初中数学竞赛专题复习 第二篇 平面几何 第15章 面积问题与面积方法试题1 新人教版.docx

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初中数学竞赛专题复习第二篇平面几何第15章面积问题与面积方法试题1新人教版

2019-2020年初中数学竞赛专题复习第二篇平面几何第15章面积问题与面积方法试题1新人教版

15.1.1★如图，（b）、（c）、（d）、（e）中直线与直线交于点，则：

（a）中有；（b）、（c）、（d）、（e）中有.

解析只要作相应的高，并运用比例即可.

15.1.2★若中有一点，延长、、，分别交对边于点、、，则.

解析如图，易证，，，三式相加即得结论.

15.1.3★求证：

若点、、、是一直线上依次的任意四个不同点，点是直线外一点，则有.

解析如图，

，

，

两式相乘，即得结论.

评注这个定理叫交比定理，在这里作为例子是为了强调交比（即上述比值）是一个重要的不变量，交比为2时，四点称为调和点列，此时，这种情形在几何中十分常见.

15.1.4★★如图，设，，，试用、、表示.

解析用面积比或梅氏定理得出，，于是以及与的表达式，最后算得.

15.1.5★★已知为的角平分线上任一点，、延长线上分别有点、，，，求证：

.

解析如图，连结、.至、距离相等，即，由，，有，故

，于是.

15.1.6★★在的两边和上各取一点和，使得，与交于，求证：

是的平分线.

解析如图，易知，又，故至的距离与至距离相等，于是平分.

15.1.7★★已知的边、、上分别有点、、，且、、共点，求证：

.

解析如图，设，，，则由塞瓦定理知.

又知原式等价于证明，而，同理，，，于是问题变为证明

，去分母、考虑并移项整理得上式等价于.这显然成立，取等号仅当，此时、、为各边中点.

15.1.8★在凸四边形中，，，，，，求四边形的面积.

解析如图，，故本题只有一解（否则可能为钝角）.

今延长、交于，则为等腰直角三角形，.又作，则.

.

又，故.

于是.

15.1.9★★锐角中，，向外作正与正，设与交于点，与交于点，又与交于点，求证：

.

解析结论转化为，两边同时除以，转化成线段之比，即求证，上式又等价为.

这是成立的，因为左式右式，此处用到了与.

15.1.10★在等腰中，，、分别在两腰、上，，与相交于点，四边形的面积为，求的面积.

解析如图，连结，设.易知，，

于是，

，，

，又

，故，

.

15.1.11★设、、为锐角的三条高，若平分的三条高，若平分的面积，求证：

.

解析如图，由条件知，由于∽，，

故，.

又由相似知，故，.

又∽，得，于是，结论证毕.

15.1.12★★★设是内心，在、、上的身影分别是、、，延长后，交于，延长后与交于，求证：

.

解析如图，连结、，本题等价于证明.

而，，由知，于是只需证明.

由

，

结论得证.

15.1.13★★★已知：

锐角三角形，向外作正方形、，、交于，求证：

.

解析1如图

（1），作，我们证明、、共点.

由于，，，故，而

，.

设、交于，、交于.于是，

故结论成立.

解析2如图

（2），设是高，在延长线上分别找点、，使，.易知≌，，同理.的三条高在、、直线上.因此、、三线共点.

15.1.14★★★求证：

存在一个面积为的四边形，使形内任何一点，、、、至少有一个是无理数.

解析如图，作梯形，，，，与的距离为.则.

设是内部任一点，则与中至少有一个是无理数.

否则，若与均为有理数，设分别为、，则，整理得一个关于的二次方程，系数可以是整数.但决不是这个方程的根，矛盾.

因此与中至少有一个是无理数.

15.1.15★★设中，，点为其内部任一点，求证：

.

解析此题用坐标法能使解题思路看起来更加清晰.

如图，设（，）、（，）、（，）、（，），则（，），于是

.

15.1.16★★四边形的两条对角线垂直且交于点，、分别与、垂直，延长、，分别与、交于点、，求证：

.

解析显然可将待证式改为

.

由于

.

同理，也是此式.

于是结论成立.

15.1.17★★已知凸五边形满足，，，，，求五边形的面积.

解析如图，作点关于的对称点，于是，，分别作和的角平分线，设交于点，则、分别垂直平分、，则点是的外心.

又由于

，

，

因此.

又由于，，因此，点为斜边的中点.

由≌，≌，以及≌得

.

为求，只需注意，，因此作点关于的对称点（图中未画出），有≌，于是

.

15.1.18★★凸四边形中，、分别在、上，、将三等分，且，求证：

.

解析如图，连结、、.

由，（这是因为）知：

.

由于，故.因此，亦即.由知，

.

而，故

，

因而、为、中点.由此可得、分别为、的中位线，即

，.

因此四边形为平行四边形，所以

，，

而，故

，

由此得四边形为平行四边形，故.

15.1.19★★★为的内心，、分别为、的中点.与延长线交于，延长线与延长线交于（如图），，求.

解析设，，，，，内切圆半径为.

由得

.

而.

又.所以

，

即

.

同理，对用同样的方法可得：

.

两式相乘，利用得：

，

即.

所以，.

15.1.20★★已知、为直角三角形（）的角平分线，交于，求.

解析设，，.由内角平分线性质，有，故，

，，

于是.

而，故

，

.

同前面类似的算法可得：

，故

.

利用，

.

15.1.21★★点为正三角形内一点，，，，试用、、表示.

解析分别把、、绕点、、顺时针旋转，得、、三点，则、、是边长分别为、、的正三角形，而、与是边长各为、、的全等三角形，最终得

，此处.

15.1.22★在凸四边形中有一点，满足，求证：

点在该四边形的对角线上.

解析显然在对角线上时，上述结论成立.今用反证法，若点不在对角线上时，如图，不妨设与交于点，又不妨设点位于的内部.此时，与有一交点，记为.

由题设得

，

于是由面积比知点、、共线.这样一来，点、均在直线上，点就在上，与假设矛盾.

15.1.23★★自的顶点引两条射线交边于、，使，求证：

.又，反之如何？

解析如图，由，得

.

又，故

.

两式相乘，即得.

反之，若，作外接圆，分别交、于、.则，，代入得，得，但、、、共圆，故四边形为等腰梯形，圆周角和所对弧相等，由于其和小于，故.

15.1.24★★★已知正三角形内一点，到、、的射影分别是、、，求证：

；、和和面积和等于的一半.

解析如图，易知，

，

，

三式相加即得结论.

又过作，，.、在上，、在上，、在上.易知、和均为正三角形，四边形、、均为平行四边形，记，，，，，，则

.

15.1.25★★已知：

凸五边形中，，，、分别是、中点，在上，，求证：

.

解析如图，设中点为，连结、.则，，，.

设、交于，则，，

，故，.

15.1.26★凸四边形中，对角线相交于，、分别为、的中点，连结，交于，交于，、分别为、中点，分别与、交于、，求证：

.

解析如图（图中点、未画出），连结、，则，，故∽，且，同理，于是在与中，与互补，，于是.

15.1.27★★已知为内一点，，求证：

.

解析如图，由余弦定理，同理，，三式相加，得

，

此即

15.1.28★中，是高，，，，求.

解析设.分两种情况讨论，一种、在两侧，另一种、在同侧.

、在两侧时，，于是由面积，，即，得，得或.时，，不合要求；故，.

、在同侧时，，同样由面积公式，，即

，得，无解.

15.1.29★★★设矩形的边、上分别有点、，满足是正三角形，求证：

.

解析如图，设边长为..

取，使，，，连结、、，与交于，延长至，，连结，则.又易知

.于是只要证明即可.

事实上，

.于是结论成立.

15.1.30★★★已知正三角形边长为，在上，，在上，，求的长.

解析如图，作、、分别与、、垂直，设，由

，得.

又由条件，知，同理，，故

，

于是.由，得，又，，故.

由于，，，故，于是.（见题9.2.3.）

15.1.31★用正弦定理证明三角形面积公式

.

这里、、为的三边长，为的外接圆半径.

解析.

又，，，代入得

.

又找到外心，则

.

评注最后的结果中，、、可能取负值，但不影响结论.

15.1.32★★★已知，、分别在、上，，，

，试用、、表示.

解析如图（a）作，、在直线、上，设，又设，，，，则，，，

因此，，于是有

，

展开得.

记，则，解得.所以.

因为，故根号前应取“”号，于是

解析2如图（b），延长、交于，连结，设，则，于是有.解出，以下同解析1.

15.1.33★已知面积为，、分别在边上，且，、在边上，，、在边上，，若、交于，求.

解析如图，由于，，故，且.

又作，交于，则为的高.

设至距离为，则由∽，知.又，故，于是.所以.

15.1.34★已知的三边长分别为、、，面积为；的三边长分别为、、，面积为，且，，，则与的大小关系一定是（）

A.B.

C.D.不确定

解析构造与如下：

（1）作∽，显然

，

即.

（2）设，，，则，，，即有.

（3）设，，，，则，，，即有.

因此，与的大小关系不能确定.应选（D）.

15.1.35★★用长为1、4、4、5的线段为边作梯形，求这个梯形的面积.

解析

（1）当梯形的上底为，下底为时，两腰长均为，得等腰梯形（如图（a）所示）.

作交于，交于，易知，且.由勾股定理可得.所以

.

（2）当梯形的上底为，下底为时，两腰分别为和，得直角梯形（如图（b）所示）.

过作交于，易知，，从而.根据勾股定理的逆定理可知，.所以

.

（3）若用长为的线段作梯形的腰，则无法完成符合条件的梯形.

15.1.36★★在直角三角形中，，，，分别以、、为边长向外作等边三角形、、，连结交于点，求的面积.

解析由题设得，，，，、、三点共线.

因为，而，所以.即，从而.于是

.

15.1.37★设点、、、分别在面积为的四边形的边、、、上，且（是正数），求四边形的面积.

解析如图，连续、.易知

.

因此

.

同理.

所以

.

同理可证.

所以

.

15.1.38★如图，在中，，且到、的距离之比为.若的面积为，的面积为，求的面积.

解析由知，∽∽，所以

.

又由题设知，所以

，

，

故，

于是，.

15.1.39★★★凸四边形中，点在边上与交于点，若，且，，，求证：

点、分别为与的中点.

解析如图，由于，延长、交于.

设，则，故，.

又作，在上，连结、，与交于，则，故，四边形为平行四边形，为的中点.

于是为的中位线，故为之中位线，故、分别为、的中点.

15.1.40★★已知，，在上，且，求证：

.

解析如图，设，，，则由条件知

，此即，于是

，

注意即至距离，即至距离，故有，代入上式，有，

即.

15.1.41★★点、分别是凸四边形的边、的中点，点、分别在、上使四边形为平行四边形，证明：

.

解析如图，.

当时，为中位线，于是，为至距离，此正是

，于是.

若与不平行，设、中点分别为、，四边形亦为平行四边形，、的中点都是之中点，若与不重合，则与也不重合（否则、的中点不是同一点），因此与相互平分，，即，与、不平行矛盾.所以、是、的中点，此时易证.

15.1.42★★已知中，、分别在、上，、、分别为、、的中点，求证：

、、三线共点.

解析如图，设、延长后交于，如能证明平分，则、、即共点.

易知，

又，，

于是，，故结论成立.