第8章 整式的乘除与因式分解Word文件下载.docx
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（3）a4×
a5
1．
你发现了什么？
注意观察计算前后底数和指数的关系，并能用自己的语言描述．
[师]根据乘方的意义，同学们可以独立解决上述问题．
[生]
（1）22×
23=（2×
2）×
（2×
2×
2）=25=22+3．
因为22表示2个2相乘，；
23表示3个2相乘，根据乘方的意义，同样道理可得a2·
a3=（a·
a）·
（a·
a·
a）=a5=a2+3．
a4×
a5=（a·
a·
a）=a9=a4+5．
（让学生自主探索，在启发性设问的引导下发现规律，并用自己的语言叙述）．
[生]我们可以发现下列规律：
（一）这四个式子都是底数相同的幂相乘．
（二）相乘结果的底数与原来底数相同，指数是原来两个幂的指数的和．
2．议一议
am·
an等于什么（m、n都是正整数）？
为什么？
[师生共析]
an表示同底数幂的乘法．根据幂的意义可得：
an=
·
=
=am+n
于是有am·
an=am+n（m、n都是正整数），用语言来描述此法则即为：
“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”．
[师]请同学们用自己的语言解释“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的道理，深刻理解同底数幂的乘法法则．
[生]am表示n个a相乘，an表示n个a相乘，am·
an表示m个a相乘再乘以n个a相乘，也就是说有（m+n）个a相乘，根据乘方的意义可得am·
an=am+n．
[师]也就是说同底数幂相乘，底数不变，指数要降一级运算，变为相加．
[例1]计算：
（1）
（2）
a3×
a6（4）xm·
x3m+1
[例2]计算am·
an·
ap后，能找到什么规律？
3．例题讲解
[师]我们先来看例1，是不是可以用同底数幂的乘法法则呢？
[生1]
（1）、
（2）、（4）可以直接用“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的法则．
[生2]（3）也可以，先算2个同底数幂相乘，将其结果再与第三个幂相乘，仍是同底数幂相乘，再用法则运算就可以了．
[师]同学们分析得很好．请自己做一遍．每组出一名同学板演，看谁算得又准又快．
[师]接下来我们来看例2．受（3）的启发，能自己解决吗？
与同伴交流一下解题方法．
解法一：
am·
ap=（am·
an）·
ap
=am+n·
ap=am+n+p；
解法二：
ap=am·
（an·
ap）=am·
an+p=am+n+p．
解法三：
ap=
=am+n+p．
评析：
解法一与解法二都直接应用了运算法则，同时还用了乘法的结合律；
解法三是直接应用乘方的意义．三种解法得出了同一结果．我们需要这种开拓思维的创新精神．
[生]那我们就可以推断，不管是多少个幂相乘，只要是同底数幂相乘，就一定是底数不变，指数相加．
[师]是的，能不能用符号表示出来呢？
[生]am1·
am2·
…·
amn=am1+m2+mn
[师]太棒了．那么例1中的第（3）题我们就可以直接应用法则运算了．
四．随堂练习
1．课本P47练习
五．课时小结
[师]这节课我们学习了同底数幂的乘法的运算性质，请同学们谈一下有何新的收获和体会呢？
[生]在探索同底数幂乘法的性质时，进一步体会了幂的意义．了解了同底数幂乘法的运算性质．
[生]同底数幂的乘法的运算性质是底数不变，指数相加．应用这个性质时，我觉得应注意两点：
一是必须是同底数幂的乘法才能运用这个性质；
二是运用这个性质计算时一定是底数不变，指数相加，即am·
an=am+n（m、n是正整数）．
六．课后作业
1．课本P472．
七、教学反思
8．1．2幂的乘方
一、教学目标：
1、经历探索幂的乘方与积的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力。
2、了解幂的乘方与积的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题。
二、教学重点难点：
教学重点：
会进行幂的乘方的运算。
教学难点：
幂的乘方法则的总结及运用。
三、教学过程：
通过练习的方式，先让学生复习乘方的知识，并紧接着利用乘方的知识探索新课的内容。
（一）探索练习：
1、64表示_________个___________相乘.
（52）3表示_________个___________相乘.
A3表示_________个___________相乘.
（a2）3表示_________个___________相乘.
在这个练习中，要引导学生观察，推测（62）4与（a2）3的底数、指数。
并用乘方的概念解答问题。
2、（62）4=________×
_________×
_______×
________
=__________（根据an·
am=anm）
=__________
（23）5=_____×
________×
_______
（a2）3=_______×
（am）2=________×
_________
（am）n=________×
…×
即（am）n=______________（其中m、n都是正整数）
通过上面的探索活动,发现了什么?
幂的乘方,底数__________,指数__________.
学生在探索练习的指引下,自主的完成有关的练习,并在练习中发现幂的乘方的法则,从猜测到探索到理解法则的实际意义从而从本质上认识、学习幂的乘方的来历。
教师应当鼓励学生自己发现幂的乘方的性质特点（如底数、指数发生了怎样的变化）并运用自己的语言进行描述。
然后再让学生回顾这一性质的得来过程，进一步体会幂的意义。
（二）、巩固练习：
例2
1、计算下列各题：
（1）（105）3
（2）（x4）2（3）（－a2）3
解：
（1）（105）3=105×
3=1015
（2）（x4）2=x42=x8
（3）（－a2）3=（－a）2×
3=-a6
学生在做练习时，不要鼓励他们直接套用公式，而应让学生说明每一步的运算理由，进一步体会乘方的意义与幂的意义。
1、判断题，错误的予以改正。
（1）a5+a5=2ª
10（）
（2）（s3）3=x6（）
（3）（－3）2·
（－3）4=（－3）6=－36（）
（4）x3+y3=（x+y）3（）
（5）[（m－n）3]4－[（m－n）2]6=0（）
学生通过练习巩固刚刚学习的新知识。
在此基础上加深知识的应用.
（三）、课堂练习：
P481，2
四、课堂小结：
五、课堂作业：
课本P48练习：
2。
六、教学反思：
8.1．3积的乘方
一、教学目标
1．经历探索积的乘方的运算法则的过程，进一步体会幂的意义．
2．理解积的乘方运算法则，能解决一些实际问题．
1．在探究积的乘方的运算法则的过程中，发展推理能力和有条理的表达能力．
2．学习积的乘方的运算法则，提高解决问题的能力．
在发展推理能力和有条理的语言、符号表达能力的同时，进一步体会学习数学的兴趣，提高学习数学的信心，感受数学的简洁美．
二、教学重点难点：
积的乘方运算法则及其应用．
幂的运算法则的灵活运用．
三、教学过程
[师]提出的问题：
若已知一个正方体的棱长为1.1×
103cm，你能计算出它的体积是多少吗？
[生]它的体积应是V=（1.1×
103）3cm3．
[师]这个结果是幂的乘方形式吗？
[生]不是，底数是1.1和103的乘积，虽然103是幂，但总体来看，我认为应是积的乘方才有道理．
[师]你分析得很有道理，积的乘方如何运算呢？
能不能找到一个运算法则？
有前两节课的探究经验，老师想请同学们自己探索，发现其中的奥秒．
老师列出自学提纲，引导学生自主探究、讨论、尝试、归纳．
1．填空，看看运算过程用到哪些运算律，从运算结果看能发现什么规律？
（1）（ab）2=（ab）·
（ab）=（a·
（b·
b）=a（）b（）
（2）（ab）3=______=_______=a（）b（）
（3）（ab）4=______=______=a（）b（）
（4）（ab）n=______=______=a（）b（）（n是正整数）
2．把你发现的规律用文字语言表述，再用符号语言表达．
3．解决前面提到的正方体体积计算问题．
4．积的乘方的运算法则能否进行逆运算呢？
请验证你的想法．
5．完成课本P48-49例3．
学生探究的经过：
1．
（1）（ab）2=（ab）·
（ab）=（a·
b）=a2b2，其中第①步是用乘方的意义；
第②步是用乘法的交换律和结合律；
第③步是用同底数幂的乘法法则．同样的方法可以算出
（2）、（3）题．
（2）（ab）3=（ab）·
（ab）·
b·
b）=a3b3；
（3）（ab）4=（ab）·
b）=a4b4
（3）（ab）n=
=anbn
2．积的乘方的结果是把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，也就是说积的乘方等于幂的乘积．
用符号语言叙述便是：
（ab）n=an·
bn（n是正整数）
3．正方体的体积V=（1.1×
103）3它不是最简形式，根据发现的规律可作如下运算：
V=（1.1×
103）3=1.14×
（103）3=1.14×
103×
3=1.14×
109=1.331×
109（cm3）
通过上述探究，我们可以发现积的乘方的运算法则：
bn（n为正整数）
积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
4．积的乘方法则可以进行逆运算．即：
an·
bn=（ab）n（n为正整数）
分析这个等式：
左边是幂的乘积，而且幂指数相同，右边是积的乘方，且指数与左边指数相等，那么可以总结为：
同指数幂相乘，底数相乘，指数不变．
看来这也是降级运算了，即将幂的乘积转化为底数的乘法运算．
对于an·
bn=（a·
b）n（n为正整数）的证明如下：
bn=
─幂的意义
=
──乘法交换律、结合律
＝（a·
b）n──乘方的意义
5．[例3]计算
（1）（2x）4=24·
x4=16a4．
（2）（-3ab2c3）2=（-3）2（a）2·
（b2）2（c3）2=9a2·
b4c6．
（学生活动时，老师要深入到学生中，发现问题，及时启发引导，使各个层面的学生都能学有所获）
[师]通过自己的努力，发现了积的乘方的运算法则，并能做简单的应用．可以作如下归纳总结：
1．积的乘方法则：
积的乘方等于每一个因式乘方的积．即（ab）n=an·
bn（n为正整数）．
3．积的乘方法则也可以逆用．即an·
bn=（ab）n（n为正整数）．
四．随堂练习
1．课本P49练习
（由学生板演或口答）
[师]通过本节课的学习，你有什么新的体会和收获？
1．课本P54习题8．1─1．2题．
七．教学反思
8．1．4同底数幂的除法
一、教学目标
1．同底数幂的除法的运算法则及其应用．
2．同底数幂的除法的运算算理．
经历探索同底数幂的除法的运算法则的过程，会进行同底数幂的除法运算．
经历探索同底数幂的除法运算法则的过程，获得成功的体验，积累丰富的数学经验．
二、教学重点难点
准确熟练地运用同底数幂的除法运算法则进行计算．
根据乘、除互逆的运算关系得出同底数幂的除法运算法则．
（1）．提出问题，导入新课
[师]请同学们做如下运算：
（1）35÷
32=（）
（2）46÷
43=（）
（3）a4÷
a2=（）
（4）a5÷
a3=（）
再根据第1题的运算，我们很容易得到答案：
（1）33；
（2）43；
（3）a2；
（4）a2．
[师]其实我们用除法的意义也可以解决，请同学们思考、讨论．
[生]
（1）35÷
32=
（2）46÷
43=
a2=
（4）a5÷
a3=
[师]从上述运算能否发现商与除数、被除数有什么关系？
（学生以小组为单位，展开讨论，教师可深入其中，及时发现问题）
[生甲]我们可以发现同底数幂相除，如果还是幂的形式，而且这个幂的底数没有改变．
[生乙]指数有所变化．
（1）3=5-2；
（2）3=6-3；
（3）2=4-2；
（4）2=5-3．所以商的指数应该等于被除数的指数减去除数的指数．
[生丙]这说明同底数幂的除法与同底数幂的乘法的运算法则类似．相同之处是底数不变．不同之处是除法是指数相减，而乘法是指数相加．
[生丁]太对了．那么同底数幂的除法运算法则可以叙述为：
同底数幂相除，底数不变，指数相减．即：
am÷
an=am-n．
[师]同学们总结得很好．但老师还想提一个问题：
对于除法运算，有没有什么特殊要求呢？
[生]对了，对于除法运算应要求除数（或分母）不为零，所以底数不能为零．
[师]下面我们来共同推导同底数幂相除的运算法则：
方法一：
an==am-n
方法二：
根据除法是乘法的逆运算
∵am-n·
an=am-n+n=am
∴am÷
要求同学们理解着记忆同底数幂的除法的运算法则：
同底数幂相除，底数不变，指数相减．
即：
an=am-n（a≠0，m，n都是正整数，并且m>
n）
例题讲解：
1．计算：
（1）x8÷
x2
（2）a4÷
a（3）（ab）5÷
（ab）2
1．解：
（1）x8÷
x2=x8-2=x6．
（2）a4÷
a=a4-1=a3．
（3）（ab）5÷
（ab）2=（ab）5-2=（ab）3=a3b3．
2．先分别利用除法的意义填空，再利用am÷
an=am-n的方法计算，你能得出什么结论？
（1）32÷
（2）103÷
103=（）
（3）am÷
an=（）（a≠0）
2．解：
先用除法的意义计算．
32÷
32=1103÷
103=1am÷
am=1（a≠0）
再利用am÷
an=am-n的方法计算．
32=32-2=30
103÷
103=103-3=100
am÷
am=am-m=a0（a≠0）
这样可以总结得a0=1（a≠0）
于是规定：
a0=1（a≠0）
任何不等于0的数的0次幂都等于1．
[生]这样的话，我们学习的同底数幂的除法的运算法则就可以扩展到：
an=am-n（a≠0，m、n都是正整数，且m≥n）．
[师]说得有理．下面请同学们完成一组闯关训练，看哪一组完成得最出色．
（2），当被除式的指数小于除式的指数时。
计算下列各题：
（1）32÷
35=
（2）104÷
108=（3）am÷
an=（m＜n）
对于上面的问题，我们可以象上节课学习m>
n一样解决。
可以通过分数约分，得
（1）32÷
35=
（2）104÷
108=
（3）am÷
an=
（p=n-m）
对于上面的解题过程，我们还可以用另一种方式“同底数幂的除法性质”计算，得
32÷
35=32-3=3-3
104÷
108=104-8=14-4
an=am-n=a-p
师生共同发现:
（a≠0,p是正整数）
任何一个不等于零的数-p（p是正整数）指数幂等于这个数的p指数幂的倒数。
例5计算
（1）106÷
106
（2）
（3）（-2）3÷
（-2）5
四．随堂练习
课本P53练习．
让学生独立运算，然后交流计算心得，从而达到熟悉运算法则的目的．
五．课时小结
这节课大家利用除法的意义及乘、除互逆的运算，揭示了同底数幂的除法的运算规律，并能运用运算法则解决简单的计算问题，积累了一定的数学经验．
六．课后作业
1．课本P55习题8．1.6题．
七．教学反思
8.2.1整式的乘法
（1）
一、教学目标:
1、探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则，并运用它们进行运算．
2、让学生主动参与到探索过程中去，逐步形成独立思考、主动探索的习惯，培养思维的批判性、严密性和初步解决问题的愿望与能力．
二、教学重点与难点
重点：
单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则．
难点：
单项式与多项式相乘去括号法则的应用．
三、教学过程
复习引新
1．知识回顾：
回忆幂的运算性质：
an=am+n（m，n都是正整数）
即同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
（am）n=amn（m，n都是正整数）
即幂的乘方，底数不变，指数相乘．
（ab）n=anbn（n为正整数）
即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
创设情境，引入新课
问题光的速度约为3×
105千米/秒，太阳光照射到地球上1年需要的时间大约是5×
107秒，你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗?
注：
从实际的问题导入，让学生自己动手试一试，主动探索，在自己的实践中获得知识，从而构建新的知识体系．
地球与太阳的距离约为（3×
105）×
（5×
107）千米．问题是（3×
107）等于多少呢?
学生提出运用乘法交换律和结合律可以解决：
（3×
107）=（3×
5）×
（105×
107）=15×
1012（为什么?
）
在此处再问学生更加规范的书写是什么?
应该是地球与太阳的距离约为1.5×
lO13千米．
请学生回顾，我们是如何解决问题的．
探究新知
1．问题：
如果将上式中的数字改为字母，即bc5·
abc7，你会算吗?
学生独立思考，小组交流．
从特殊到一般，从具体到抽象，在这一过程中，要注意留给学生探索与交流的空间，让学生在自己的实践中获得单项式与单项式相乘的运算法则．
学生分析：
跟刚才的解决过程类似，可以将bc5和abc7分别看成a·
c5和ab·
c7，再利用乘法交换律和结合律．
bc5·
abc7
=（b·
c5）·
（ab·
c7）
=（a·
b）·
（c5·
=ab2c5+7
=ab2c12
在教学过程中注意运用类比的方法来解决实际问题．
2．试一试：
类似地，请你试着计算：
（1）4x2y·
3xy2；
（2）5abc·
（-3ab）
4x2y和3xy2,5abc和（-3ab）都是单项式，通过刚才的尝试，谁能告诉大家怎样进行单项式乘法?
先不给出单项式与单项式相乘的运算法则，而是让学生类比，自己动手试一试，再相互交流，自己小结出如何进行单项式的乘法．要求学生用语言叙述这个性质，这对于学生提高数学语言的表述能力是有益的．
学生小结：
单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
3．算一算例1教科书第57页例4
在例题教学中应该先让学生观察有哪些运算，如何利用运算性质和法则。
分析后再动手做，同时让学生说一说每一步的依据．提醒学生在单项式的运算中应该先确定符号．
问题2一个施工队修筑一条路面宽为nm的公路，第一天修筑am长，第二天修筑bm长，第三天修筑cm长，3天共修筑路面的面积是多少？
课同学们看课本58页的图！
将运算法则应用在实际问题中，提高学生解决实际问题的能力．
4．辩一辩教科书第58页练习2
辩一辩的目的是让学生通过对这些判断题的讨论甚至争论，加强对运算法则的掌握，同时也培养学生一定的批判性思维能力．
深入探究
1．师生共同研究教科书第58页的问题，对单项式与多项式相乘的方法能有感性认识．
这个实际问题来源于学生的生活实际，所以在教学中通过师生共同探讨，再结合分配律学生不难得到结论．
单项式与多项式的乘法法则：
单项式与多项式相乘，用用单项式和多项式和每一项分别相乘，再把所得的积相乘。
2．试一试计算：
（-2x）·
（x2-x+1）（根据乘法分配律，不难算出结果吧!
因为整式的运算是在数的运算的基础上发展起来的，所以在解决问题时让学生类比数的运算律，将单项式乘以多项式转化为单项式的乘法，自己尝试得出结论．
四．课堂练习
教科书第58页练习（在学习过程中提醒学生注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号）
学生在计算过程中，容易出现符号问题，要特别提醒学生注意．
四．课堂小结
五.课堂作业
教科书第62页习题8.2第4题
六.教学反思
8.2.1整式的乘法
（2）
1、探索并了解多项式与多项式相乘的法则，并运用它们进行运算．
2、让学生主动参与到一些探索过程中去，逐步形成独立思考，主动探索的习惯，培养思维的批判性、严密性和初步解决问题的愿望和能力．
多项式与多项式相乘．
1．前面这节课我们研究了单项式与单项式、单项式与多项式相乘的方法，请
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