电大高等数学基础形成性考核手册答案必考重点精编打印版一Word下载.docx

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2x一

4-若函数f（x）=〈（"

x）«

.x<

。

，xk,x_o在x=0处连续，则|<

5.函数y=*'

sinx,

的间断点是

6.若limf（x）=A.

-ro

则当XT

Xo时，f（x）-A称为XTXo时的无穷小量。

L设函数

f（x）

求：

f（-2）,f（0）,f

（1）.

解：

f（-2）=-2,f（0）=0,f1=e=e

.、-2x・1

2.求函数y=lg的定义域.

.—1,、

解得<

xA—或x<

x=0

2x-1..

y=|g有息义，要求

1则正义域为XIxtOWcx-

3.在半径为R的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合,

个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数.

设梯形ABCD即为题中要求的梯形，设高为h,即OE=h,下底CD=2R直角三角形AOE中，利用勾股定理得

AE=、.OA-OEfR2・m

则上底=2AE=2R-h，

故S于k2R-2.FMv）=hR-R2-h^2sin3xhm.

Isin2x4.求

另一底边的两

sin3xcsin3x

=lim=lim=

x»

sin2xxx）sm2x2xx力sin2x212

sin3xlim解：

5.求

-1-1

醺*

=lime—十*

a1sin（x1）

=hm,—,

x=sin（x_1）

tan3x

6.求lim——，■

tan3xlimx]«

解:

sin3_X]_1x

cos3x

sin3x1

=lim

*°

3xcos3x

3=1

7.求

1XE

limx0sinx

lim

X）O

X2-1）（.1x21）

（.1x21）sinx0_1

=lim

2Sinx

（成卜

x-1v

8.求网切

蜒日）

1-1（1■与

lim；

）狞尚j——=limxr3xX]：

x（1—y

[（19邛

.6X

9.求lim乂＞

IxxSx^7

•，方象呼户厂杰〒=时

（x-2>

（x）=X,

X1,

讨论f（X）的连续

3=3

性。

分别对分段点X=-1,x=1处讨论连续性

limfx=limx--1

..1x21）sinx

X..1刑X..1xn,

limfxlimx1--11=0

X..1一X..1一

所以limf（x）#limf（x）,即f（x）^x=—1处不连续

x_tl—X>

limfx=limx[2=1_F2=1

x1—xn.

limfx=limx=1

x1-xn_

f1=1

所以limfx=limf（x）=f

（1）即f（x）在x=1处连续x）1-

由

（1）

（2）得f（x）在除点x=—1外均连续

高等数学基础作业2答案:

第3章导数与微分

（-）单项选择题

1.设f（O）=O且极限lim5存在,则lim%!

=（C）«

）<

xxa

A.f（O）B.f（O）

C-f（x）

D.0cvx

2,设f（x）在x°

可导，则lim

h）°

B.2hf（x-）

C.2f（x«

D.-f（x-）

A.eB.2eC.—eD.—e24

4.设f（x）=x（x—1）（x-2）...（x-99）,贝uf'

（O）=（D）.

A.99B.-99C.99!

D.-99!

5.下列结论中正确的是（C）.

A.若f（x）在点X。

有极限，则在点X。

可导.B.^f（x）在点X。

连续，则在点x°

可

导.

C.若f（x）在点Xo可导，则在点Xo有极限.D.若f（x）在点Xo有极限，则在点Xo

连续.

xsin-x

L设函数f（x）=<

0,则"

（0）=

2,设f（e，）=e-5ex,则*=31dxxx

3.曲线f（x）=jx+1在（1,2）处的切线斜率是k=1。

4.曲线f（x）=sinx在（.」）处的切线方程是y=1«

5.设y=X"

.贝uy_=_2x^（1_ln_x）

6.设y=xInx.贝uy=—。

Inx

X，

Inx-xdnx2xlnx-x

Irvx

cosx2*

sx（-・2x）-（x-x，）cxx

cosxlnx

cx2<

x3-©

x2*y

x（-sinx2*In2）-3（cosx2）

Inx-x“=

inx-x^sinx-inx-x，s

sxx3・sxx，83，（cosx2x）-（sinxx，）8ln3

3A=3“

（8）y=e-tanxInx

解y=ie-tanxe«

tanxInx=e«

tanx2

cosxx

2.求下列函数的导数y:

=（e、♦）=（e*x）x2

22、x

（2）y=Incosx

e,1—.一、sinx...

y=（—sinx）==—tanx

cosxcos

iIo

（3）y=.xxx

Ff7

y=x8=—8

）8

仞y=sirvx

y=2sinxsinx=2sinxcosx=2sin2x（5）y=sinx

y=cosx22x=2xcosx

xcose

222

ysrsinexex=-2xexsine

（7）y=sin-xcosnx

y=sin-xcosnxsin-xcosnx

n-fn

=nsxcxcnx-nsxsnx）

5sinx

=5-ln5cosx=ln5cosx5-

cosx

（9）y=e

V=ecosx-sinx...sinxeC0SX

3.在下列方程中，y=y（x）是由方程确定的函数，求y*:

（1）ycosx=s

2y.ysinx

解ycosx-ysinx=2eyycosx-2e^

=cosyinx

•1cosy

解y=siny.yInxcosy.—xy“:

、

.，，jx（1sinyInx）

（3）2xsiny=

2yx-X，琴-2siny

2xccy.ys2siyny（2xcosyy

y=2xy_-2ysiny

2xycogx

=xIny

0y°

醉y=-1

xe»

=y，

（o）ln

-e，y=2yyx..-

y—v

x（2y-e0

（6）y»

1=esiny

e-siny

2yy=e*cosy.ysiny.ey、

2y-ecosy

yx2h

ey=e_3yy

e-2

y3y

⑻y=5X-2,

A.在（a,b）内连续

B.在（a,b）内可导

C.在（a,b）内连续且可导

D.在［a,b］内连续，在（a,b）内可导

2.函数f（x）=x?

+4x—1的单.调增加区间是（D）.

A.（-二，2）

B.（-1,1）

C.（2,二）

D.（-2,~）

3.函数y=x+4x—5在区间（一6,6）内满足（A）.

A.先单调下降再单调上升

B.单调下降

C.先单.调上升再单调下降

D.单调上升

4.函数f（x）满足f（x）=0的点，■-定是f（x）的（C）.

A.间断点

B.极值点

C.驻点

D.拐点

5.设f（x）在（a,b）内有连续的二阶导数，xow（a,b）,若f（x）满足（o.则f（x）在x（＞取到极小值.

A.f（Xo）0,f（Xo）=0

B.f（Xo）:

0,f（Xo）=0

C.f（x-）=0,f（x-）0

D.f（x-）=0,f（x«

）:

区间内是（A）

A.单调减少且是凸的

B.机调减少且是凹的

C.取调增加且是凸的D.单调增加且是凹的

6.设f（x）在（a,b）内有连续的二阶导数，且f（x）<

0,f（x）<

0,则f（x）在此

（2）填空题

1.设f（x）^E（a,b）内可导，x0w（a,b）,M当x<

Xo时f'

（x）<

0,当xa^时

（x）AO,则x。

是f（x）的既l业点.

2.若函数f（X）在点Xo可导，且Xo是f（x）的极值点，贝Uf（Xo）=

3.函数y=ln（1+x0的单调减少区间是（~,0）.

4.函数的单调增加区间是（0,_•二）

5.若函数f（x）在［a.b］内恒有f（x）<

0,则f（x）在［a,b］上的最大值是f（a）.

6.函数f（x）=2+5x—3X3的拐点是（0,2）

（3）计算题

L求函数y=（x+1）（x—5）的单调区间和极值.

—2——

令y=.［x-5（x1）2（x-5）=3（x-5）（x-1）n驻点X=1,X=5

列表:

极大值:

（1）=3

（F）

（1,5）

（5*）

—

上升

极大值

下降

极小值

n最小值f

（1）=2

3.求曲线y，=2x上的点，使其到点A（2,0）的距离最短.解：

设p（x,y）是y2=2x±

的点，d为p到A点的距离，贝U：

d=（x-2>

y2=.（x-2>

aj.2（x-2）2x-1八

令d='

2（x.2），2x（x-2>

2.求函数y=x-2x+3在区间［0,3］内的极值点，并求最大值和最小值.

令：

=2x・2=0nx=1（驻点）,列表:

y，=2x上点（1,J2）或（1,-卷到点A（2,0）的距离最短…

（0,1）

（1,3）

极大值2

圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为L,问当底半径与高分别为多少时，圆柱

体的体积最大？

设园柱体半•径为R,高为h,则体SIV=nR^h=JT（b—h^h

y=x-2x3=x-12

V*=A［h（-2h）h，］=兀［『3卜］=0

nL=V3h

f（0）=3f（3）=6f

（1）=2

=极值点：

（1）=2

R=J?

L-当h=、-,r=*l时其体积最大。

33,3

5.一体积为V的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小?

设园柱体半•径为R,高为h,则体积V=AR：

-2V_z

S表面枳=2二Rh2-R2=2R2%

n最大值f（3）=6

A./V3V4V

s=—2VR+4nR=0n——=R3nR=3J—h=3—

2-2-：

谷：

当R=3（lh=3—时表面积最大。

.2二•.二

6.欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的於方体开口容器，怎样做法用料最省?

设底长为x,高为h。

贝U:

5云262.5

62.5=xh=h=—2-x

oo250

侧面积为：

S=x•4xh=x・

..250-3

令S=2x_-5°

=0=x=125=x=5

答：

当底连长为5米，高为2.5米时用料最省。

（4）证明题

1.当X》0时,证明不等式x>

ln（1+x）.

证：

在区间1,1+x止对函数f（x）=lnx应用拉格朗日定理，有

1In1xTn1=——x

....1

其中1<

1+X,故w<

1,于是由上式可得x》ln（1+x）2.当X》。

时，证明不等式e->

x+1.

设f（x）=e，一（x+1）

f（x）=ex-1》0

（当x》0时）

n当x>

0时,f（x）帆调上升且f（0）

.f（x）»

即e«

（x1）

高等数学基础形考作业4答案:

第5章不定积分

第6章定积分及其应用

（一）单项选择题

L若f（x）的一个原函数是］,则f（x）=（D）x

A.Inx

B.-2

C.1

D.M

2.卜’列等式成立的是（D）.

Af（x）dx=f（x）

B.df（x）=f（x）c.

rdr「

D.f（x）dx=f（x）

B.cosx+c

d.f（x）dx=f（x）

3.若f（x）=cosx.则」f（x）dx=（B）

A.sinx+c

D.-cosxc

B.x4（x^）

D.f（x）

-sinxc

4.aJx2f（x3）dx=（B）.dxf（x、）

C.30）

5.Jf（x）dx=F（x）+c测若

A.F（.-x）cB.2F（.—x）c

C.F（2.x）cd.F（,~x）c

6.下列无穷限积分收敛的是（D）.

-be

L函数f（x）的不定积分是」f（x）dx。

2.若函数F（x）与G（x）是同一函数的原函数，则F（x）与G（x）之间有关系式

F（x）-G（x）=c（常数）。

3.d1edx=e、。

4.（tanx）dx=tanxc»

5.若Jf（x）dx=cos3x+c,贝Uf（x）=—9cos（3x）»

151

6.（sinx）dx=3

•H2—

—、.=1

7.右无分积分f—dx收敛，贝UPAO。

cos

TxJ_11\.・_1

1.—2ldx—cos—d（—）—sin—c

XXXX

2.dx=2Je.-d*'

x=2e*x+c

3.dx=d（Inx）=ln（lnx）c

xlnxInx

....1Bc1

xsin2xdx=-—xdcos2x=-—xcos2x

-1...1-1.,

cos2xdx=-—xcos2x-sin2224

e3+Inxe,,1,e

5.fdx=J（3+lnx）d（3+lnx）=-（3+lnx）1

*-2x

6oxedx

1-2x

111

I”

—cy/

J.1c

rlxz—,•・r\

—0

-C

02o

2乂

■1r-

e，

vrlvInv

-vrlv-

2，

Inx,1,・e1

~2~xdx=Inx+—dx=

•x11xe

（四）证明题

1.证明：

若f（x）在[―a,a]±

可积并为奇函数，则[f（£

）dx=O.

a_aaa

令x=—tff（x）dx=一ff（—t）dt=rf（—t）dt=—[f（t）dt

-aaa

n[f（x）dx=—[f（x）dxnff（x）dx=O证毕・_a._a._a

2.证明：

^f（x）^Ha,a]±

可积并为偶函数.贝Uifjx）dx=2[f（x）d

证:

qf（x）dx=qf（x）dx.if（x）dx

令乂=—t,则Lf（x）dx=—af（—t）dt=of（t）dtIf（x）是偶函数

qf（x）dx=Jf&

）dx°

f（x）dxaTef（x）dx・f（x）dx=2of（x肉x

证毕

y=logax（a0,a=1）

高等数学

（1）学习辅导

（一）

4.了籍夏春涛数、初等函数的概念，会把一个复合函数分解成较简单的函数

l理解函数的概念：

掌握函数y顼X）中符号f（）的含义：

了解函数的两要素：

会

求函数的定义域及函数值：

会判断两个函数是否相等

两个函数相等的充分必要条件是定义域相等且对应关系相同

2.了解函数的主要性质.即单调性、奇偶性、有界性和周期性

若对任意X,有f（—O=f（x）,则称为偶函数，偶函数的图形关于

*对任意X,有〜）=_"

则伽称为奇函数，奇函数的图形关于原点对称。

掌握奇偶函数的判别方法

掌握单调函数、有界函数及周期函数的图形特点

④对数函数:

⑤三角函数:

sinx,cosx,tanx,cotx

⑥反三角函数:

arcsinx,arccosx,arctanx

如函数

arctan2（1r）

y=e

可以分解y=e,u=v,v=arctanw,w=1+x。

分解后的函数前三个都是基木

初等函数.而第四个函数是常数函数和藉函数的和

5.会列简单的应用问题的函数关系式

例题选解

、填空题

E。

）,则f（x）=

3.熟练掌握基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形

基本初等函数是指以下几种类型：

①常数函数：

②藉函数：

=x°

（a为实数）

③指数函数：

y=a（a0,a=1）

t=[x=l

设x,则t

f（x）=.5_x

2.函数'

n（x—2）一的定义域是解：

对函数的第一项，要求x-2》。

且ln（x—2）#0,即x>

2且x#3；

对函数的

第二项，要求5—x芝。

，即x<

5o取公共部分，得函数定义域为（2,3）J（3,5］。

3.函数f（x）的定义域为［QU,则f（'

nx）的定义域是

要使

f（%）有意义，必须使0<

lnx'

1由此得w'

nx）定义域为［1,e］»

■-xi-9

4.函数

x・3的定义域为

x*-9

C2cJ-

X—3有意义，必须满足x_9芝。

且x3》0.即I

X*3成立,

x3或x--3

解不等式方程组，得出,X>

3*故得出函数的定义域为d—%（3M°

则函数的图形关于

对称

明的定义域为（_虬

+勺，且有

XX-X

rf（x）

即《X）是偶函数，故图形关于

v轴对称。

二、帆项选择题

L下列各对函数中，（

）是相同的。

A,f（x）=Xg（x）=x.

bf（x）=Inx,g（x）=2lnx.

Cf（x）=lnx,g（x）=3lnx.

Wx）=「，g（x）=x

A中两函数的对应关系不同

B,D三个选项中的每对函数的定

义域都不同，所以AB,D都不是正确的选项;

而选项C中的函数定义域相等，且对应

关系相同，故选项C正确。

2.设函数的的定义域为（9,+勺，则函数（一x）的图形关于（）

对称。

A.y=x；

B.x轴:

C.y轴:

D.坐标原点

设F（x）=f（x）・f（・X）,则对任意X有

F（_x）=f（_x—f（一（一x））=f（—x）-f（x）=・（f（x—f（-x））=-F（x）

即F（x）是奇函数，故图形关于原点对称。

选项D正确。

3.设函数f（x）的定义域是全体实数，则函数f（x）,f（-x）是0

A.单调减函数：

B.有界函数；

C.偶函数；

D.周期函数

A,B,D三个选项都不一定满足。

设F（x）=f（x）,f（—X）,则对任意x有

F（・x）=f（-x）f（-（-x））=f（・x）,f（x）=f（x）f（-x）=F（x）

Iim（1-}=eiim

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