椭圆各类的题目型分类汇总情况.docx

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椭圆各类的题目型分类汇总情况

椭圆经典例题分类汇总

1.椭圆第一定义的应用

例1椭圆的一个顶点为，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．

例2已知椭圆的离心率，求的值．

例3已知方程表示椭圆，求的取值范围．

例4已知表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围．

例5已知动圆过定点，且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程．

2.焦半径及焦三角的应用

例1已知椭圆，、为两焦点，问能否在椭圆上找一点，使到左准线的距离是与的等比中项？

若存在，则求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

例2已知椭圆方程，长轴端点为，，焦点为，，是椭圆上一点，，．求：

的面积（用、、表示）．

3.第二定义应用

例1椭圆的右焦点为，过点，点在椭圆上，当为最小值时，求点的坐标．

例2已知椭圆上一点到右焦点的距离为，求到左准线的距离．

例3　已知椭圆内有一点，、分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点．

（1）　求的最大值、最小值及对应的点坐标；

（2）　求的最小值及对应的点的坐标．

4.参数方程应用

例1求椭圆上的点到直线的距离的最小值．

例2　

（1）写出椭圆的参数方程；

（2）求椭圆内接矩形的最大面积．

例3　椭圆与轴正向交于点，若这个椭圆上总存在点，使（为坐标原点），求其离心率的取值范围．

5.相交情况下--弦长公式的应用

例1已知椭圆及直线．

（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？

（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程．

例2已知长轴为12，短轴长为6，焦点在轴上的椭圆，过它对的左焦点作倾斜解为的直线交椭圆于，两点，求弦的长．

6.相交情况下—点差法的应用

例1已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆与直线交于、两点，为中点，的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．

例2已知椭圆，求过点且被平分的弦所在的直线方程．

例3已知椭圆，

（1）求过点且被平分的弦所在直线的方程；

（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；

（3）过引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；

（4）椭圆上有两点、，为原点，且有直线、斜率满足，

求线段中点的轨迹方程．

例4已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上有不同的两点关于该直线对称．

例5已知是直线被椭圆所截得的线段的中点，求直线的方程．

椭圆经典例题分类汇总

1.椭圆第一定义的应用

例1椭圆的一个顶点为，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．

分析：

题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．

解：

（1）当为长轴端点时，，，

椭圆的标准方程为：

；

（2）当为短轴端点时，，，

椭圆的标准方程为：

；

说明：

椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．

例2已知椭圆的离心率，求的值．

分析：

分两种情况进行讨论．

解：

当椭圆的焦点在轴上时，，，得．由，得．

当椭圆的焦点在轴上时，，，得．

由，得，即．

∴满足条件的或．

说明：

本题易出现漏解．排除错误的办法是：

因为与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在轴上，也可能在轴上．故必须进行讨论．

例5已知方程表示椭圆，求的取值范围．

解：

由得，且．

∴满足条件的的取值范围是，且．

说明：

本题易出现如下错解：

由得，故的取值范围是．

出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中这个条件，当时，并不表示椭圆．

例6已知表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围．

分析：

依据已知条件确定的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单调性，求出的取值范围．

解：

方程可化为．因为焦点在轴上，所以．

因此且从而．

说明：

（1）由椭圆的标准方程知，，这是容易忽视的地方．

（2）由焦点在轴上，知，．（3）求的取值范围时，应注意题目中的条件

例5已知动圆过定点，且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程．

分析：

关键是根据题意，列出点P满足的关系式．

解：

如图所示，设动圆和定圆内切于点．动点到两定点，

即定点和定圆圆心距离之和恰好等于定圆半径，

即．∴点的轨迹是以，为两焦点，

半长轴为4，半短轴长为的椭圆的方程：

．

说明：

本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．

2.焦半径及焦三角的应用

例1已知椭圆，、为两焦点，问能否在椭圆上找一点，使到左准线的距离是与的等比中项？

若存在，则求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

解：

假设存在，设，由已知条件得

，，∴，．

∵左准线的方程是，

∴．

又由焦半径公式知：

，．

∵，∴．

整理得．

解之得或．①

另一方面．②

则①与②矛盾，所以满足条件的点不存在．

例2已知椭圆方程，长轴端点为，，焦点为，，是椭圆上一点，，．求：

的面积（用、、表示）．

分析：

求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边，从而利用求面积．

解：

如图，设，由椭圆的对称性，不妨设，由椭圆的对称性，不妨设在第一象限．由余弦定理知：

·．①

由椭圆定义知：

②，则得．

故．

3.第二定义应用

例1椭圆的右焦点为，过点，点在椭圆上，当为最小值时，求点的坐标．

分析：

本题的关键是求出离心率，把转化为到右准线的距离，从而得最小值．一般地，求均可用此法．

解：

由已知：

，．所以，右准线．

过作，垂足为，交椭圆于，故．显然的最小值为，即为所求点，因此，且在椭圆上．故．所以．

说明：

本题关键在于未知式中的“2”的处理．事实上，如图，，即是到右准线的距离的一半，即图中的，问题转化为求椭圆上一点，使到的距离与到右准线距离之和取最小值．

例2已知椭圆上一点到右焦点的距离为，求到左准线的距离．

分析：

利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解．

解法一：

由，得，，．

由椭圆定义，，得

．

由椭圆第二定义，，为到左准线的距离，

∴，

即到左准线的距离为．

解法二：

∵，为到右准线的距离，，

∴．又椭圆两准线的距离为．

∴到左准线的距离为．

说明：

运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性．否则就会产生误解．

椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运用自如．一般地，如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题，则用椭圆的第二定义．

例3　已知椭圆内有一点，、分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点．

（1）　求的最大值、最小值及对应的点坐标；

（2）　求的最小值及对应的点的坐标．

分析：

本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：

一是目标函数当，即代数方法．二是数形结合，即几何方法．本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解．

解：

（1）如上图，，，，设是椭圆上任一点，由，，∴，等号仅当时成立，此时、、共线．

由，∴，等号仅当时成立，此时、、共线．

建立、的直线方程，解方程组得两交点

、．

综上所述，点与重合时，取最小值，点与重合时，取最大值．

（2）如下图，设是椭圆上任一点，作垂直椭圆右准线，为垂足，由，，∴．由椭圆第二定义知，∴，∴，要使其和最小需有、、共线，即求到右准线距离．右准线方程为．

∴到右准线距离为．此时点纵坐标与点纵坐标相同为1，代入椭圆得满足条件的点坐标．

说明：

求的最小值，就是用第二定义转化后，过向相应准线作垂线段．巧用焦点半径与点准距互化是解决有关问题的重要手段．

4.参数方程应用

例1求椭圆上的点到直线的距离的最小值．

分析：

先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值．

解：

椭圆的参数方程为设椭圆上的点的坐标为，则点到直线的距离为

．

当时，．

说明：

当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程．

例2　

（1）写出椭圆的参数方程；

（2）求椭圆内接矩形的最大面积．

分析：

本题考查椭圆的参数方程及其应用．为简化运算和减少未知数的个数，常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标，所求问题便化归为三角问题．

解：

（1）．

（2）设椭圆内接矩形面积为，由对称性知，矩形的邻边分别平行于轴和轴，设为矩形在第一象限的顶点，，

则

故椭圆内接矩形的最大面积为12．

说明：

通过椭圆参数方程，转化为三角函数的最值问题，一般地，与圆锥曲线有关的最值问题，用参数方程形式较简便．

例3　椭圆与轴正向交于点，若这个椭圆上总存在点，使（为坐标原点），求其离心率的取值范围．

分析：

∵、为定点，为动点，可以点坐标作为参数，把，转化为点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于、、的一个不等式，转化为关于的不等式．为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程．

解：

设椭圆的参数方程是，

则椭圆上的点，，

∵，∴，

即，解得或，

∵　∴（舍去），，又

∴，∴，又，∴．

说明：

若已知椭圆离心率范围，求证在椭圆上总存在点使．如何证明？

5.相交情况下--弦长公式的应用

例1已知椭圆及直线．

（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？

（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程．

解：

（1）把直线方程代入椭圆方程得，

即．，解得．

（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为，，由

（1）得，．

根据弦长公式得：

．解得．方程为．

说明：

处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别．

这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式；解决弦长问题，一般应用弦长公式．

用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程．

例2已知长轴为12，短轴长为6，焦点在轴上的椭圆，过它对的左焦点作倾斜解为的直线交椭圆于，两点，求弦的长．

分析：

可以利用弦长公式求得，

也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求．

解：

（法1）利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．

．因为，，所以．因为焦点在轴上，

所以椭圆方程为，左焦点，从而直线方程为．

由直线方程与椭圆方程联立得：

．设，为方程两根，所以，，，从而．

（法2）利用椭圆的定义及余弦定理求解．

由题意可知椭圆方程为，设，，则，．

在中，，即；

所以．同理在中，用余弦定理得，所以．

（法3）利用焦半径求解．

先根据直线与椭圆联立的方程求出方程的两根，，它们分别是，的横坐标．

再根据焦半径，，从而求出

6.相交情况下—点差法的应用

例1已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆与直线交于、两点，为中点，的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．

解：

由题意，设椭圆方程为，

由，得，

∴，，

，∴，

∴为所求．

说明：

（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；

（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．

例2已知椭圆，求过点且被平分的弦所在的直线方程．

分析一：

已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为，利用条件求．

解法一：

设所求直线的斜率为，则直线方程为．代入椭圆方程，并整理得

．

由韦达定理得．

∵是弦中点，∴．故得．

所以所求直线方程为．

分析二：

设弦两端坐标为、，列关于、、、的方程组，从而求斜率：

．

解法二：

设过的直线与椭圆交于、，则由题意得

①－②得．⑤

将③、④代入⑤得，即直线的斜率为．

所求直线方程为．

说明：

（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：

过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．

（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率．

（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是