最新精编高中人教版A版高考数学理科一轮复习35 两角和与差的正弦余弦和正切公式公开课优质课教学设计.docx
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最新精编高中人教版A版高考数学理科一轮复习35两角和与差的正弦余弦和正切公式公开课优质课教学设计
第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
三角函数的求值与化简
（1）和与差的三角函数公式
①会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．
②能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．
（2）二倍角的三角函数公式
①能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式．
②利用两角和的公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．
知识点一 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）sin（α±β）＝sin_αcos_β±cos_αsin_β.
（2）cos（α±β）＝cos_αcos_β∓sin_αsin_β.
（3）tan（α±β）＝.
2．公式的变形
公式T（α±β）的变形：
（1）tanα＋tanβ＝tan（α＋β）（1－tan_αtan_β）．
（2）tanα－tanβ＝tan（α－β）（1＋tan_αtan_β）．
易误提醒
1．在使用两角和与差的余弦或正切公式时运算符号易错．
2．在（0，π）范围内，sin（α＋β）＝所对应的角α＋β不是唯一的．
[自测练习]
1．化简cos15°cos45°－cos75°sin45°的值为（ ）
A. B.
C．－D．－
解析：
cos15°cos45°－cos75°sin45°＝cos15°cos45°－sin15°sin45°＝cos（15°＋45°）＝cos60°＝.
答案：
A
2．已知cos＝－，则cosx＋cos的值是（ ）
A．－B．±
C．－1D．±1
解析：
cosx＋cos＝cosx＋cosx＋sinx＝cosx＋sinx＝＝cos＝－1.
答案：
C
3．（2015·浙江金华十校联考）已知tan＝，则tanα＝________.
解析：
tanα＝tan＝＝－.
答案：
－
知识点二 二倍角的正弦、余弦、正切公式
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）sin2α＝2sin_αcos_α.
（2）cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
（3）tan2α＝.
2．公式C2α的变形
（1）sin2α＝（1－cos2α）．
（2）cos2α＝（1＋cos2α）．
3.公式的逆用
（1）1±sin2α＝（sinα±cosα）2.
（2）sinα±cosα＝sin.
必备方法 二倍角公式实际就是由两角和公式中令β＝α所得．特别地，对于余弦：
cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，这三个公式各有用处，同等重要，特别是逆用即为“降幂公式”，在考题中常有体现．
[自测练习]
4．已知sin2α＝，则cos2＝（ ）
A．－B．－C.D.
解析：
∵cos2＝
＝，∴cos2＝.
答案：
D
5．已知α为第二象限角，cosα＝－，则tan2α的值为（ ）
A.B.C．－D．－
解析：
因为α为第二象限角，
所以sinα＝＝＝，
所以tanα＝＝－，
tan2α＝＝＝.
答案：
B
考点一 给角求值|
1．（2015·高考全国卷Ⅰ）sin20°cos10°－cos160°sin10°＝（ ）
A．－B.C．－D.
解析：
原式＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin（20°＋10°）＝.
答案：
D
2.－tan20°＝（ ）
A.B.C．1D.
解析：
利用三角函数公式求解.－tan20°＝－＝＝＝，故选A.
答案：
A
求解给角求值问题的三个注意点
（1）观察角，分析角之间的差异，巧用诱导公式或拆分．
（2）观察名，尽可能使函数统一名称．
（3）观察结构，利用公式，整体化简．
考点二 给值求值问题|
（1）（2015·高考重庆卷）若tanα＝，tan（α＋β）＝，则tanβ＝（ ）
A.B.C.D.
[解析] tan（α＋β）＝＝＝，解得tanβ＝.
[答案] A
（2）（2016·贵阳一模）已知sin＝，则cos的值是（ ）
A.B.C．－D．－
[解析] 法一：
∵sin＝，∴cos＝cos＝1－2sin2＝，
∴cos＝cos
＝cos＝－cos＝－.
法二：
∵sin＝，∴cos＝，
∴cos＝2cos2－1＝－1＝－.
[答案] D
三角函数的给值求值，问题中把待求角用已知角表示的三个策略：
（1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．
（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍”的关系或“互余互补”的关系．
（3）在求值的过程中“拼凑角”对求值往往起到“峰回路转”的效果．通过适当地拆角、凑角来利用所给条件．常见的变角技巧有＝－，α＝（α－β）＋β，＋α＝－，15°＝45°－30°等．
1．若锐角α满足2sinα＋2cosα＝3，则tan的值是（ ）
A．－3B．－
C．3D.
解析：
本题考查三角恒等变换．由2sinα＋2cosα＝3化简得4＝3，
即sin＝.
由<<且α是锐角得<α＋<，
所以cos＝－＝－，
从而tan＝－，
由二倍角公式得tan2＝＝3，故选C.
答案：
C
考点三 给值求角|
（2015·成都一诊）若sin2α＝，sin（β－α）＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是（ ）
A.B.
C.或D.或
[解析] 因为α∈，所以2α∈，又sin2α＝，所以2α∈，α∈，故cos2α＝－.又β∈，所以β－α∈，故cos（β－α）＝－.
所以cos（α＋β）＝cos[2α＋（β－α）]＝cos2α·cos（β－α）－sin2αsin（β－α）＝－×－×＝，且α＋β∈，故α＋β＝.
[答案] A
“给值求角”求解的三个步骤
（1）求角的某一三角函数值．
（2）讨论角的范围．
（3）根据角的范围写出要求的角．
2．（2015·兰州检测）在斜三角形ABC中，sinA＝－cosB·cosC，又tanB·tanC＝1－，则角A的值为（ ）
A.B.
C.D.
解析：
由题意知，sinA＝－cosB·cosC＝sin（B＋C）＝sinB·cosC＋cosB·sinC，在等式－cosB·cosC＝sinB·cosC＋cosB·sinC两边同除以cosB·cosC得tanB＋tanC＝－，又tan（B＋C）＝＝－1＝－tanA，即tanA＝1，所以A＝.
答案：
A
6.忽视角的范围导致三角函数求值失误
【典例】 已知0<β<<α<π，且cos＝－，sin＝，则cos（α＋β）的值为______．
[解析] ∵0<β<<α<π，
∴－<－β<，<α－<π，
∴cos＝＝，
sin＝＝，
∴cos＝cos
＝coscos＋sinsin＝×＋×＝，
∴cos（α＋β）＝2cos2－1＝2×－1＝－.
[答案] －
[易误点评]
（1）由0<β<<α<π易错求出α－，－β的范围导致失误．
（2）不会将表示为－导致不会．
[防范措施]
（1）对于给值求值问题变角后一定要注意结合已知角的范围压缩为新求问题中角的范围，否则会多解．
（2）牢记变角求值在给值求值中的应用这一方法．
[跟踪练习] 已知cosα＝，cos（α－β）＝，且0<β<α<，试求角β的值．
解：
由cosα＝，0<α<，
得sinα＝＝＝.
由0<β<α<，得0<α－β<.
又∵cos（α－β）＝，
∴sin（α－β）＝＝，
由β＝α－（α－β），得
cosβ＝cos[α－（α－β）]＝cosαcos（α－β）＋
sinαsin（α－β）＝×＋×＝.
又0<β<，所以β＝.
A组 考点能力演练
1．已知sin＝－，则sin2x的值为（ ）
A.B.
C．－D．－
解析：
法一：
由sin＝－，可得sinx＋cosx＝－，所以（sinx＋cosx）2＝1＋sin2x＝，所以sin2x＝－.
法二：
sin2x＝－cos＝2sin2－1＝－，故选D.
答案：
D
2．若点P（cosθ，sinθ）在直线x＋2y＝0上，则cos2θ＋sin2θ＝（ ）
A．－B．－
C.D.
解析：
由已知条件可得cosθ＋2sinθ＝0，解得tanθ＝－，∴cos2θ＋sin2θ＝
＝＝－，故选A.
答案：
A
3．（2015·云南一检）cos·cos·cos＝（ ）
A．－B．－
C.D.
解析：
cos·cos·cos＝cos20°·cos40°·cos100°＝－cos20°·cos40°·cos80°
＝－
＝－
＝－＝－
＝－＝－.
答案：
A
4．（2015·青岛一模）设a＝cos50°cos127°＋cos40°cos37°，b＝（sin56°－cos56°），c＝，d＝（cos80°－2cos250°＋1），则a，b，c，d的大小关系是（ ）
A．a>b>d>cB．b>a>d>c
C．a>c>b>dD．c>a>b>d
解析：
a＝cos50°cos127°＋cos40°cos37°＝sin40°×cos127°＋cos40°sin127°＝sin（40°＋127°）＝sin167°＝sin13°，b＝（sin56°－cos56°）＝sin56°－cos56°＝sin（56°－45°）＝sin11°，c＝＝＝cos239°－sin239°＝cos78°＝sin12°，d＝（cos80°－2cos250°＋1）＝cos80°－cos100°＝cos80°＝sin10°，故a>c>b>d，选C.
答案：
C
5．已知锐角α，β满足sinα－cosα＝，tanα＋tanβ＋tanαtanβ＝，则α，β的大小关系是（ ）
A．α<<βB．β<<α
C.<α<βD.<β<α
解析：
∵α为锐角，sinα－cosα＝，∴α>.
又tanα＋tanβ＋tanαtanβ＝，∴tan（α＋β）＝＝，∴α＋β＝，又α>，∴β<<α.
答案：
B
6．若cos（α＋β）＝，cos（α－β）＝，则tanαtanβ＝________.
解析：
∵cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ＝，cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝，∴cosαcosβ＝＝，sinαsinβ＝＝，∴tanαtanβ＝＝.
答案：
7．已知sinα＋cosα＝，则cos4α＝________.
解析：
由sinα＋cosα＝，得（sinα＋cosα）2＝1＋2sinαcosα＝，∴sin2α＝－，∴cos4α＝1－2sin22α＝1－2×2＝－.
答案：
－
8．（2015·珠海一模）已知tan（α＋β）＝，tanβ＝，则tan（α－β）的值为________．
解析：
∵tan（α＋β）＝，tanβ＝，∴tanα＝tan[（α＋β）－β]＝＝＝，tan（α－β）＝＝＝－.
答案：
－
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