工程数学线性代数同济大学第六版课后习题答案全Word下载.docx

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3.写出四阶行列式中含有因子a11a23的项.

解含因子a11a23的项的一般形式为

（-1）ta11a23a3ra4s,

其中rs是2和4构成的排列,这种排列共有两个,即24和42.

所以含因子a11a23的项分别是

（-1）ta11a23a32a44=（-1）1a11a23a32a44=-a11a23a32a44,

（-1）ta11a23a34a42=（-1）2a11a23a34a42=a11a23a34a42.

4.计算下列各行列式:

。

（2）；

.

（3）;

解

=abcd+ab+cd+ad+1.

5。

证明：

（1）=（a-b）3；

证明

=（a-b）3。

证明

（c4—c3,c3—c2，c2—c1得）

（c4—c3,c3—c2得）

（4）

=（a—b）（a—c）（a—d）（b—c）（b—d）（c-d）（a+b+c+d）;

=（a—b）（a—c）（a-d）（b—c）（b—d）（c-d）（a+b+c+d）.

（5）=xn+a1xn—1+⋅⋅⋅+an—1x+an。

证明用数学归纳法证明.

当n=2时,,命题成立。

假设对于（n-1）阶行列式命题成立,即

Dn—1=xn-1+a1xn-2+⋅⋅⋅+an—2x+an—1，

则Dn按第一列展开,有

=xDn—1+an=xn+a1xn-1+⋅⋅⋅+an—1x+an.

因此,对于n阶行列式命题成立。

6。

设n阶行列式D=det（aij）,把D上下翻转、或逆时针旋转90︒、或依副对角线翻转,依次得

,,

证明,D3=D.

证明　因为D=det（aij）,所以

同理可证

7.计算下列各行列式（Dk为k阶行列式）:

（1）,其中对角线上元素都是a，未写出的元素都是0；

解

（按第n行展开）

=an—an-2=an—2（a2-1）。

解将第一行乘（—1）分别加到其余各行,得

再将各列都加到第一列上,得

=[x+（n—1）a］（x-a）n-1。

解根据第6题结果,有

此行列式为范德蒙德行列式.

（4）;

（按第1行展开）

再按最后一行展开得递推公式

D2n=andnD2n-2—bncnD2n-2,即D2n=（andn—bncn）D2n—2.

于是.

而,

所以.

（5）D=det（aij），其中aij=｜i-j｜;

解aij=|i—j｜,

=（-1）n—1（n—1）2n—2.

（6），其中a1a2⋅⋅⋅an≠0。

8。

用克莱姆法则解下列方程组:

解因为

,

所以,,，.

（2）.

,

所以

,，，。

9。

问λ，μ取何值时，齐次线性方程组有非零解？

解系数行列式为

令D=0，得

μ=0或λ=1.

于是,当μ=0或λ=1时该齐次线性方程组有非零解。

10。

问λ取何值时，齐次线性方程组有非零解?

解系数行列式为

=（1—λ）3+（λ-3）—4（1-λ）-2（1-λ）（—3-λ）

=（1—λ）3+2（1-λ）2+λ-3.

λ=0，λ=2或λ=3.

于是,当λ=0，λ=2或λ=3时，该齐次线性方程组有非零解.

第二章　矩阵及其运算

1.已知线性变换：

求从变量x1,x2,x3到变量y1,y2,y3的线性变换.

解由已知：

故,

2。

已知两个线性变换

求从z1,z2,z3到x1,x2,x3的线性变换。

解由已知

所以有.

3.设,,求3AB-2A及ATB.

4.计算下列乘积:

解.

解=（1⨯3+2⨯2+3⨯1）=（10）.

解.

（4）;

（5）；

=（a11x1+a12x2+a13x3a12x1+a22x2+a23x3a13x1+a23x2+a33x3）

5.设,,问:

（1）AB=BA吗？

解AB≠BA.

因为,,所以AB≠BA.

（2）（A+B）2=A2+2AB+B2吗?

解（A+B）2≠A2+2AB+B2.

因为,

但,

所以（A+B）2≠A2+2AB+B2.

（3）（A+B）（A-B）=A2-B2吗?

解（A+B）（A-B）≠A2-B2.

因为,,

故（A+B）（A-B）≠A2-B2.

举反列说明下列命题是错误的:

（1）若A2=0,则A=0;

解取,则A2=0,但A≠0.

（2）若A2=A，则A=0或A=E；

解取,则A2=A,但A≠0且A≠E.

（3）若AX=AY，且A≠0,则X=Y。

解取

则AX=AY，且A≠0，但X≠Y.

7。

设,求A2,A3,⋅⋅⋅,Ak.

解,

⋅⋅⋅⋅⋅⋅,

设,求Ak.

解首先观察

.

用数学归纳法证明：

当k=2时,显然成立.

假设k时成立，则k+1时，

由数学归纳法原理知:

设A,B为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明BTAB也是对称矩阵。

证明因为AT=A,所以

（BTAB）T=BT（BTA）T=BTATB=BTAB,

从而BTAB是对称矩阵。

设A,B都是n阶对称矩阵,证明AB是对称矩阵的充分必要条件是AB=BA.

证明充分性:

因为AT=A,BT=B,且AB=BA,所以

（AB）T=（BA）T=ATBT=AB,

即AB是对称矩阵。

必要性:

因为AT=A,BT=B,且（AB）T=AB,所以

AB=（AB）T=BTAT=BA.

11.求下列矩阵的逆矩阵：

解。

|A|=1，故A—1存在。

因为

，

故。

解.｜A｜=1≠0,故A—1存在。

所以。

|A｜=2≠0,故A—1存在。

（4）（a1a2⋅⋅⋅an≠0）。

解,由对角矩阵的性质知

12。

解下列矩阵方程:

（4）.

13。

利用逆矩阵解下列线性方程组：

解方程组可表示为

故,

从而有.

故有.

14。

设Ak=O（k为正整数），证明（E-A）-1=E+A+A2+⋅⋅⋅+Ak-1.

证明因为Ak=O,所以E-Ak=E.又因为

E-Ak=（E-A）（E+A+A2+⋅⋅⋅+Ak-1）,

所以（E-A）（E+A+A2+⋅⋅⋅+Ak-1）=E,

由定理2推论知（E-A）可逆,且

（E-A）-1=E+A+A2+⋅⋅⋅+Ak-1.

证明一方面,有E=（E-A）-1（E-A）.

另一方面,由Ak=O,有

E=（E-A）+（A-A2）+A2-⋅⋅⋅-Ak-1+（Ak-1-Ak）

=（E+A+A2+⋅⋅⋅+Ak-1）（E-A）,

故（E-A）-1（E-A）=（E+A+A2+⋅⋅⋅+Ak-1）（E-A）,

两端同时右乘（E-A）-1,就有

（E-A）-1（E-A）=E+A+A2+⋅⋅⋅+Ak-1.

15.设方阵A满足A2-A-2E=O,证明A及A+2E都可逆，并求A-1及（A+2E）-1。

证明由A2-A-2E=O得

A2-A=2E,即A（A-E）=2E,

或，

由定理2推论知A可逆,且.

由A2-A-2E=O得

A2-A-6E=-4E,即（A+2E）（A-3E）=-4E,

或

由定理2推论知（A+2E）可逆,且.

证明由A2-A-2E=O得A2-A=2E,两端同时取行列式得

｜A2-A｜=2,

即|A|｜A-E|=2，

故|A｜≠0,

所以A可逆，而A+2E=A2,｜A+2E｜=|A2｜=|A|2≠0,故A+2E也可逆。

由A2-A-2E=O⇒A（A-E）=2E

⇒A-1A（A-E）=2A-1E⇒,

又由A2-A-2E=O⇒（A+2E）A-3（A+2E）=-4E

⇒（A+2E）（A-3E）=-4E,

所以（A+2E）-1（A+2E）（A-3E）=-4（A+2E）-1,

16.设A为3阶矩阵，,求|（2A）—1-5A＊|.

解因为，所以

=|—2A-1｜=（—2）3｜A-1|=—8｜A｜—1=-8⨯2=-16。

17。

设矩阵A可逆,证明其伴随阵A＊也可逆，且（A＊）-1=（A-1）*.

证明由，得A*=|A|A-1,所以当A可逆时,有

|A*|=|A|n｜A—1|=｜A｜n—1≠0,

从而A＊也可逆。

因为A＊=|A｜A—1,所以

（A＊）-1=|A|-1A.

又,所以

（A＊）-1=｜A｜-1A=｜A|-1|A｜（A-1）*=（A-1）*.

18.设n阶矩阵A的伴随矩阵为A＊,证明：

（1）若｜A｜=0,则｜A*|=0；

（2）｜A*|=｜A｜n-1.

（1）用反证法证明。

假设|A＊｜≠0,则有A＊（A＊）-1=E,由此得

A=AA*（A＊）-1=|A｜E（A*）-1=O,

所以A＊=O,这与|A＊|≠0矛盾，故当|A｜=0时,有｜A＊|=0.

（2）由于,则AA*=|A｜E,取行列式得到

｜A｜｜A*｜=|A|n.

若｜A|≠0,则｜A＊｜=|A|n-1;

若｜A｜=0,由

（1）知|A＊|=0,此时命题也成立.

因此｜A＊|=|A｜n-1.

19。

设，AB=A+2B,求B。

解由AB=A+2E可得（A-2E）B=A,故

20.设,且AB+E=A2+B,求B.

解由AB+E=A2+B得

（A-E）B=A2-E,

即（A-E）B=（A-E）（A+E）.

因为,所以（A-E）可逆,从而

21.设A=diag（1,-2,1）,A*BA=2BA-8E,求B.

解由A*BA=2BA-8E得

（A*-2E）BA=-8E,

B=-8（A*-2E）-1A-1

=-8［A（A*-2E）］-1

=-8（AA*-2A）-1

=-8（|A|E-2A）-1

=-8（-2E-2A）-1

=4（E+A）-1

=4［diag（2,-1,2）］-1

=2diag（1,-2,1）.

22.已知矩阵A的伴随阵,

且ABA-1=BA-1+3E,求B.

解由｜A*|=|A｜3=8,得｜A|=2.

由ABA-1=BA-1+3E得

AB=B+3A,

B=3（A-E）-1A=3［A（E-A-1）］-1A

23。

设P-1AP=Λ，其中，，求A11。

解由P-1AP=Λ,得A=PΛP-1,所以A11=A=PΛ11P-1。

|P｜=3,,,

故.

24.设AP=PΛ,其中,,

求ϕ（A）=A8（5E-6A+A2）.

解ϕ（Λ）=Λ8（5E-6Λ+Λ2）

=diag（1,1,58）[diag（5,5,5）-diag（-6,6,30）+diag（1,1,25）］

=diag（1,1,58）diag（12,0,0）=12diag（1,0,0）.

ϕ（A）=Pϕ（Λ）P-1

25.设矩阵A、B及A+B都可逆,证明A-1+B-1也可逆,并求其逆阵.

证明因为

A-1（A+B）B-1=B-1+A-1=A-1+B-1,

而A-1（A+B）B-1是三个可逆矩阵的乘积,所以A-1（A+B）B-1可逆,即A-1+B-1可逆.

（A-1+B-1）-1=[A-1（A+B）B-1］-1=B（A+B）-1A.

26.计算.

解设,,,,

则,

所以,

即.

27.取，验证.

28.设,求|A8|及A4.

解　令,,

29。

设n阶矩阵A及s阶矩阵B都可逆，求

解设,则

由此得⇒,

解设,则

30.求下列矩阵的逆阵:

解设,,则

.

解设,,,则

第三章　矩阵的初等变换与线性方程组

1.把下列矩阵化为行最简形矩阵:

解（下一步:

r2+（-2）r1,r3+（-3）r1.）

～（下一步:

r2÷

（-1）,r3÷

（-2）.）

~（下一步:

r3-r2.）

r3÷

3.）

r2+3r3.）

r1+（-2）r2,r1+r3.）

～.

r2⨯2+（-3）r1，r3+（-2）r1.）

r3+r2,r1+3r2。

）

r1÷

2。

r2-3r1,r3-2r1,r4-3r1.）

～（下一步：

（—4）,r3÷

（—3）,r4÷

（—5）.）

r1-3r2,r3-r2，r4—r2。

~.

解（下一步：

r1—2r2，r3-3r2,r4—2r2。

~（下一步：

r2+2r1，r3-8r1,r4-7r1.）

r1↔r2，r2⨯（-1）,r4-r3.）

r2+r3。

2.设,求A.

解是初等矩阵E（1,2）,其逆矩阵就是其本身.

是初等矩阵E（1,2

（1））,其逆矩阵是

E（1,2（-1））.

3.试利用矩阵的初等变换,求下列方阵的逆矩阵:

解～

～~

~

故逆矩阵为.

～

4.

（1）设,,求X使AX=B;

（2）设,,求X使XA=B.

解考虑ATXT=BT.因为

从而.

5.设,AX=2X+A,求X.

解原方程化为（A-2E）X=A.因为

6.在秩是r的矩阵中,有没有等于0的r-1阶子式？

有没有等于0的r阶子式？

解在秩是r的矩阵中,可能存在等于0的r-1阶子式,也可能存在等于0的r阶子式.

例如,,R（A）=3.

是等于0的2阶子式,是等于0的3阶子式.

7.从矩阵A中划去一行得到矩阵B,问A,B的秩的关系怎样?

解R（A）≥R（B）.

这是因为B的非零子式必是A的非零子式,故A的秩不会小于B的秩.

8.求作一个秩是4的方阵,它的两个行向量是

（1,0,1,0,0）,（1,-1,0,0,0）.

解用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵:

此矩阵的秩为4,其第2行和第3行是已知向量.

9.求下列矩阵的秩,并求一个最高阶非零子式:

（1）；

r1↔r2。

r2-3r1,r3—r1.）

r3—r2.）

~,

矩阵的,是一个最高阶非零子式.

r1—r2,r2—2r1,r3-7r1。

r3-3r2。

～,

矩阵的秩是2,是一个最高阶非零子式.

（3）.

r1-2r4,r2—2r4，r3-3r4。

r2+3r1，r3+2r1.）

16r4，r3—16r2。

）

矩阵的秩为3,是一个最高阶非零子式.

10.设A、B都是m⨯n矩阵,证明A～B的充分必要条件是R（A）=R（B）.

证明根据定理3,必要性是成立的.

充分性.设R（A）=R（B）,则A与B的标准形是相同的.设A与B的标准形为D,则有

A～D,D～B.

由等价关系的传递性,有A~B.

11.设,问k为何值,可使

（1）R（A）=1;

（2）R（A）=2;

（3）R（A）=3.

（1）当k=1时,R（A）=1;

（2）当k=-2且k≠1时,R（A）=2;

（3）当k≠1且k≠-2时,R（A）=3.

12.求解下列齐次线性方程组：

解　对系数矩阵A进行初等行变换,有

A=~,

于是,

故方程组的解为

（k为任意常数）.

解对系数矩阵A进行初等行变换,有

（k1,k2为任意常数）.

解对系数矩阵A进行初等行变换，有

A=～,

13.求解下列非齐次线性方程组:

解对增广矩阵B进行初等行变换,有

B=~,

于是R（A）=2,而R（B）=3,故方程组无解.

B=～,

即（k为任意常数）.

解对增广矩阵B进行初等行变换，有

即（k1,k2为任意常数）。

写出一个以

为通解的齐次线性方程组。

解根据已知,可得

与此等价地可以写成

或,

这就是一个满足题目要求的齐次线性方程组.

15.λ取何值时,非齐次线性方程组

.

（1）有唯一解;

（2）无解;

（3）有无穷多个解?

（1）要使方程组有唯一解,必须R（A）=3.因此当λ≠1且λ≠-2时方程组有唯一解.

（2）要使方程组无解,必须R（A）<

R（B）,故

（1-λ）（2+λ）=0,（1-λ）（λ+1）2≠0.

因此λ=-2时,方程组无解.

（3）要使方程组有有无穷多个解,必须R（A）=R（B）<

3,故

（1-λ）（2+λ）=0,（1-λ）（λ+1）2=0.

因此当λ=1时,方程组有无穷多个解。

16.非齐次线性方程组

当λ取何值时有解？

并求出它的解.

解　~.

要使方程组有解,必须（1-λ）（λ+2）=0,即λ=1,λ=-2.

当λ=1时,

方程组解为

或,

当λ=-