立体几何Word格式.docx

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锥体（棱锥和圆锥）

S表面积＝S侧＋S底

V＝

Sh

台体（棱台和圆台）

S表面积＝S侧＋S上＋S下

（S上＋S下＋

）h

球

S＝4πR2

πR3

4.常用结论

（1）与体积有关的几个结论

①一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．

②底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等．

（2）几个与球有关的切、接常用结论

a．正方体的棱长为a，球的半径为R，

①若球为正方体的外接球，则2R＝

a；

②若球为正方体的内切球，则2R＝a；

③若球与正方体的各棱相切，则2R＝

a.

b．若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝

.

c．正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.

（3）斜二测画法中的“三变”与“三不变”

“三变”

“三不变”

基础巩固：

1．（教材改编）已知圆锥的表面积等于12πcm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为________cm.

2．（陕西改编）将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积_____．

3．将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD＝a，则三棱锥D－ABC的体积为________．

【例题精讲】

题型一　求空间几何体的表面积

例1　

（1）（山东）一个六棱锥的体积为2

，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．

（2）如图，斜三棱柱ABC—A′B′C′中，底面是边长为a的正三角形，侧棱长为b，侧棱AA′与底面相邻两边AB与AC都成45°

角，求此斜三棱柱的表面积．

思维升华　

（1）解决组合体问题关键是分清该几何体是由哪些简单的几何体组成的以及这些简单的几何体的组合情况；

（2）在求多面体的侧面积时，应对每一侧面分别求解后再相加，对于组合体的表面积应注意重合部分的处理．（3）圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．

题型二　求空间几何体的体积

例2　（山东改编）已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为________．

思维升华　空间几何体体积问题的常见类型及解题策略

（1）若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．

（2）若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．

题型三　与球有关的切、接问题

例3　已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为________．

引申探究

1．本例若将直三棱柱改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？

2．本例若将直三棱柱改为“正四面体”，则此正四面体的表面积S1与其内切球的表面积S2的比值为多少？

3．本例中若将直三棱柱改为“侧棱和底面边长都是3

的正四棱锥”，则其外接球的半径是多少？

思维升华　空间几何体与球接、切问题的求解方法

（1）求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．

（2）若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．

【课堂练习】

1.一个正三棱台的上、下底面边长分别是3cm和6cm，高是

cm.

（1）求三棱台的斜高；

（2）求三棱台的侧面积和表面积．

2.（课标全国Ⅱ改编）正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为

，D为BC的中点，则三棱锥A－B1DC1的体积为________．

3.如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB＝AC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为________．

二、平行

1．直线与平面平行的判定与性质

判定

性质

定义

定理

图形

条件

a∩α＝∅

a⊂α，b⊄α，a∥b

a∥α

a∥α，a⊂β，α∩β＝b

结论

b∥α

a∥b

2.面面平行的判定与性质

α∩β＝∅

a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α

α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b

α∥β，a⊂β

α∥β

1．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则下列说法正确的是________．

①α内的所有直线与l异面；

②α内不存在与l平行的直线；

③α内存在唯一的直线与l平行；

④α内的直线与l都相交．

2．设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．

①α∥γ，n⊂β；

②m∥γ，n∥β；

③n∥β，m⊂γ.

可以填入的条件有________．

3．（教材改编）下列命题中正确的是________．

①若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面；

②若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行；

③平行于同一条直线的两个平面平行；

④若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α.

4．（教材改编）如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为________．

5．过三棱柱ABC－A1B1C1任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．

题型一　直线与平面平行的判定与性质

命题点1　直线与平面平行的判定

例1　如图，四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝

AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点．

（1）求证：

AP∥平面BEF；

（2）求证：

GH∥平面PAD.

命题点2　直线与平面平行性质定理的应用

例2　（安徽）如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2

.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.

（1）证明：

GH∥EF；

（2）若EB＝2，求四边形GEFH的面积．

思维升华　判断或证明线面平行的常用方法：

（1）利用线面平行的定义（无公共点）；

（2）利用线面平行的判定定理（a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α）；

（3）利用面面平行的性质定理（α∥β，a⊂α⇒a∥β）；

（4）利用面面平行的性质（α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β）．

题型二　平面与平面平行的判定与性质

例3　如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：

（1）B，C，H，G四点共面；

（2）平面EFA1∥平面BCHG.

1．在本例条件下，若D为BC1的中点，求证：

HD∥平面A1B1BA.

2．在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：

平面A1BD1∥平面AC1D.

思维升华　证明面面平行的方法：

（1）面面平行的定义；

（2）面面平行的判定定理：

如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；

（3）利用垂直于同一条直线的两个平面平行；

（4）两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；

（5）利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．

题型三　平行关系的综合应用

例4　如图所示，在四面体ABCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD，试问截面在什么位置时其截面面积最大？

1.　

（1）如图所示，在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°

，∠BAC＝∠CAD＝60°

，E为PD的中点，AB＝1，

求证：

CE∥平面PAB；

（2）如图所示，CD，AB均与平面EFGH平行，E，F，G，H分别在BD，BC，AC，AD上，且CD⊥AB.求证：

四边形EFGH是矩形．

2.　如图，在三棱锥S—ABC中，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F.点E，G分别是棱SA、SC的中点．求证：

平面EFG∥平面ABC.

3.如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，在侧面PBC内，有BE⊥PC于E，且BE＝

a，试在AB上找一点F，使EF∥平面PAD.

三、垂直

1．直线与平面垂直

判

定

a⊥b，b⊂α（b为α内的任意一条直线）

a⊥α

a⊥m，a⊥n，m、n⊂α，m∩n＝O

a∥b，a⊥α

b⊥α

性

质

a⊥α，b⊂α

a⊥b

a⊥α，b⊥α

2.平面与平面垂直

（1）平面与平面垂直的定义

两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．

（2）判定定理与性质定理

文字语言

图形语言

符号语言

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直

⇒α⊥β

如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面

⇒l⊥α

1．（教材改编）下列条件中，能判定直线l⊥平面α的是____________．

①l与平面α内的两条直线垂直；

②l与平面α内无数条直线垂直；

③l与平面α内的某一条直线垂直；

④l与平面α内任意一条直线垂直．

2．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的____________条件．

3．已知平面α⊥β，α∩β＝l，P是空间一点，且P到平面α、β的距离分别是1、2，则点P到l的距离为________．

4．（教材改编）PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连结PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有_____对．

5．（教材改编）在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O，

（1）若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心．

（2）若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心．

题型一　直线与平面垂直的判定与性质

例1　（辽宁）如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°

，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点．

EF⊥平面BCG；

（2）求三棱锥D－BCG的体积．

思维升华　

（1）证明直线和平面垂直的常用方法：

①判定定理；

②垂直于平面的传递性（a∥b，a⊥α⇒b⊥α）；

③面面平行的性质（a⊥α，α∥β⇒a⊥β）；

④面面垂直的性质．

（2）证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．

（3）线面垂直的性质，常用来证明线线垂直．

题型二　平面与平面垂直的判定与性质

例2　如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°

，∠BAD＝90°

.将△ABD沿对角线BD折起，记折起后A的位置为点P，且使平面PBD⊥平面BCD.

（1）CD⊥平面PBD.

（2）平面PBC⊥平面PDC.

思维升华　面面垂直的性质应用技巧

（1）两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面．这是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”．

（2）两个相交平面同时垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于第三个平面，此性质在不是很复杂的题目中，要对此进行证明．

题型三　垂直关系中的探索性问题

例3　（合肥质量检测）如图，在三棱台ABC－DEF中，CF⊥平面DEF，AB⊥BC.

（1）设平面ACE∩平面DEF＝a，求证：

DF∥a；

（2）若EF＝CF＝2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG⊥平面CDE？

若存在，请确定G点的位置；

若不存在，请说明理由．

思维升华　同“平行关系中的探索性问题”的规律方法一样，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明．

1.如图所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD＝

DB，点C为圆O上一点，且BC＝

AC，PD⊥平面ABC，PD＝DB.

PA⊥CD.

、

2.（重庆）如图，三棱锥PABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠ABC＝

，点D，E在线段AC上，且AD＝DE＝EC＝2，PD＝PC＝4，点F在线段AB上，且EF∥BC.

AB⊥平面PFE；

（2）若四棱锥PDFBC的体积为7，求线段BC的长．

3.如图

（1）所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°

，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图

（2）所示．

DE∥平面A1CB；

A1F⊥BE；

（3）线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？

说明理由．

作业1：

1．平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是________．

①AB∥CD;

②AD∥CB；

③AB与CD相交；

④A，B，C，D四点共面．

2．（安徽改编）已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是________．

①若α，β垂直于同一平面，则α与β平行；

②若m，n平行于同一平面，则m与n平行；

③若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线；

④若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面．

3．设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是________．

①若l∥α，l∥β，则α∥β；

②若l⊥α，l⊥β，则α∥β；

③若l⊥α，l∥β，则α∥β；

④若α⊥β，l∥α，则l⊥β.

4．给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β、γ的三个命题：

①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；

②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；

③若α∩β＝l，β∩γ＝m.γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.

其中真命题的个数为________．

5．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是________．

6．在四面体A－BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．

7.如图所示，ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1、B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝

，过P、M、N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝______.

8.如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，动点M在四边形EFGH上及其内部运动，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1.

9.如图，ABCD与ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．

（1）BE∥平面DMF；

（2）平面BDE∥平面MNG.

10.如图，E、F、G、H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点．求证：

（1）EG∥平面BB1D1D；

（2）平面BDF∥平面B1D1H.