圆锥曲线与直线相切的条件教案Word下载.docx

圆锥曲线与直线相切的条件教案Word下载.docx

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　　（答：

有心的二次曲线是圆、椭圆及双曲线；

无心的二次曲线是抛物线．）

　　（由教师启发下，让学生共同讨论．）

（1）当α＞0，β＞0且α＝β时，方程表示为圆；

（2）当α＞0，β＞0且α≠β时，方程表示为椭圆；

　　（3）当α、β为异号时，方程表示为双曲线．

　　因此，这个方程可以统一表示有心的二次曲线．

　　3．圆锥曲线与直线的相切的条件是什么？

　　设直线l′与圆锥曲线相交于P、Q两点（图1），将直线l′绕点P旋转，使点Q逐渐靠近点P，当l′转到直线l的位置时，点Q与点P重合，这时，直线l叫做圆锥曲线在点P的切线．也就是圆锥曲线与直线l相切．根据这个定义，于是圆锥曲线方程

f（x，y）＝0

　　与直线方程

y＝kx＋m

　　组成的方程组应有两个相同的实数解．实系数一元二次方程有两个相同的实数解的充要条件是判别式Δ＝0，根据条件转化为求Δ＝0．

　　（启发学生回答，由教师归纳，然后板书课题．）

　　今天我们要研究“圆锥曲线与直线相切的条件”．

二、讲述新课

　　根据上面分析，得

　　由②代入①，化简、整理得

（αk2＋β）x2＋2αkmβ＋α（m2－β）＝0．③

　　当αk2＋β≠0时（二次项系数），

　　Δ＝4α2k2m2－4α（αk2＋β）（m2－β）

　　＝4α2k2m2－4α2k2m2＋4α2k2β－4αβm2＋4αβ2

　　＝4αβ（αk2＋β－m2）．

　　（启发学生讨论．）

　　由于α、β均不为零，因此当Δ＝0时可知有心二次曲线与直线y＝kx＋m相切的充要条件为

m2＝αk2＋β，（αk2＋β≠0）④

　　这里αk2＋β恰是方程③的二次项系数．

　　（引导学生对结论④，在圆、椭圆、双曲线各种情况下变化规律进行讨论，教师边归纳，边板书．）

（1）对于圆x2＋y2＝γ2，可写成

　　即有α＝β＝γ2，于是相切条件为m2＝γ2（k2＋1）．

（2）对于椭圆（焦点在x轴上）

　　即有α＝a2，β＝b2，于是相切条件为m2＝a2k2＋b2．

　　（3）对于椭圆（焦点在y轴上）

　　即有α＝b2，β＝a2，于是相切条件为m2＝b2k2＋a2．

　　（4）对于双曲线（焦点在x轴上）

　　即有α＝a2，β＝－b2，于是相切条件为m2＝a2k2－b2．

　　（5）对于双曲线（焦点在y轴上）

　　即有α＝－b2，β＝a2，于是相切条件为m2＝a2－b2k2．

　　[应用有心曲线统一公式，这样就不必从圆、椭圆、双曲线一个一个地去求，可避免一个一个冗长复杂的计算，使问题的解决变得简捷．]

　　2．无心的二次曲线y2＝2px与直线y＝kx＋m相切的条件

　　根据上面的分析，得

　　由②代入①，化简整理，得

（kx＋m）2＝2px，

k2x2＋（2mk－2p）x＋m2＝0．

　　当二次项系数k2≠0时，

　　Δ＝（2mk－2p）2－4k2m2＝4p2－8mkp

　　＝4p（p－2mk）＝0．

　　无心的二次曲线x2＝2py与直线y＝kx＋m相切的条件，应为

　　（让学生独立完成．）

三、巩固新课

　　（让学生直接对照上述结论，设所求公切线的斜率为k，截距为m，再根据椭

　　解设所求的公切线斜率为k，截距为m，根据相切条件有

81k4＋36k2－5＝0，

（9k2－1）（9k2＋5）＝0，

　　∵9k2＋5≠0，∴9k2－1＝0，

　　代入②，得m＝±

5．

　　因此，所求的公切线方程为

　　即

x＋3y＋15=0或x－3y＋15=0．

　　求双曲线的两条互相垂直的切线交点的轨迹方程．

　　（帮助学生分析解题的几个要点，然后由学生上黑板解，教师巡视指点．）

y=kx＋m，

　　则由相切条件，可知m2=a2k2－b2．

（2）设两切线交点为P（x0，y0），则切线方程为

y－y0=k（x－x0），

y=kx＋（y0－kx0）．

　　（3）y=kx＋m，y=kx＋（y0－kx0）表示同一直线，就有

m=（y0－kx0），

∴（y0－kx0）2=a2k2－b2．

　　整理得

　　（4）k1k2=－1，用韦达定理从方程①求得k1k2，

　　因此，点P的轨迹方程为

x2＋y2=a2－b2．

　　这里a＞b，点P的轨迹是一个实圆；

　　a=b，点P的轨迹是一个点圆；

　　a＜b，点P无轨迹（虚圆）．

　　解略．

法，不难得出轨迹方程为圆方程

x2＋y2=a2＋b2；

　　这题若改为求抛物线y2=2px的两条互相垂直的切线的交点的轨迹方程，方法也类似，不难得出轨迹方程为

　　即点P一定在准线上．

　　[这样改变一下题目，可让学生开拓思路，举一反三．]

四、练习

　　1．已知l为椭圆x2＋4y2=4的切线并与坐标轴交于A、B两点，求|AB|的最小值及取得最小值时切线l的方程．

　　解如图2，设切线方程为

　　根据相切条件有m2=4k2＋1，即①

|OA|2=4k2＋1．

　　在y=kx＋m中，令y=0，得

　　于是得

　　代入m2=4k2＋1，求得

　　因此，所求的切线共有四条（图3），它们的方程为

求四边形ABCD的最大面积．

　　则由相切条件，知

m2=a2k2＋b2，

　　故两切线方程为

　　两切线间的距离

　　∴四边形ABCD的最大面积为

五、补充作业

轨迹方程．

　　2．求出斜率为k的圆锥曲线的切线方程．

　　教案说明

　　这一节课的指导思想是：

根据现代教育理论，强调在教学的过程中培养能力，特别是思维能力．数学思维结构与科学结构十分相似，学习数学的过程，就是从一种思维结构过渡到另一种思维结构的过程，数学知识只是进行思维结构训练的材料．二次曲线与直线相切的条件若从上述结构进行训练，就是使学生形成完整的思维结构，使对数学的认识有新的突破．这一点已成为我在课堂教学中进行探索和研讨的课题．

　　这节课的整个教学过程中，着重于讲解——启导——探究，培养学生的分析能力．讲解时，突出重点：

“相切条件”，并以此为中心，达到举一反三、触类旁通．其中也穿插了自学讨论，而不是教师满堂灌．

　　在练习中，注意到了再现性练习、巩固性练习，同时也留有发现性练习，使学生以新带旧，巩固新知，发展智力，反过来从思维结构上形成完整体系，以认识数学本身．