三年高考 数学文科分类汇编 专题09 三角函数.docx

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三年高考数学文科分类汇编专题09三角函数

专题09三角函数

1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数在的图像大致为

A．B．

C．D．

【答案】D

【解析】由，得是奇函数，其图象关于原点对称，排除A．又，排除B，C，故选D．

【名师点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．解答本题时，先判断函数的奇偶性，得是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．

2．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】tan255°=

A．−2−B．−2+

C．2−D．2+

【答案】D

【解析】=

故选D.

【名师点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力．首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．

3．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】若x1=，x2=是函数f（x）=（>0）两个相邻的极值点，则=

A．2B．

C．1D．

【答案】A

【解析】由题意知，的周期，解得．故选A．

【名师点睛】本题考查三角函数的极值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．利用周期公式，通过方程思想解题．

4．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知a∈（0，），2sin2α=cos2α+1，则sinα=

A．B．

C．D．

【答案】B

【解析】，，，又，，又，，故选B．

【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．

5．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】函数在[0，2π]的零点个数为

A．2B．3

C．4D．5

【答案】B

【解析】由，

得或，

，．

在的零点个数是3，

故选B．

【名师点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养．令，得或，再根据x的取值范围可求得零点.

6．【2019年高考北京卷文数】设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】时，，为偶函数；

为偶函数时，对任意的恒成立，即，，得对任意的恒成立，从而.从而“”是“为偶函数”的充分必要条件，故选C.

【名师点睛】本题较易，注重基础知识、逻辑推理能力的考查.根据定义域为R的函数为偶函数等价于恒成立进行判断.

7．【2019年高考天津卷文数】已知函数是奇函数，且的最小正周期为π，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为.若，则

A．−2B．

C．D．2

【答案】C

【解析】∵为奇函数，∴；

∵的最小正周期为π，∴，

∴

又，∴，

∴，

故选C.

【名师点睛】本题主要考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数，结合函数性质逐步得出的值即可.

8．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】函数的最小正周期为

A．B．

C．D．

【答案】C

【解析】，

故所求的最小正周期为，故选C.

【名师点睛】函数的性质：

（1）.

（2）最小正周期

（3）由求对称轴.

（4）由求增区间;由求减区间.

9．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数，则

A．的最小正周期为π，最大值为3

B．的最小正周期为π，最大值为4

C．的最小正周期为，最大值为3

D．的最小正周期为，最大值为4

【答案】B

【解析】根据题意有，所以函数的最小正周期为，且最大值为，故选B.

【名师点睛】该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果.

10．【2018年高考天津卷文数】将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数

A．在区间上单调递增B．在区间上单调递减

C．在区间上单调递增D．在区间上单调递减

【答案】A

【解析】由函数图象平移变换的性质可知：

将函数的图象向右平移个单位长度之后的解析式为，

则函数的单调递增区间满足，即，令可得函数的一个单调递增区间为，选项A正确，B错误；

函数的单调递减区间满足：

，即，令可得函数的一个单调递减区间为，选项C，D错误.

故选A.

【名师点睛】本题主要考查三角函数图象的平移变换，三角函数的单调区间等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

11．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】若，则

A．B．

C．D．

【答案】B

【解析】.

故选B.

【名师点睛】本题主要考查三角函数的求值，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.

12．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则

A．B．

C．D．

【答案】B

【解析】根据条件，可知三点共线，从而得到，

因为，解得，即，

所以，故选B.

【名师点睛】本题主要考查任意角的三角函数和三角恒等变換，考查考生分析问题、解决问题的能力和运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.

13．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】若在是减函数，则的最大值是

A．B．

C．D．

【答案】C

【解析】.当x∈时，∈，

所以结合题意可知，，即，故所求a的最大值是·

故选C.

【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查考生的数形结合能力以及运算求解能力，考查的数学核心素养是直观想象、数学运算.灵活运用“局部整体化”思想是处理好形如y=Asin（x+φ）（>0），y=Acos（x+φ）（>0），y=Atan（x+φ）（>0）的三角函数间是的关键.具体间题中，首先将“x+φ”看作一个整体，然后活用相关三角函的图象与性质求解.

14．【2018年高考浙江卷】函数y=sin2x的图象可能是

A．B．

C．D．

【答案】D

【解析】令，因为，所以为奇函数，排除选项A，B；

因为时，，所以排除选项C，

故选D.

【名师点睛】解答本题时，先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可作出判断.有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：

（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；

（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；

（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；

（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．

15．【2018年高考北京卷文数】在平面直角坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以O𝑥为始边，OP为终边，若，则P所在的圆弧是

A．B．

C．D．

【答案】C

【解析】由下图可得：

有向线段为余弦线，有向线段为正弦线，有向线段为正切线.

对于A选项：

当点在上时，，，故A选项错误；

对于B选项：

当点在上时，，，，故B选项错误；

对于C选项：

当点在上时，，，，故C选项正确；

对于D选项：

当点在上且在第三象限时，，故D选项错误.

综上，故选C.

【名师点睛】此题主要考查三角函数的定义，解题的关键是能够利用数形结合思想，作出图形，找到所对应的三角函数线进行比较.逐个分析A、B、C、D四个选项，利用三角函数的三角函数线可得正确结论.

16．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】函数的部分图像大致为

A．B．

C．D．

【答案】C

【解析】由题意知，函数为奇函数，故排除B；

当时，，故排除D；

当时，，故排除A．

故选C．

【名师点睛】函数图像问题首先关注定义域，从图像的对称性，分析函数的奇偶性，根据函数的奇偶性排除部分选择项，从图像的最高点、最低点，分析函数的最值、极值，利用特值检验，较难的需要研究单调性、极值等，从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．

17．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】函数的最小正周期为

A．B．

C．D．

【答案】C

【解析】由题意，故选C.

【名师点睛】函数的性质：

（1）.

（2）最小正周期

（3）由求对称轴.

（4）由求增区间;由求减区间;

18．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】已知，则=

A．B．

C．D．

【答案】A

【解析】.所以选A.

【名师点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度：

（1）变角：

目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.

（2）变名：

通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.

（3）变式：

根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：

“常值代换”、“逆用或变用公式”、“通分或约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.

19．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】函数的最大值为

A．B．1

C．D．

【答案】A

【解析】由诱导公式可得，

则，函数的最大值为.

所以选A.

【名师点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为的形式，再借助三角函数的图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．

20．【2017年高考全国Ⅲ文数】函数的部分图像大致为

【答案】D

【解析】当时，，故排除A，C；

当时，，故排除B，满足条件的只有D，

故选D.

【名师点睛】

（1）运用函数性质研究函数图像时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.

（2）在运用函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化进行研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去，即将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系.

21．【2017年高考天津卷文数】设函数，其中．若且的最小正周期大于，则

A．B．

C．D．

【答案】A

【解析】由题意得，其中，所以，

又，所以，所以，，

由得，故选A．

【名师点睛】关于的问题有以下两种题型：

①提供函数图象求解析式或参数的取值范围，一般先根据图象的最高点或最低点确定，再根据最小正周期求，最后利用最高点或最低点的坐标满足解析式，求出满足条件的的值；

②题目用文字叙述函数图象的特点，如对称轴方程、曲线经过的点的坐标、最值等，根据题意自己画出大致图象，然后寻求待定的参变量，题型很活，一般是求或的值、函数最值、取值范围等．

22．【2017年高考山东卷文数】已知，则

A．B．

C．D．

【答案】D

【解析】由得，故选D.

【名师点睛】

（1）三角函数式的化简与求值要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征．

（2）三角函数式化简与求值要注意观察条件中角之间的联系（和、差、倍、互余、互补等），寻找式子和三角函数公式之间的共同点．

23．【2017年高考山东卷文数】函数的最小正周期为

A．B．

C．D．

【答案】C

【解析】因为，所以其最小正周期，故选C.

【名师点睛】求三角函数周期的方法：

①利用周期函数的定义．

②利用公式：

y＝Asin（ωx＋φ）和y＝Acos（ωx＋φ）的最小正周期为，y＝tan（ωx＋φ）的最小正周期为.

对于形如的函数，一般先把其化为的形式