通信网络的可靠性评估Word文档下载推荐.docx
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但是,以两个节点之间的传输可靠性为基础评估通信网络的
可靠性,我们认为不够全面。
为此,给出如下定义。
定义1 通信网络的可靠性[4]
在规定条件下、规定时间内,全网保持连通的能力。
网络的可靠度就是在规定条件下、规定时间内,全网保持连通的概率。
根据定义1,通信网络可靠性的评估应从分析网络是否连通入手。
（N,M）网络的生成树是
（N,N-1）的连通子网。
它是最小的连通子网。
图1给出了（3,3）网络及其对应的生成树。
图1 （3,3）网络与生成树子网
从可靠性角度看,一个通信网络完成信息传输功能的充分必要条件是有一个生成树子网
工作正常。
人们在网络设计时增加链路,使生成树增多,只是为了增加冗余,提高网络的可靠
性。
对于（N,M）网络的任意一个生成树（N,N-1）,不在树上的M-N+1条链路叫连枝[5]。
逐个地往生成树（N,N-1）上增加连枝,形成（N,M）网络的子网,它们都是连通的。
（N,M）网
络可靠度的计算应考虑所有的生成树及其增加连枝后的连通子网。
1.3 生成树数目的计算
[5]给出了有向图的关联矩阵及其生成树数目的计算公式。
然而,在（N,M）网络中,链路
传输是双向的。
为此,我们把一个链路当作方向相反的两条有向边,重新定义网络的关联矩阵。
定义2 网络结构的关联矩阵
假设（N,M）网络的N个节点为n1,n2,⋯,nN,M条链路为e1,e2,⋯,eM。
M>
N-1,保证网
络是连通的。
任选一个参考节点（设为nN）。
它的关联矩阵
A=[aijû
bij]（N-1）*2M
（1）
其中:
i=1～N-1,代表节点n1,n2,⋯,nN-1;
j=1～M,代表链路e1,e2,⋯,eM;
如果节点nr和ns之间有链路et,则
art=bst=1,
ast=brt=-1;
否则,art=bst=ast=brt=0。
这里,det（AA
T）是（N,M）网络对应的有向图的生成树数目。
由于（N,M）网络的一个生
成树有N-1条链路,一个生成树对应2N-1个有向图的生成树,因此,（N,M）网络的生成树数目
num0=det（AAT）/2N-1
=det（[aijû
bij]（N-1）*2M[aijû
bij]T（
N-1）*2M）/2N-1
（2）
1.4 网络收缩
添加连枝的连通子网数目可以过收缩网络求得。
定义3 素回路
任意两个节点有一条链路当且仅当它们是相邻节点的回路。
根据定义3,图2中{e1,e3,e5,e6}是素回路。
而{e1,e2,e3,e4,
e5,e7}不是素回路,因为n2与n5不是相邻节点却有一条链路e6。
（N,M）网络有M-N+1个素回路。
定义4 k阶收缩网络
（N,M）网络中任意k个素回路做如下操作所得到的（Nkx,Mkx）网络。
（1）如果这k个素回路是一个连通的子网,则用一个节点nd代替它们,其它节点与这k
个素回路之间的链路都连到nd上;
（2）如果这k个素回路是y个连通子网,则用y个节点nd1,nd2,⋯,ndy分别代替,其它节
点与这y个子网之间的链路分别连到对应的替代节点上。
对于（N,M）网络,1≤k≤M-N+1。
（Nkx,Mkx）网络的关联矩阵和生成树数目分别用Akx
和numkx表示,
numkx=det（AkxA
T
kx）/2Nkx-1。
（N,M）网络的k阶收缩网络数目
1=C
M-N+1
k,
所有生成树数目
numk=Σ
l
j=1
numkj。
不难看出,numk是（N,M）网络中（N,N+k-1）连通子网的数目
1.5 可靠性数学模型
设每个节点的故障率为Kn,每条链路的故障率为K,则节点和链路的可靠度分别为
rn=e-Knt, rL=e-Kt。
（3）
网络中所有节点正常工作的概率
RNODE=rn
N=e-NKnt,（4）
由1.3节和1.4节可知,（N,M）网络在下列M-N+2种情况下保持连通:
*（N,N-1）生成树,有num0个。
N-1条链路工作,M-N+1条链路故障。
*（N,N）连通子网,有num1个。
N条链路工作,M-N条链路故障。
*（N,M-1）连通子网,有numM-N个。
M-1条链路工作,
1条链路故障。
*（N,M）连通子网（就是网络本身）,有numM-N+1=1个。
M条链路都工作。
网络链路连通的概率
RLINK=Σ
j=0
numje-（N+j-1）Kt（1-e-Kt）M-N-j+1,（5）
整个网络的可靠度
RNET=RNODERLINK。
（6）
2 一个栅格型网的可靠性评估
下面利用1.5节的结论,分析图3所示的栅格型网的可靠性。
图3有4个素回路:
H1={e1,e3,e7,e8},H2={e2,e4,e8,e9},H3={e3,e5,e10,e11},H4={e4,
e6,e11,e12}。
关于H1的一阶收缩网络如图4。
用上面同样的方法,可以求得
关于H2、H3和H4的一阶收缩网络的结构与图4相似,所以
num12=num13=num14=30。
num1=num11+num12+num13+num14=4*30=120。
H1、H2、H3和H4的两两组合有6种,因此图3的二阶收缩网络有6种。
有4种与图5（a）相似,对应的生成树个数
num21=num22=num23=num24=8。
有2种与图5（b）相似,对应的生成树个数
num25=num26=4。
num2=num21+num22+num23+num24+num25+num26
=40。
H1、H2、H3和H4的三三组合有4种。
因此,图3的三阶收
缩网络有4种,与图6相似,对应的生成树个数
num31=num32=num33=num34=2。
num3=num31+num32+num33+num34=8。
H1、H2、H3和H4的四四组合只有1种,对应的生成树个数
num4=1。
假设通信节点的小时故障率Kn=10-5,链路的小时故障率K=10-7,规定时间t=500小时
和168小时,图3栅格型网的计算结果如下表
3 结束语
本文仅给出了通信网络的可靠度计算方法。
根据通信网络的可靠性定义,我们还可以计算
出可用度等可靠性指标。
如果将假设条件稍作修改,就能得到由不同故障率的节点和链路所组
成的通信网络的可靠性。
参 考 文 献
1 IbeOC.Reliabilitycomparisonoftoken-ringnetworkschemes.IEEETransReliab,1992,41
（2）
2 AbuelyamanES.Onthereliabilityoflinksinaringnetwork.MicroelecReliab,1993,33（6）
3 YangOWW.Terminal-pairreliabilityoftree-typecomputercommunicationnetworks.IEEETransReliab,1992,41
（1）
4 江光杰,李德毅.C3I系统“三性”及其评估.军事系统工程,1995,（4）
5 王朝瑞.图论.北京:
高等教育出版社,1987
（
通信网络可靠性评估的一种算法
摘 要:
本文分别对等故障率和不等故障率链路所组成的通信网的可靠性进行分析,提出相应的评估算法,并用实例
说明算法执行过程.1、对等故障率链路所组成的通信网,依据图论统计含网络图所有顶点的支撑子图的数目,然后给出
通信网可靠性的估算公式.2、对不等故障率链路组成的通信网,首先给出生成网络图的所有支撑树的算法,并把其定义
为成功函数,利用排它算子,给出评估通信网可靠性的算法.
关键词:
通信网;
可靠性评估;
排它算子;
系统成功函数;
支撑树
如何评估网络系统的可靠性,如何从可靠性角度考虑优
化网络系统的设计就成为一个非常重要的问题,这也是当前
系统可靠性研究领域内的一个颇为敏感而活跃的问题.
目前,人们仅对典型而简单的网络进行了可靠性分析,例
如,Ibe〔1〕将网络服务器与任一工作站之间的可靠性定义为网
络的可靠性.对环型网及其变种进行可靠性分析,
Abuelyaman〔2〕认为环型网的可靠性等于网络相邻节点的传
输性的最小值,从而分析了环型网的可靠性.M.Vujosvic等
人〔3〕以一对节点的可靠性为基础,分析了树型网的可靠性.同
时,人们通过评估节点对的可靠性来评估网络系统可靠性亦
做了大量工作〔4,5〕,然而,由于一般通信网本身固有的性质,所
以不能利用上述方法来评估其可靠性.
本文给出一种用于一般通信网可靠性评估的有效算法.
首先定义了通信网的可靠性,分别对等故障率和不等故障率
链路所组成的通信网的可靠性进行分析,提出相应的算法.并
用实例说明算法执行过程.
1 通信网的可靠性定义
1）网络是连通的,有N个节点,M条链路,用G（N,M）
表示;
2）网络中N个节点不能相互备份,也没有多余的备份
节点;
3）网络结构固定不变;
4）网络中所有节点不发生故障;
5）网络和网络的链路都只有两种工作状态:
工作和失
效.每条链路的故障发生是相互独立的.
通常,一个系统的可靠性以它完成规定功能的能力来度
量.通信网的任务是信息传输,假设链路的信息传输容量足够
大,那么网络的信息传输能力就可简化为网络的连通能力.然
而,仅以两个节点之间的传输可靠性为基础评估通信网络的
可靠性,是不够全面.为此,采用如下定义:
定义1通信网络的可靠性〔9〕
在规定条件下,规定时间内,全网保持连通的能力.
根据定义1,通信网可靠性的评估应从分析网络是否连
通入手.G（N,M）网络的支撑树是最小的连通子图.从可靠性
角度看,一个通信网络完成信息传输功能的充分必要条件是
有一个支撑树工作正常.人们在网络设计时增加链路,使支撑
树增多,只是为了增加冗余,提高网络的可靠性.下面我们以
支撑树为主线,对通信网进行分析,并给出评估可靠性的算
法.
2 等故障率链路组成的通信网的可靠性分析
2.1 可靠性评估算法
对G（N,M）网络的任意一个支撑树Ti（N,N-1）,不在树
上的M-N+1条链路叫弦（连枝）〔6〕.逐个地往支撑树Ti（N,
N-1）上增加连枝,形成G（N,M）网络的子网（均包含G（N,
M）的所有顶点）,它们都是连通的并称为支撑子网.因而G
（N,M）网络可靠性的计算应考虑所有的支撑树及其增加连
枝后的支撑子网.因为这节我们仅考虑等故障率链路组成的
通信网络,所以对每一支撑子网其可靠性为:
设其含有Ni（≥
N-1）链路,即Ni条链路工作,则必有M-Ni条链路故障.若设
P为链路可靠性,则这一支撑子网的可靠性为PNi（1-
P）M-N
i,因而我们无需寻找支撑子网的具体形式,仅需统计支
撑链子网的数目就可.
定义2:
G的边e被收缩〔6〕
G的边e称为被收缩是指把它删除并使它的两个端点重
合,这样得到的图记为G·
e.图1表明了收缩一条边的效果.
对于规模不大的网络可采用下列定理给出生成支撑树的数目.
定理1:
设f（G）为网络G的支撑树的数目,若e是G的
边杆,则f（G）=f（G-e）+f（G·
e）.
证明略.（见〔6〕）
对于规模大的网络可采用下列定理给出支撑树的数目.
定理2:
设G是连通无向图,A是由G的每条边任意标定
方向所得到的有向图的关联矩阵,则
f（G）=det（AAT）
由定理1和定理2我们可求得G（N,M）的支撑树的数
目f（G）,简记为num0.现在的问题是如何求得添加连枝的支
撑子网数目.下面通过收缩网络算法给出G（N,M）网络对应
的支撑子图的数目.算法1
步1:
置k:
=1;
步2:
k阶收缩网络过程;
步2.1:
对M-N+1个基本回路进行kk组合,可得
CM-N-1
k个支撑子网,记为l;
步2.2:
置x:
numk:
=0;
步2.3:
若所得支撑子网中对应k个基本回路是一个
连通的子网,则用一个节点nd代替它们,其它节点与这k个
基本回路之间的链路都连到nd上,转步2.5,否则转步2.4;
步2.4:
若对应k基本回路是y个连通子网,则用y个
节点nd1,nd2,...,ndy分别代替,其它节点与这y个子网之间
的链路分别连到对应的替代节点上,转步2.5;
步2.5:
记G（Nkx,Mkx）为所得到的收缩网络,计算其
支撑树的数目numkx,并置
numk:
=numk+numkx;
步2.6:
若x<
l,则x:
=x+1,转步2.3;
否则转步3;
步3:
若k<
M-N+1,则置k:
=k+1,转步2;
否则退出.
通过算法1可得到G（N,M）网络的支撑子网G’（N,N+
k-1）,对应的支撑树的数目numk,k=1～M-N+1.
现假设每条链路的故障率为λ,则链路的可靠性为e-λt〔7〕.
从而可得通信网的可靠性为:
R=ΣM-N+1
j=0
numje-（N+j-1）λt（1-e-λt）M-N-j+1
（1）2.2 算法执行示例
图2为G（9,12）栅格型网结构,可计算num0=192.
图2的基本回路有12-9+1=4个,分别为C1={e1,e3,
e7,e8},C2={e2,e4,e8,e9},C3={e3,e5,e10,e11},C4={e4,e6,e11,
e12}.关于C1的一阶收缩网络如图3,可计算num11=30,关于
C2,C3,C4的一阶收缩网络的结构与图3相似,num12=num13=num14=30,从而可得num1=num11+num12+num13+
num14=120.
图3 关于C1的一阶收缩网络
C1,C2,C3,C4的两两组合有6种,因此图2的二阶收缩网
络有6种,有4种与图4（a）相似,对应支撑树个数num21=
num22=num23=num24=8.
有2种与图4（b）相似,对应支撑树个数num25=num26=
4.
从而得num2=Σ6
num2j=40
C1,C2,C3,C4的三三组合有4种,因此图2三阶收缩网
络有4种,其结构与图5相似,对应支撑树个数num31=num32
=num33=num34=2.
从而得num3=Σ4
num3j=8
C1,C2,C3,C4的四四组合只有1种,对应的支撑树个数
num4=1,把num0,num1,num2,num3,num4代入
（1）式可得网
络的可靠性.3 不等故障率链路组成的通信网的可靠性分析
由于网络的链路故障率不同,所以仅知道支撑子图的数
目是不够的,还必须知道其具体形式,若采用上述方法来实现
是不可能的,因而必须寻找新的方法.本节分为3部分,第一,
给出网络的所有支撑树的算法;
第二,利用排它算子,给出评
估可靠性的算法;
最后给出示例.
3.1 求网络的所有支撑树的算法
定义3在一棵支撑树上加一条弦（连技）,删除一条分支
而生成的一棵新的支撑树的变换称为初等变换.
定义4G（N,M）中两棵支撑树Ti和Tj间的距离是它们
之间不相同的边数的一半.若d（Ti,Tj）表示Ti和Tj间的距
离,E（G）表示图G的边数,则d（Ti,Tj）=E（TiTj）/2.
这里表示Ti和Tj的环和〔8〕.
引理1若Tj是从Ti经过k次初等变换得到的,则d（Ti,
Tj）=k.
证明:
如果Ti作一次初等树变换得到Ti1,则Ti1是从Ti
去掉一条分支再加上一条弦（连枝）得到的,所以Ti1和Ti共
有两条不同的边,即E（TiTi1）=2,若对Ti作k次初等树变
换得到Tj,则Tj和Ti共有2k条不同的边,即E（TiTj）=
2k,所以d（Ti,dj）=E（TiTj）/2=k.
定义5设G（N,M）为一连通图,G的秩定义为等于n-1,
记为r,G的零度定义为等于M-N+1,记为_.
引理2设G（N,M）为一连通图,则G中任何两棵支撑树
之间的最大距离为
maxd（Ti,Tj）=
1
2maxE（TiTj）≤min（r,_）
Ti=（N,Mi）,Tj=（N,Mj）
（1）_≥r,当Mi∩Mj=Υ时,d（Ti,Tj）达到最大值,因|Mi
|=|Mj|=r,所以E（TiTj）=2r,.
2maxE（TiTj）≤r.
（2）_<
r,那么Ti变换到Tj最多_条边,即maxd（Ti,
Tj）≤u.
所以maxd（TiTj）≤min（u,r）.
定理3从图G（N,M）的任一棵支撑树出发,通过一系列
初等树变换,总能找到G的所有支撑树.
由引理1和引理2可知,可以从G的任一棵支撑
树出发,交换k条边,k=1,2,...,min（_,r）,可生成G的所
有支撑树.
算法2
先找出任一棵支撑树T0;
求出r,u,对于j=1,...,min（r,_）,通过初等树变
换找出所有Tj,使d（T0,Tj）=j.例子:
图6为桥式网络结构.
对于图6,取T0=（N,{x1,x2,x3}）,r=3,μ=2,min（r,_）
=2,所以可交换一边、二边从T0生成所有G的支撑树,生成
过程如下:
3.2 可靠性评估算法
定义6称网络G（N,M）的所有支撑树的并集为通信网
络的成功函数S.
对上例,S=T0∪T1∪...∪T7=（x1x2x3,x1x2x4,x2x3x4,
x1x2x5,x1x3x5,x2x4x5,x1x4x5,x3x4x5）
定义7排它算子
设Xi,Xi’分别表示第i条链路成功和失效事件,则排它
算子E定义为如下布尔操作:
EX（Xi）≡Xi’
EX（F1F2...Fl）≡EX（F1）∪F1EX（F2）∪......∪
F1F2......Fl-1EX（Fl）
EX（F1∪F2...∪Fl）≡EX（F1）EX（F2）......∪EX（Fl）
算法3
对成功函数里的元素按其与T0的距离进行排序,
其结果仍为T0,T1,...,Tnum0-1,这里仍记num0为G（N,M）
的生成树的数目;
步2:
置i:
=0,S:
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