第一章证明.docx

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第一章证明

一、填空题

1、如图1，若⊿ABE

⊿ADC，则AD=AB，DC=；∠D=∠；

∠BAE=∠；

2、如图2，在△ABC中，AD＝DE，AB＝BE，∠A＝80°则∠DEC＝　　　　　　　．

3、等腰三角形的两边分别是7cm和3cm，则周长为_________；

4、在等腰三角形中顶角为40°时底角等于_________，一个底角为50°，则顶角等于_________；

5、如图，∠AOB是一钢架，且∠AOB=10°，为了使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管EF、FG、GH……添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管根。

二、选择题

6、给出下列命题，正确的（）

①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；②等腰三角形两腰上的高相等；③等腰三角形最小边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑤等腰三角形都是锐角三角形（）

（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个

7、满足下列条件的两个三角形一定全等的（）

A、腰相等的两个等腰三角形

B、一个角对应相等的两个等腰三角形

C、斜边对应相等的两个直角三角形

D、底相等的两个等腰直角三角形

8、已知如图3，在△ABC中，AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝EB，则∠A的度数是（）

（A）30°（B）36°（C）45°（D）54°

9、如图4，在△ABC中，AB=AC，∠A=36，BD、CE分别为∠ABC与∠ACB的角平分线，且交于点F，则图中的等腰三角形有（）

（A）6个（B）7个（C）8个（D）9个

10、如图5，等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是（）

（A）45°（B）55°（C）60°（D）75°

三、解答题

11、阅读下题及其证明过程：

已知：

如图，D是△ABC中BC边上一点，EB=EC，∠ABE=∠ACE，求证：

∠BAE=∠CAE.

证明：

在△AEB和△AEC中，

∴△AEB≌△AEC（第一步）

∴∠BAE=∠CAE（第二步）

问：

上面证明过程是否正确？

若正确，请写出每一步推理根据；若不正确，请指出错在哪一步？

并写出你认为正确的推理过程；

12、已知：

线段a、h（如图）

求作：

△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h.

请你用尺规作图，并补全作法

作法：

（1）作线段BC=.

（2）作.

（3）.

（4）连结.

则△ABC为所求等腰三角形.

一、填空题

1、等腰三角形底边上的__________，底边上的__________，顶角__________，均把它分成两个全等三角形

2、已知△ABC，如下左图所示，其中∠B=∠C，则_______=________.

.

3、如上中图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D是BC的中点，DE⊥AC，则∠C=__________°;CE∶EA=__________.

4、如上右图，已知AD是△ABC的外角平分线，且AD∥BC，则∠1__________∠B，

∠2__________∠C，△ABC是__________三角形.

5、在△ABC中，∠A=∠B=

∠C，则△ABC是__________三角形.

二、选择题

6、如果一个三角形的一个外角是130°，且它恰好等于一个不相邻的内角的2倍，那么这个三角形是（）

A.钝角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等边三角形

7、如下左图，在△ABC中，AB=AC，∠C=2∠A，BD是∠ABC的平分线，则图中共有等腰三角形（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

8、如上右，△BDC′是将矩形ABCD，沿对角线BD折起得到的，图中（包括实线、虚线图形），共有全等三角形（）

A.2对B、3对C.4对D.5对

9、如下左图，在△ABC中，∠B=∠C=40°，D，E是BC上两点，且∠ADE=∠AED=80°，则图中共有等腰三角形（）

A.6个B.5个C.4个D.3个

10、如上右图，已知△ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，又DE∥BC，交AC于E，若DE=4cm，AE=5cm，则AC等于（）

A.5cmB.4cmC.9cmD.1cm

三、解答题

11、已知，如左下图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，AE=6，求四边形AFDE的周长.

12、如图，DE∥BC，CG=GB，∠1=∠2，求证：

△DGE是等腰三角形.

13、.如右图所示，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足是D，∠A=60°.求证：

BD=3AD.

一、填空题

1、已知，等腰△ABC，AB=AC：

（1）若AB=BC，则△ABC为_________三角形；

（2）若∠A=60°，则△ABC为_______三角形；

（3）若∠B=60°，则△ABC为_______三角形.

2、在线段、直角、等腰三角形、直角三角形中，成轴对称图形的是__________.

3、底与腰不等的等腰三角形有__________条对称轴，等边三角形有__________条对称轴.请你在图

（1）中作出等腰△ABC，等边△DEF的对称轴.

4、如图上右图，已知△ABC是等边三角形，AD∥BC，CD⊥AD，垂足为D，E为AC的中点，AD=DE=6cm则∠ACD=_____°,AC=______cm,∠DAC=_______°，△ADE是______三角形.

5、如左下图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AB，垂足分别为D，E，如果AB=

8cm，则BD=_______cm，∠BDE=_____°,BE=______cm.

6、如右上图，Rt△ABC中，∠A=30°,AB+BC=12cm，则AB=__________cm.

二、选择题

7、下列说法不正确的是

A.等边三角形有三条对称轴

B.线段AB只有一条对称轴

C.等腰三角形的对称轴是底边上的中线

D.等腰三角形的对称轴是底边上的高所在的直线

8、下列命题不正确的是

A.等腰三角形的底角不能是钝角

B.等腰三角形不能是直角三角形

C.若一个三角形有三条对称轴，那么它一定是等边三角形

D.两个全等的且有一个锐角为30°的直角三角形可以拼成一个等边三角形

9、在Rt△ABC中，如右图所示，∠C=90°，∠CAB=60°，AD平分∠CAB，点D到AB的距离DE=3.8cm，则BC等于

A.3.8cmB.7.6cm

C.11.4cmD.11.2cm

三、解答与证明

10、如下图，在△ABC中，∠A=20°，D在AB上，AD=DC，∠ACD∶

∠BCD=2∶3，求：

∠ABC的度数.

11、如下图，在△ABC中，∠B=90°，M是AC上任意一点（M与A不重合）MD⊥BC，交∠BAC的平分线于点D，求证：

MD=MA.

12、如右图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，求证：

AE=CD.

一、判断题

1.如果一个命题正确，那么它的逆命题也正确

2.定理不一定有逆定理

3.在直角三角形中，任意给出两条边的长可以求第三边的长

二、填空题

4、Rt△ABC中，∠C=90°，如图下左图，若b=5，c=13，则a=__________；若a=8，b=6，则c=__________.

5、等边△ABC，AD为它的高线，下中图所示，若它的边长为2，则它的周长为__________，AD=__________，BD∶AD∶AB=__________∶__________∶__________.

5、上右图所示，正方形ABCD，AC为它的一条对角线，若AB=2，则AC=__________；若AC=2，则AB=__________；AC∶AB=__________∶__________.

6、如右图，△ABC中，∠A+∠C=2∠B，∠A=30°，则∠C=__________；若AB=6，则BC=__________.

7、若直角三角形的三条边长分别是6，8，a则

（1）当6,8均为直角边时，a=__________；

（2）当8为斜边，6为直角边时，a=__________.

三、选择题

8、如右图，等腰直角△ABC，AB=2，则S△ABC等于（）

A.2B.1C.4D.

9、若三角形的三边分别为a,b,c，则下面四种情况中，构成直角三角形的是（）

A.a=2,b=3,c=4B.a=12,b=5,c=13

C.a=4,b=5,c=6D.a=7,b=18,c=17

10、如左下图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD=

，DC=1，AC=

，那么AB的长度是

A.

B.27C.

D.25

11、如右上图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，∠BAE=∠DEC=60°，AB=3，CE=4，则AD等于（）

A.48B.24C.10D.12

四、解答题

12、已知，如下图，等边三角形ABC，AD为BC边上的高线，若AB=2，求△ABC的面积.

13、已知：

如下图，△ABC中，CD⊥AB于D，AC=4，BC=3，DB=

.

（1）求DC的长；

（2）求AD的长；

（3）求AB的长；（4）求证：

△ABC是直角三角形.

14、如右图，为修铁路需凿通隧道AC，测得∠A=50°，∠B=40°，AB=5km,BC=4km，若每天凿隧道0.3km，问几天才能把隧道凿通？

一、填空题

1、如图，Rt△ABC和Rt△DEF，∠C=∠F=90

（1）若∠A=∠D，BC=EF，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.

（2）若∠A=∠D，AC=DF，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.

（3）若∠A=∠D，AB=DE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.

（4）若AC=DF，AB=DE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.

（5）若AC=DF，CB=FE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.

2、如右图，在Rt△ABC和Rt△DCB中，AB=DC，∠A=∠D=90°，AC与BD交于点O，则有△__________≌△__________，其判定依据是__________，还有△__________≌△__________，其判定依据是__________.

3、已知：

如图下左图，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，AE=DF，AB=DC，则△__________≌△__________（HL）.

4、已知：

如上中图，BE，CF为△ABC的高，且BE=CF，BE，CF交于点H，若BC=10，FC=8，则EC=__________.

5、已知：

如上右图，AB=CD，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，且DE=BF，∠D=60°，则∠A=______°.

二、选择题

6、如下左图，O是∠BAC内一点，且点O到AB，AC的距离OE=OF，则△AEO≌△AFO的依据是（）A.HLB.AASC.SSSD.ASA

7、在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，如上右图，那么下列各条件中，不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是（）

A.AB=A′B′=5，BC=B′C′=3B.AB=B′C′=5，∠A=∠B′=40°

C.AC=A′C′=5，BC=B′C′=3D.AC=A′C′=5，∠A=∠A′=40°

8、下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是（）A.两条直角边对应相等面

B.有两条边对应相等C.一条边和一锐角对应相等D.一条边和一个角对应相等

三、证明题

9、如下图，CD⊥AD，CB⊥AB，AB=AD，求证：

CD=CB.

10、已知：

如下图，CD、C′D′分别是Rt△ABC，Rt△A′B′C′斜边上的高，且CB=

C′B′，CD=C′D′.求证：

△ABC≌△A′B′C′.

11、如下图，已知∠ABC=∠ADC=90°，E是AC上一点，AB=AD，求证：

EB=ED.

一、填空题

1、如下左图，已知直线MN是线段AB的垂直平分线，垂足为D，点P是MN上一点，若AB=10cm，则BD=__________cm；若PA=10cm，则PB=__________cm；此时，PD=__________cm.

2、如下中图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于E，交BC于D，△ABD的周长是12cm，AC=5cm，则AB+BD+AD=________cm；AB+BD+DC=__________cm；△ABC的周长是__________cm.

3、如上右图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=15°,DE是AB的中垂线，垂足为D，交BC于E，BE=5，则AE=_________，∠AEC=_________，AC=__________.

4、已知线段AB及一点P，PA=PB=3cm，则点P在__________上.

5、如果P是线段AB的垂直平分线上一点，且PB=6cm，则PA=__________cm.

6、如图下左图，P是线段AB垂直平分线上一点，M为线段AB上异于A，B的点，则PA，PB，PM的大小关系是PA________PB________PM.

7、如图下中图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD平分∠ABC交BC于D，则点D在__________上.

8、如图上右图，BC是等腰△ABC和等腰△DBC的公共底，则直线AD必是__________的垂直平分线.

二、选择题

9、下列各图形中，是轴对称图形的有多少个

①等腰三角形②等边三角形③点④角⑤两个全等三角形

A.1个B.2个C.3个D.4个

10、如下左图，AC=AD，BC=BD，则

A.CD垂直平分ADB.AB垂直平分CD

C.CD平分∠ACBD.以上结论均不对

11、如上右图，△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC=5cm，BC=4cm，那么△DBC的周长是

A.6cmB.7cmC.8cmD.9cm

12、如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是

A.直角三角形B.锐角三角形

C.钝角三角形D.等边三角形

三、解答题

13、如右图，P是∠AOB的平分线OM上任意一点，PE⊥CA于E，PF⊥OB于F，连结EF.求证：

OP垂直平分EF.

一、判断题

1、三角形三条边的垂直平分线必交于一点

2、以三角形两边的垂直平分线的交点为圆心，以该点到三角形三个顶点中的任意一点的距离为半径作圆，必经过另外两个顶点

3、平面上只存在一点到已知三角形三个顶点距离相等

4、三角形关于任一边上的垂直平分线成轴对称

二、填空题

5、如左下图，点P为△ABC三边中垂线交点，则PA__________PB__________PC.

6、如右上图，在锐角三角形ABC中，∠A=50°，AC、BC的垂直平分线交于点O，则∠1_______∠2，∠3______∠4，∠5______∠6，∠2+∠3=________度，∠1+∠4=______度，∠5+∠6=_______度，∠BOC=_______度.

7、如左下图，D为BC边上一点，且BC=BD+AD，则AD__________DC，点D在__________的垂直平分线上.

8、如右上图，在△ABC中，DE、FG分别是边AB、AC的垂直平分线，则∠B__________∠1，∠C__________∠2；若∠BAC=126°，则∠EAG=__________度.

9、如左下图，AD是△ABC中BC边上的高，E是AD上异于A，D的点，若BE=CE，则△__________≌△__________（HL）；从而BD=DC，则△________≌△_________（SAS）；△ABC是__________三角形.

10、如右上图，∠BAC=120°，AB=AC，AC的垂直平分线交BC于D，则∠ADB=_________度.

三、作图题

11、

（1）分别作出点P，使得PA=PB=PC

（2）观察各图中的点P与△ABC的位置关系，并总结规律：

当△ABC为锐角三角形时，点P在△ABC的__________；

当△ABC为直角三角形时，点P在△ABC的__________；

当△ABC为钝角三角形时，点P在△ABC的__________；

反之也成立，且在平面内到三角形各顶点距离相等的点只有一个.

四、类比联想

12、既然任意一个三角形的三边的垂直平分线交于一点，那三角形的三边上的中线是否也交于一点；三个角的平分线是否也交于一点；试通过折纸或用直尺、圆规画图验证这种猜想.

一、判断题

1、角的平分线上的点到角的两边的距离相等

2、到角的两边距离相等的点在角的平分线上

3、角的平分线是到角两边距离相等的点的集合

4、角平分线是角的对称轴

二、填空题

5、如图下左图，AD平分∠BAC，点P在AD上，若PE⊥AB，PF⊥AC，则PE__________PF.

6、如图下中图，PD⊥AB，PE⊥AC，且PD=PE，连接AP，则∠BAP__________∠CAP.

7、如图上右图，∠BAC=60°，AP平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC，若AD=

，则PE=______.

8、已知，如图（4），∠AOB=60°,CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，若CD=CE，则∠COD+∠AOB=__________度.

9、如图（5），已知MP⊥OP于P，MQ⊥OQ于Q，S△DOM=6cm2，OP=3cm，则MQ=__________cm.

三、选择题

10、下列各语句中，不是真命题的是（）

A.直角都相等B.等角的补角相等

C.点P在角的平分线上D.对顶角相等

11、下列命题中是真命题的是（）

A.有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等

B.相等的角是对顶角

C.余角相等的角互余

D.两直线被第三条直线所截，截得的同位角相等

12、如左下图，在△ABC中，∠ACB=90°,BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3cm，那么AE+DE等于

A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm

13、如右上图，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于点D，则①△ABE≌△ACF

②△BDF≌△CDE③D在∠BAC的平分线上，以上结论中，正确的是

A.只有①B.只有②

C.只有①和②D.①，②与③

四、解答题

14、试用对称的观点分析说明线段的垂直平分线和角平分线的联系与区别.

15、如右图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD.求证：

AD平分∠BAC.

一、判断题

1、在同一平面内，到三角形三边距离相等的点只有一个

2、在同一平面内，到三角形三边所在直线距离相等的点只有一个

3、三角形三条角平分线交于一点

4、等腰三角形底边中点到两腰的距离相等

5、三角形是以它的角平分线为对称轴的轴对称图形

二、填空题

6、如图

（1），点P为△ABC三条角平分线交点，PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，则PD__________PE__________PF.

7、如图

（2），P是∠AOB平分线上任意一点，且PD=2cm，若使PE=2cm，则PE与OB的关系是__________.

8、如图（3），CD为Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交CD、CB于点E、F，FG⊥AB，垂足为G，则CF__________FG，∠1+∠3=__________度，∠2+∠4=__________度，∠3__________∠4，CE__________CF.

9、如右图，E、D分别是AB、AC上的一点，∠EBC、∠BCD的角平分线交于点M，∠BED、∠EDC的角平分线交于N.

求证：

A、M、N在一条直线上.

证明：

过点N作NF⊥AB，NH⊥ED，NK⊥AC

过点M作MJ⊥BC，MP⊥AB，MQ⊥AC

∵EN平分∠BED，DN平分∠EDC

∴NF__________NH，NH__________NK

∴NF__________NK

∴N在∠A的平分线上

又∵BM平分∠ABC，CM平分∠ACB

∴__________=__________，__________=__________

∴__________=__________

∴M在∠A的__________上

∴M、N都在∠A的__________上

∴A、M、N在一条直线上

三、作图题

10、利用角平分线的性质，找到△ABC内部距三边距离相等的点.

11、在下图△ABC所在平面中，找到距三边所在直线距离相等的点.

12、如下图，一个工厂在公路西侧，在河的南岸，工厂到公路的距离与到河岸的距离相等，且与河上公路桥南首（点A）的距离为300米.请用量角器和刻度尺在图中标出工厂的位置.

四、解答题

13、已知：

如下图在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若BC=32，且BD∶CD=9∶7，求：

D到AB边的距离.

班级：

_______姓名：

________得分：

__________

一、填空题

1.一个等腰三角形有一角是70°，则其余两角分别为_________.

2.一个等腰三角形的两边长为5和8，则此三角形的周长为_________.

3.如下左图，△ABC中，∠C=90°，AM平分∠CAB，CM=20cm，则点M到AB的距离是_________.

4.如上右图，等边△ABC中，F是AB中点，EF⊥AC于E，若△ABC的边长为10，则AE=_________，AE∶EC=_________.

5.如下左图，△ABC中，DE垂直平分BC，垂足为E，交AB于D，若AB=10cm，AC=6cm，则△ACD的周长为_________.

6.如上右图，∠C=90°，∠ABC=75°，∠CDB=30°，若BC=3cm，则AD=_________cm.

7.如下左图，B在AC上，D在CE上，AD=BD=BC，∠ACE=25°，∠ADE=_________.

8.等腰直角三角形一条边长是1cm，那么它斜边上的高是_________cm.

9.如上右图，在∠AOB的两边OA、OB上分别取OQ=OP，OT=OS，PT和QS相交于点C，则图中共有_________对全等三角形.

10.等腰三角形两腰上的高相等，这个命题的逆命题是________________，这个逆命题是_________命题.

11.三角形三边分别为a、b、c，且a2－bc=a（b－c），则这个三角形（按边分类）一定是_________三角形.

二、选择题

12.等边三角形的高为2

，则它的边长为（）面A.4B.3C.2D.5