特殊平行四边形Word文件下载.docx
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[师]上两节课我们探讨了平行四边形的性质定理及判定定理．下面我们来共同回忆总结：
[师生共析]（学生总结，教师补充）（出示投影片§
已加一个四边形是平行四边形，则有：
对边平行
对边相等
对角相等
邻角互补
对角线互相平分
从两组对边分别平行
边两组对边分别相等的四边边形是
看一组对边平行且相等平行四边形
从角看：
两组对角分别相等
从对角线看：
对角线互相平分
[师]了解了平行四边形后，你还了解哪些特殊的平行四边形?
[生]特殊的平行四边形有矩形、菱形和正方形．
[师]还记得它们与平行四边形的关系吗?
能用一张图来表示它们之间的关系吗?
[生]有一个角是直角的平行四边形是矩形；
有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
而有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形．由此看来，矩形、菱形、正方形都是平行四边形，它们都是有特殊性质的平行四边形．正方形不仅是特殊的平行四边形，而且也是特殊的矩形、特殊的菱形．所以可用下图来表示它们之间的关系：
（随学生的叙述，教师播放投影，使学生进一步了解它们的关系）
[师]它们既然是平行四边形，就具有平行四边形的性质．又因为它们是特殊的平行四边形，所以它们又具有各自的独特性质．
今天我们先来研究矩形的特殊性质．
Ⅱ．讲授新课
[师]前面我们已探讨过矩形的性质，还记得吗?
[生]矩形的四个角都是直角；
矩形的对角线相等．
[师]很好，那你能证明它们吗?
[生]能．
[师]好，大家先来独自证明，然后与同伴交流你的证明思路．
[生甲]已知四边形ABCD是矩形．
求证：
∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°
．
证明：
∵四边形ABCD是//四边形，
∴∠A＝90°
，四边形ABCD是．
∴∠A=∠C，∠B＝∠D．
∠A+∠D＝180°
∴∠B＝∠C：
∠D＝∠A＝90°
[生乙]已知矩形ABCD，求证：
AC＝DB．
证明：
在矩形ABCD中，
∵∠ABC＝∠DCB＝90°
，（矩形的四个角都是直角）
AB＝DC，（平行四边形的对边相等）
BC＝CB，
∴△ABC≌DCB．
∴AC=DB．
[师]很好，我们证明矩形的第一个性质时，用到了矩形的定义及平行四边形的性质；
证明第二个性质时，用到了矩形的第一个性质、平行四边形的性质及全等三角形．我们通过逻辑推理证得了矩形的这两个性质，把它们称为定理．即（出示投影片§
定理：
矩形的四个角都是直角．
∵矩形ABCD，
∴∠A=∠B＝∠C=∠D＝90°
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝DB．
[师]接下来，我们来想一想，议一议．（出云投影片§
如图，设矩形的对角线AC与BD的交点为E，那么BE是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段?
它与AC有什么大小关系?
为什么?
[生]因为四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD也是平行四边形．因此，对角线AC与BD互相平分．即AE＝EC，BE＝DE．又因为四边形ABCD是矩形，所以AC＝BD，因此BE=
BD＝
AC．故BE是Rt△ABC的斜边AC上的中线，它与AC的大小关系为BE＝
AC．
[师]很好，那你能用一句话概括你所得到的结论吗?
[生]直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
[师]这个结论是由矩形的性质得到的，因此我们可以把它称之为推论．那你能用推理的方法来证明它吗?
如图，已知BE是Rt△ABC的斜边AC上的中线．
BE＝
分析：
要证明这个结论，可构造辅助图形——矩形，所以可以过点A作BC的平行线，也可以延长BE到D，使DE=BE，然后证明四边形ABCD是矩形．再利用“矩形的对角线相等且互相平分”即可证明结论．
过点A作BC的平行线与BE的延长线交于点D，连接CD．（如图）
则∠DAE＝∠BCE．
∵BE是Rt△ABC的斜边AC上的中线，
∴AE＝EC．
又∵∠AED＝∠CEB，
∴△AED≌△CEB．
∴AD＝BC．
∵AD//BC．∠ABC＝90°
，
∴四边形ABCD是矩形．
∴AC=BD，BE＝ED＝
BD．
∴BE＝
[师]我们通过推理进一步得证了这个结论是正确的．那么我们以后就可直接应用了．
∵BE是Rt△ABC的AC上的中线，
下面我们来通过一个例题进一步熟悉掌握矩形的性质（出示投影片§
3．2．1D）[例题]如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，已知∠AOD＝120°
，AB＝2．5cm．求矩形对角线的长．
分析：
欲求对角线的长，由于∠BAD＝90°
或∠ABC=90°
，AB=4cm，则只要再找出Rt△ABD中一条直角边或一个锐角的度数，再从已知条件∠AOD＝120°
出发，应用矩形的性质可知
∠ADB＝30°
，这样即可求出对角线的长．
解：
∴AC＝BD，且OA=OC=
AC，
OB＝OD=
BD，（矩形的对角线相等且互相平分）
∴OA＝OD．
∵∠AOD＝120°
∴∠OAD＝∠ODA＝
＝30°
∵∠DAB＝90°
．（矩形的四个角都是直角）
∴BD＝2AB＝2×
2．5＝5（cm）．
故这个矩形的对角线的长为5cm．
[师]同学们来想一想，还有没有其他的方法来解这个题呢?
[师]小明认为，这个题还可以这样想：
（出示投影片§
3．2．1E）
∠AOD＝120°
→∠AOB=60°
→OA＝OB＝AB→AC＝20A＝2×
[师]你能帮小明写出完整的解题过程吗?
[生]解：
∴AC＝BD，且OA＝OC＝
OB＝OD＝
BD．（矩形的对角线相等且互相平分）
∴OA＝OB．
∵∠AOD＝120°
∴AOB＝60°
∴OA=OB＝AB．
∴AC＝2OA＝2×
[师]已知一个四边形是矩形，那么就会得到一些相应的性质，如果要判定一个四边形是矩形，那除了根据定义判定外，还有没有其他的方法呢?
下面我们通过做练习来证明矩形的判定定理．
Ⅲ．课堂练习
（一）课本P84随堂练习1
1．证明：
有三个角是直角的四边形是矩形．
已知在四边形ABCD中，∠A＝∠B=∠C＝90°
四边形ABCD是矩形．
∵∠A＝∠B=90°
∴∠A+∠B=180°
∴AD//BC．
同理可证：
AB//CD．∴四边形ABCD是平行四边形．
∵∠A=90°
∴//四边形ABCD是矩形．
Ⅳ．课时小结
我们这节课主要研究了矩形的性质，现在来归纳：
对边平行且相等
1．矩形四个角都是直角
对角线互相平分且相等
2．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
一个角是直角的平行四边形
3．有三个角是直角的四边形是矩形
对角线相等的平行四边形
Ⅴ．课后作业
课本P85随堂练习1
课本P86,习题3．42、3
Ⅵ．活动与探究
1．取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下；
第一步：
先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图
（1）．
第二步：
再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为B′,得Rt△AB′E．如图
（2）．
第三步：
沿EB′，线折叠得折痕EF．如图（3）．
利用展开图（4）探究：
（1）△AEF是什么三角形?
证明你的结论．
（2）对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形?
请说明理由．
[过程]通过学生动手操作、观察、猜想，进而通过推理论证了猜想，来培养学生的创新能力和实践能力．
[结果]
（1）△AEF是等边三角形．
∵△ABE与△AB′E完全重合．
∴△ABE≌△AB′E，∠BAE＝∠1，由平行线等分线段定理得EB′＝B′F．
又∠AB′E＝90°
，∴△AB′E≌△AB′F．
∴AE＝AF，∠1＝∠2=
∠BAD=30°
∴△AEF是等边三角形．
（2）不一定．
由以上推证可知：
当矩形的长恰好等于等边△AEF的边AF时，即矩形的宽：
长＝AB：
AF＝sin60°
=
：
2时能正好折出．
如果设矩形的长为a，宽为b，可知
当b≤
a时。
按此法一定能折出等边三角形；
当a
<
b<
a时，按此法无法折出完整的等边三角形．
板书设计
1．
2．定理：
3．议一议：
推论：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
4．例题：
5．课堂练习：
有三个角是直角的四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形．
6．课时小结
7．课后作业
备课资料
参考例题
[例]折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕BD，再折叠使AD边与对角线BD重合，得折痕DG，如图，若AB＝2，BC＝1，求AG．
折叠性问题主要是要明确折叠后的对称关系，从中找出相等的条件．才能把未知逐渐转化为已知．本题由题意可知GE＝AG，DE＝AD=1．因为折叠后出现了直角，所以利用勾股定理即可求出AG．
解：
由题意知GE＝AG，DE＝AD＝1，
∵AB＝2，BC＝1，
∴BD=
∴BE=
-1．
设AG为x，则GB＝2-x．
在Rt△GEB中，GB2＝BE2+GE2，
（2-x）2=（
-1）2+x2．
解得x＝
因而AG的长为
第二课时
3．2．2特殊平行四边形
（二）
1．菱形的性质定理的证明．
2．菱形的判定定理的证明．
3．正方形的性质及判定定理的证明．
1．经历猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理论证能力．
2．能够用综合法证明菱形、正方形的性质定理和判定定理．
通过组织学生进行推理过程的活动，培养学生抽象概括、合情推理的能力以及积极探索客观真理的科学态度．
菱形的性质及判定定理的证明．
互动学习法．
投影片三张
3．2．2A）
练习（记作投影片§
3．2．2B）
想一想（记作投影片§
3．2．2C）
Ⅰ．巧设现实情境，引入新课
[师]我们曾在前面探讨过另一种特殊的平行四边形——菱形．大家还记得它吗?
……
[师]好，我们来共同回忆一下：
[师生共析]有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
因为菱形是特殊的平行四边形，所以它不仅具有平行四边形的所有性质，而且具有它本身独特的性质．即
四条边都相等
菱对角相等
形对角线互相平分、垂直，并且每条对
角线平分一组对角
菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形．
[师]菱形的这些性质是我们通过猜想，验证得到的，那么你能用几何推理过程来证明它们吗?
这节课我们就来证明菱形的性质．
[师]同学们自己来用推理过程来证明菱形的性质，行吗?
[生甲]平行四边形的对边平行、对角相等、对角线互相平分，而菱形是平行四边形，所以菱形也具有对边平行、对角相等、对角线互相平分的性质．
[生乙]由于菱形是有一组邻边相等的平行四边形，所以根据平行四边形对边相等的性质．可以得到：
菱形的四条边相等．
[师]谁能说出这个性质的已知、求证呢?
[生丙]如图，已知四边形ABCD是菱形，
AB＝BC＝CD＝DA．
[师]很好，那另外的性质呢?
[生丁]已知在菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，如图．
AC⊥BD，AC平分∠BAD和∠BCDBD平分∠ABC和∠ADC．
∵四边形ABCD是菱形．
∴AB＝AD．（菱形的四条边都相等）
OB＝OD．（菱形的对角线互相平分）
在等腰△ABD中，
∵OB＝OD，
∴AC⊥BD，AC平分∠BAD，（等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合）
同理AC平分∠BCD，
BD平分∠ABC和∠ADC．
这样就得到：
菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角．
好，接下来我们来看一个例题以熟悉巩固菱形的性质定理．（出示投影片§
3．2．2A）
[例题]如图，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长10cm，
求：
（1）对角线AC的长度；
（2）菱形ABCD的面积．
（1）要求对角线AC的长度，由已知：
“四边形ABCD是菱形”，可知：
只需求出OA的长即可，而OA又是Rt△AOB的边．因而应用勾股定理即可求解．
（2）从图形中可知：
菱形ABCD被对
角线BD分成两个全等的等腰三角
形，所以要求菱形ABCD的面积，
只需求出△ABD或△BDC的面积即
可．
（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴∠AOD＝90°
，（菱形的对角线互相垂直）
OD=
BD=
×
10=5（cm）．（菱形的对角线互相平分）
∴OA＝
＝12（cm）．
12＝24（cm）．（菱形的对角线互相平分）
（2）菱形ABCD的面积
＝△ABD的面积+△CBD的面积
＝2×
△ABD的面积
BD×
OA
10×
12=120（cm2）．
[师]同学们再来看例题的图形，你还会发现什么呢?
[生]菱形ABCD被对角线AC、BD分成四个全等的直角三角形．
[师]再来看每个直角三角形的边．
[生]这四个全等直角三角形的斜边是菱形的边，两条直角边又是菱形的对角线的一半．
[生]老师，我看出来了：
每个直角三角形的底和高分别是两条对角线的一半，而菱形的面积正好是这四个直角三角形的面积的和，所以由此推出：
菱形的面积等于它的两条对角线长的积的一半．即
菱形ABCD的面积
＝4×
△AOB的面积
—4×
AC
＝
[师]同学们总结得真好．如果菱形的两条对角线长分别是a、b，则菱形的面积为
S=
a·
b．
大家来做一个练习（出示投影片§
已知菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm，求菱形的周长和面积．
[生]应用勾股定理可以求出菱形的边长为5cm．即
＝5．
所以菱形的周长为20cm．
菱形的面积
=
6×
8=24（cm2）．
[师]很好，学以致用．我们通过推理论证了菱形的性质定理．下面大家来想一想．（出示投影片§
3．2．2C）
怎样判别一个平行四边形是菱形?
请证明你的结论．
[生甲]我们可以用定义来判别．即有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
[生乙]一般地来说：
判定定理与性质定理是互为逆命题的，所以我就想：
菱形的对角线互相垂直，则它的逆命题：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形．我只要证明它即可为判定定理．
已知在//四边形ABCD中，对角线AC⊥BD．
；
//四边形ABCD是菱形．
∵四边形ABCD是平行四边形。
∴OB＝OD．（平行四边形的对角线互相平分）
∵AC⊥BD，垂足为O，
∴AB＝AD．（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）
∴//四边形ABCD是菱形．
这样就得到了菱形的判定定理：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
[师]很好，那么怎样的一个四边形是菱形呢?
你能证明它吗?
[生甲]四条边都相等的四边形是菱形．
对角线互相垂直平分的四边形是菱形．
证明时，只要先证明这个四边形是平行四边形，然后再利用前面的判定定理或定义来说明即可．
[师]好，下面我们就来证明这两个判定定理及正方形的性质定理．
课本P88，随堂练习1．
1．证明：
四条边都相等的四边形是菱形．
如图，已知在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA
求证：
四边形ABCD是菱形．
∵AB＝CD，BC＝DA，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝BC
∴四边形ABCD是菱形．
这节课我们主要证明了菱形的性质定理和判定定理．
菱形的性质定理：
1．菱形的四条边相等．
2．菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角．
菱形的判定定理：
1．对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
2．四条边都相等的四边形是菱形．
注意：
菱形的一条对角线把菱形分成两个全等的等腰三角形；
菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，因此，有关菱形的问题，往往可转化为等腰三角形或直角三角形的问题来解决．要学会这种“转化”的思想方法．
（一）课本P88习题3．51、2、3．
（二）总结特殊的平行四边形的性质及判定定理．
1．把一个等腰直角三角形ABC沿斜边上的高线CD（裁剪线）剪一刀，从这个三角形中裁下一部分，与剩下部分能拼成一个平行四边形A′BCD．（如图
（1））
以下探究过程中有画图要求的，工具不限，不必写画法和证明．
探究一：
（1）想一想——判断四边形ABCD是平行四边形的依据是。
（2）做一做——按上述的裁剪方法，请你拼一个与图
（1）位置或形状不同的平行四边形，并在图
（2）中画出示意图．
[过程]通过动手操作，培养学生的动手、动脑能力以及观察、分析、归纳的能力．
[结果]探究一：
（1）CD
A′B（或A′D
DC或CD＝A′B，BC＝A′D等）
（2）如图所示：
1．菱形：
有一组邻边相等的平行四边形．其性质：
对边平行
对角线互相平分，垂直，并且每条
对角线平分一组对角．
已知：
菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O．
AC⊥BD，AC平分∠DAB和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC．
2．例题：
如果菱形的两条对角线长分别是a、b，则菱形的面积．
ab
3．菱形的判定定理：
4．课堂练习：
5．课时小结
6．课后作业
参考练习
1．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）
A．四条边相等
B．对角线互相垂直
C．对角线平分一组对角
D．对角线相等
答案：
D
2．在菱形ABCD中，E、F分别上CB、CD上的点，且BE＝DF．
（1）△ABE≌△ADF；
（2）∠AEF＝∠AFE．
（1）在菱形ABCD中，
AB＝AD，∠B＝∠D，
∵BE=DF．
∴△ABE≌△ADF．
（2）在菱形ABCD中，BC＝CD，
∵BE＝DF．
∴CE=CF．
∴∠CEF=∠CFE．
又∵△ABE≌△ADF，
∴∠AEB=∠AFD．
∴∠AEF＝∠AFE．
第三课时
课题
3．2．3特殊平行四边形（三）
教学目标
1．能进一步理解掌握矩形、菱形、正方形的性质定理、判定定理．
2．进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用．
3．体会证明过程中所运用的归纳概括以及转化等数学思想方法．
1．通过知识的迁移、类比、转化，激发学生探索新知识的积极性和主动性．
2．体会数学与生活的联系．
特殊四边形——矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理的灵活应用．
启问——交流式教学法．
猜一猜（记作投影片§
3．2．3A）
3．2．3B）
做一做（记作投影片§
3．2．3C）
1．巧设现实情境，引入新课
[师]通过前几节内容的学习，我们进一步理解了平行四边形及特殊平行四边形的性质定理和判定定理．
这节课我们来应用它们证明和计算一些题．
[师]下面大家来猜一猜，想一想（出示投影片§
依次连接任意四边形各边的中点可以得到一个平行四边形．那么，依次连接正方形各边的中点．（如图）能得到—个怎样的图形呢?
先猜一猜，再证明．
[生甲]依次连结正方形各边的中点得到的四边形是正方形．
[生乙]证明：
∵四边形ABCD是正方形．
∴∠A＝∠B=∠C=∠D＝90°
AB＝BC＝CD＝DA．
又∵A1、B1、C1、D1分别是边AB、BC、CD、DA的中点。
∴AA1＝BA＝BB1＝B1C＝CC1＝C1D＝DD1＝D1A．
∴△AD1A1≌△BA1B1≌△CB1C1≌△DC1D1．
∴A1B1＝B1C1＝C1D1＝D1A1．
∵∠A＝∠B＝90°
AA1＝AD1，A1B=BB1，
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