=xlnx.（）求函数f(x)的最大值；（）设0ab,证明0g(a)+g(b)-2g()(b-a)ln2.解：（）函数的定义域为. 令 当 当 又 故当且仅当x=0时，取得最大值，最大值为0. （） 由（）结论知由题设 因此 所以 又综上 证法二：设则当 在此内为减函数.当上为增函数.从而，当有极小值因此 即 设 则当 因此上为减函数.因为 即