安徽省届高三联考数学理试题 Word版含答案.docx
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安徽省届高三联考数学理试题Word版含答案
2017年安徽省“江南十校”度高三联考
数学（理科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若，则=（）
A．B.1C．5D．25
2.设集合，，则（）
A.{1,2}B．{-1,-2}C．{-2,-1,2}D．{-2,-1,0,2}
3.已知平面向量，且，则（）
A．B．C.D．
4.已知，则（）
A．B．C.D.
5.已知函数是一个求余函数，其格式为，其结果为除以的余数，例如.下面是一个算法的程序框图，当输入的值为36时，则输出的结果为（）
A．4B．5C.6D．7
6.质地均匀的正四面体表明分别印有0,1,2,3四个数字，某同学随机的抛掷次正四面体2次，若正四面体与地面重合的表面数字分别记为，且两次结果相互独立，互不影响.记为事件，则事件发生的概率为（）
A．B．C.D．
7.《九章算术》是我国古代的数字名著，书中《均属章》有如下问题：
“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各德几何.”其意思为“已知五人分5钱，两人所得与三人所得相同，且每人所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？
”（“钱”是古代的一种重量单位）.在这个问题中，所得为（）
A．钱B．钱C.钱D.钱
8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）
A．20B．22C.24D．26
9.设的面积为，它的外接圆面积为，若的三个内角大小满足，则的值为（）
A．B．C.D．
10.若函数的图像如图所示，则的解析式可能是（）
A．B．C.D．
11.已知球的直径是该球球面上的两点，且，则棱锥的体积为（）
A．B．C.D．
12.设表示不小于实数的最小整数，如.已知函数，若函数在（-1，4]上有2个零点，则的取值范围是（）
A．B．C.D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知实数满足关系，则的最大值是．
14.若的展开式中各项系数的和为32，则该展开式中只含字母且的次数为1的项的系数为．
15.已知双曲线上一点到双曲线一个交点的距离是9，则的值是．
16.将函数的函数图像向右平移个单位以后得到的图像与的图像关于对称，则的最小正值是．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知是数列的前项和，且满足.
（Ⅰ）证明为等比数列；
（Ⅱ）求数列的前项和.
18.美团外卖和XX外卖两家公司其“骑手”的日工资方案如下：
美团外卖规定底薪70元，每单抽成1元；XX外卖规定底薪100元，每日前45单无抽成，超出45单的部分每单抽成6元，假设同一公司的“骑手”一日送餐单数相同，现从两家公司个随机抽取一名“骑手”并记录其100天的送餐单数，得到如下条形图：
（Ⅰ）求XX外卖公司的“骑手”一日工资（单位：
元）与送餐单数的函数关系；
（Ⅱ）若将频率视为概率，回答下列问题：
①记XX外卖的“骑手”日工资为（单位：
元），求的分布列和数学期望；
②小明拟到这两家公司中的一家应聘“骑手”的工作，如果仅从日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由.
19.如图，四边形是边长为的正方形，平面，，.为线段的中点，与平面所成角为60°.在线段上取一点，使得.
（Ⅰ）求证：
平面；
（Ⅱ）求多面体的余弦值.
20.在平面直角坐标系中，直线不过原点，且与椭圆有两个不同的公共点.
（Ⅰ）求实数取值所组成的集合；
（Ⅱ）是否存在定点使得任意的，都有直线的倾斜角互补.若存在，求出所有定点的坐标；若不存在，请说明理由.
21.已知函数，函数.
（Ⅰ）若曲线与直线相切，求的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，证明：
；
（Ⅲ）若函数与函数的图像有且仅有一个公共点，证明：
.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：
坐标系与参数方程
已知为曲线上的动点，直线的参数方程为（为参数）求点到直线距离的最大值，并求出点的坐标.
23.选修4-5：
不等式选讲
已知关于的方程在上有解.
（Ⅰ）求正实数取值所组成的集合；
（Ⅱ）若对任意恒成立，求实数的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1.B
2.C或
3.C由条件：
4.A
5.D
6.A（1,1），（0,1），（1,0）
7.A设则
8.C
9.D由正弦定理知，
10.B
11.D由条件：
为棱长为3的正四面体其体积为，，故
12.C作出图像，由数形结合可知：
C满足题意
二、填空题
13.5由条件可知：
过点时
14.-7，故的系数为
15.133不妨设点在右支上，由条件可知点到右焦点距离为9，
解出
16.关于点对称，设点为其上任意一点，关于对称点为，，展开得：
三、解答题
17.解：
（1）原式转化为：
，
即，
所以
注意到，所以为首项为4，公比为2等比数列.
（2）由
（1）知：
，
所以，
于是
.
18.解：
（1）
（2）
100
106
118
130
0.2
0.3
0.4
0.1
（元）‚美团外卖“骑手”日平均送餐单数为：
所以美团外卖“骑手”日平均工资为：
（元）
由?
知，XX外卖“骑手”日平均工资为112元.故推荐小明去美团外卖应聘.
19.解：
（1）连接交于点，连接，则为中点，
∴，∴面.
∴为余面所成角∴.
中，.
中,.
梯形中，.
∴∴，
又，
又面.
（2）∵面，为正方形，
∴如图所示建立空间直角坐标系.
面的法向量为，
面法向量为，
故二面角的余弦值.
20.解：
（1）因为直线不过原点，所以，
将与联立，消去得：
，
因为直线与椭圆有两个不同的公共点，
所以，解得，
所以实数的范围组成的集合是；
（2）假设存在定点使得任意的,都有直线的倾斜角互补，
即，令,
所以，
整理得：
，
由
（1）知是的两个根，
所以，
代入化简得，
由题意解得或
所以定点的坐标为或，
经检验，满足题意，
所以存在定点使得任意的,都有直线的倾斜角互补，
坐标为或.
21.解：
（Ⅰ）设曲线在点处切线是，则
由于所以，
由题意知：
，于是.
（Ⅱ）令，
当时，，所以，
即，当时，，所以，
即，于是
在（0,1）单调递减，单调递增，
其最小值是，所以，于是原不等式成立.
（Ⅲ）令，
则函数与函数的图像有且仅有一个公共点等价于函数有且只有一个零点，，
注意到为上的增函数且值域为，
所以在上有唯一零点，
且在上为负，上为正，所以为极小值，
又函数有唯一零点，结合的单调性知，
所以，即，
即，
即.令，
显然，是的零点，
，
在（0,1）上为正，上为负，于是在上单调递减，
注意到,
所以在（1,2）内有一个零点，在内无零点，
所以的零点一定小于，从而函数与函数的图像有且仅有一个公共点时一定有.
22.解：
由条件：
设点，点到之距离，
，
.
此时点.
23.
（1）当时
且.
（2）由
（1）知：
，设，则或
或.
1.
1.B
2.C
3.C
4.A
5.D
6.A，，
7.A设
则
8.C
9.D
由正弦定理知，
10.B
11.D
12.C作出图像，由数形结合可知：
C满足题意
13.5由条件可知：
14.-7
15.133不妨设点P在右支上，由条件可知P点到右焦点距离为9，
解出
16.
17.证明：
原式转化为：
，
即，
所以
注意到，所以为首项为4，公比为2等比数列.……6分
（2）由
（1）知：
，
所以，
于是
。
……12分
18.
（1）.......4分
（2）?
X
100
106
118
130
P
0.2
0.3
0.4
0.1
6分
（元）.......8分
‚美团外卖“骑手”日平均送餐单数为：
42×0.2+44×0.4+46×0.2+48×0.1+50×0.1=45
所以美团外卖“骑手”日平均工资为：
70+45×1=115（元）.......10分
由?
知，XX外卖“骑手”日平均工资为112元
故推荐小明去美团外卖应聘.......12分
19.
（1）连接交于点，连接，则为中点
面
为与面所成角....................2分
中，
中，
梯形中，......................4分
又
又面.....................6分
（2）面，为正方形
如图所示建立空间直角坐标系...............................7分
面的法向量为..............8分
面法向量为...................10分
故二面角的余弦值.................12分
20.解：
（1）因为直线不过原点，所以，
将与联立，消去得：
，
因为直线与椭圆有两个不同的公共点，
所以，解得，
所以实数的范围组成的集合是；……4分
（2）假设存在定点使得任意的,都有直线的倾斜角互补，
即，令,
所以，
整理得：
，
由
（1）知是的两个根，
所以，
代入化简得，
由题意解得或
所以定点的坐标为或，
经检验，满足题意，
所以存在定点使得任意的,都有直线的倾斜角互补，
坐标为或。
……12分
21.证明：
（Ⅰ）设曲线在点处切线是，则
由于所以，
由题意知：
，于是.................................2分
（Ⅱ）令，
当时，，所以，
即，当时，，所以，
即，于是
在单调递减，单调递增，
其最小值是，所以，于是原不等式成立。
.................7分
（Ⅲ）令，
则函数与函数的图像有且仅有一个公共点等价于函数有且只有一个零点，，
注意到为上的增函数且值域为，
所以在上有唯一零点，
且在上为负，上为正，所以为极小值，
又函数有唯一零点，结合的单调性知，..................10分
所以，即，
即，
即.令，
显然，是的零点，
，
在上为正，上为负，于是在上单调递减，
注意到,,
所以在内有一个零点，在内无零点，
所以的零点一定小于，从而函数与函数的图像有且仅有一个公共点时一定有....................................12分
22.解：
由条件：
.......2分
.......6分
…………8分
…………10分
23.当时..........2分
.......6分
.......10分
（若其他解法正确，可酌情赋分）
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